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第七章 不 等 式第一节 不等式的性质及一元二次不等式本节主要包括2个知识点：1.不等式的性质；2.一元二次不等式.突破点(一)不等式的性质 基础联通抓主干知识的“源”与“流”1比较两个实数大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abba传递性ab，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbc同向可加性acbd同向同正可乘性acbd0可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0.a0b.ab0,0cd.0axb或axb0.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则：；(bm0)；(bm0).考点贯通抓高考命题的“形”与“神”比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_(2)若a，b，则a_b(填“”或“”)解析(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0.M N.(2)易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案(1)M N(2)方法技巧比较两个数(式)大小的两种方法不等式的性质例2(1)(2018泰州期初测试)已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_(2)下列命题：若ab，cd，则acbd；若acbc，则ab；若，则ab；若ab，cd，则acbd.其中正确命题的序号是_(3)(2018兴化八校联考)“x13且x23”是“x1x26且x1x29”的_条件解析(1)由题意知f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2b.设m(ab)n(ab)4a2b，则解得f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10，即f(2)的取值范围为5,10(2)取a2，b1，c1，d2，可知错误；当c0时，acbcab，错误；，c0，又c20，ab，正确；取ac2，bd1，可知错误(3)x13，x23x1x26，x1x29；反之不成立，例如x1，x220，x1x26，x1x2109，但x13.故“x13且x23”是“x1x26且x1x29”的充分不必要条件答案(1)5,10(2)(3)充分不必要方法技巧不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充分、必要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.设a，b0，)，A，B，则A，B的大小关系是_解析：由题意得，B2A220，且A0，B0，可得AB.答案：AB2.若m0，n0且mn0，则下列不等式中成立的序号是_nmnm；nmmn；mnmn；mnnm.解析：法一：(特殊值法)令m3，n2分别代入各不等式中检验即可法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立答案：3.若a0ba，cd0，则下列结论：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中，成立的个数是_解析：a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故不成立a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故成立cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故成立ab，dc0，a(dc)b(dc)，故成立成立的个数为3.答案：34.设a，b是实数，则“ab1”是“ab”的_条件解析：因为a，若ab1，显然a0，则充分性成立；当a，b时，显然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立答案：充分不必要突破点(二)一元二次不等式) 基础联通抓主干知识的“源”与“流”1三个“二次”之间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx22.不等式ax2bxc0(0)恒成立的条件(1)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或考点贯通抓高考命题的“形”与“神”一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步骤 例1解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.(3)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1，即1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1，即1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.方法技巧解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式由一元二次不等式恒成立求参数范围对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值考法(一)在实数集R上恒成立例2已知不等式mx22xm10，是否存在实数m使得对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x0，则x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立考法(二)在某区间上恒成立例3设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立法一：令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，则m0.综上所述，m的取值范围是.法二：因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是mm0或0m.考法(三)在参数的某区间上恒成立时求变量范围例4对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4，则原问题转化为关于m的一次函数问题由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x1或x3.故当x的取值范围是(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零易错提醒解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.(2018常州月考)已知函数f(x)则不等式f(x2)f(32x)的解集是_解析：当x时，原不等式化为x232x，解得x3或1x；当x时，原不等式化为x2(32x)2，解得x3. 综上，x3或1x3.答案：(，3)(1,3)2.已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，则ab等于_解析：由题意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，则ab3.答案：33.(2018无锡期初测试)定义在R上的运算：x*yx(1y)，若不等式(xy)*(xy)1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是_解析：(xy)*(xy)(xy)(1xy)xx2yy21. yy2x2x1，要使该不等式对一切实数x恒成立，则需有yy2(x2x1)min，解得y.答案：4.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是_解析：原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1；当a1时，不等式的解为x1，此时符合要求；当a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.答案：4,35.要使不等式x2(a6)x93a0，当|a|1时恒成立，则x的取值范围为_解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x2或x4.答案：(，2)(4，)课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1若ab0，则下列不等式成立的序号有_；|a|b|；ab2；ab.解析：ab0，且|a|b|，ab2，又f(x)x是减函数，ab.答案：2(2018启东中学月考)若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为_解析：当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,0答案：(3,03不等式组的解集是_解析：x24x30，1x3.又2x27x60，(x2)(2x3)0，x或x2，原不等式组的解集为(2,3)答案：(2,3)4已知关于x的不等式ax22xc0的解集为，则不等式cx22xa0的解集为_解析：依题意知，解得a12，c2，不等式cx22xa0，即为2x22x120，即x2x60，解得2x3.所以不等式的解集为(2,3)答案：(2,3)练常考题点检验高考能力一、填空题1设集合Ax|x2x60，集合B为函数y的定义域，则AB_.解析：Ax|x2x60x|3x2，由x10得x1，即Bx|x1，所以ABx|1x2答案：x|1x22已知a，b，cR，则下列命题正确的序号是_ac2bc2ab；ab；.解析：当ac2bc2时，c20，所以ab，故正确；当c0时，ab，故错误；因为0或故错误，正确答案：3已知a0，且a1，maa21，naa1，则m，n的大小关系是_解析：由题易知m0，n0，两式作商，得a(a21)(a1)aa(a1)，当a1时，a(a1)0，所以aa(a1)a01，即mn；当0a1时，a(a1)0，所以aa(a1)a01，即mn.综上，对任意的a0，a1，都有mn.答案：mn4若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x22x30的解集为1,3，假设的解集为空集，则不等式x24x(a1)0的解集为集合x|x1或x3的子集，因为函数f(x)x24x(a1)的图象的对称轴方程为x2，所以必有f(1)4a0，即a4，则使的解集不为空集的a的取值范围是a4.答案：4，)5若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是_解析：由a280，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，解得a，故a的取值范围为.答案：6(2018无锡中学模拟)在R上定义运算：adbc，若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为_解析：由定义知，不等式1等价于x2x(a2a2)1，x2x1a2a对任意实数x恒成立x2x12，a2a，解得a，则实数a的最大值为.答案：7(2018姜堰中学月考)若关于x的不等式(2x1)2kx2的解集中整数恰好有2个，则实数k的取值范围是_解析：因为原不等式等价于(k4)x24x10，从而方程(k4)x24x10的判别式4k0，且有4k0，故0k4.又原不等式的解集为x，且，则1,2一定为所求的整数解，所以23，得k的取值范围为.答案：8若0a1，则不等式(ax)0的解集是_解析：原不等式为(xa)0，由0a1得a，ax.答案：9已知函数f(x)为奇函数，则不等式f(x)4的解集为_解析：若x0，则x0，则f(x)bx23x.因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即bx23xx2ax，可得a3，b1，所以f(x)当x0时，由x23x4解得0x4；当x0时，由x23x4解得x0，所以不等式f(x)4的解集为(，4)答案：(，4)10(2018盐城中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x23x，则不等式f(x1)x4的解集是_解析：由题意得f(x)f(x1)即f(x1)所以不等式f(x1)x4可化为或解得x4.答案：(4，)二、解答题11已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.不等式的解集为a|32a32(2)f(x)b的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，解得故a的值为3或3，b的值为3.12已知函数f(x)x22ax1a，aR.(1)若a2，试求函数y(x0)的最小值；(2)对于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，试求a的取值范围解：(1)依题意得yx4.因为x0，所以x2.当且仅当x时，即x1时，等号成立所以y2.所以当x1时，y的最小值为2.(2)因为f(x)ax22ax1，所以要使得“对任意的x0,2，不等式f(x)a成立”只要“x22ax10在0,2恒成立”不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x)0在0,2上恒成立即可所以即解得a.则a的取值范围为.第二节二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；2.简单的线性规划问题；3.线性规划的实际应用.突破点(一)二元一次不等式(组)表示的平面区域 基础联通抓主干知识的“源”与“流”1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤以上简称为“直线定界，特殊点定域”.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求平面区域的面积1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积2求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当ABC为等腰直角三角形(A为直角)时，点B到直线AC的距离即ABC的腰长|AB|.由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出例1不等式组表示的平面区域的面积为_解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即所求求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则ABC的面积为S(21)21.答案1方法技巧解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解提醒求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性根据平面区域满足的条件求参数不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解例2若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)由得A，；由得B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中a的取值范围是0a1或a.答案(0,1易错提醒此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.设动点P(x，y)在区域：上，过点P任作直线l，设直线l与区域的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为_解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB长度的最大值为4，则以AB为直径的圆的面积为最大值S24.答案：42.若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1m,1m)，C，D(2m,0)SABCSADBSADC|AD|yByC|(22m)(1m)，解得m1或m3(舍去)答案：13.不等式组 表示的平面区域的面积为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知SABC2(22)4.答案：44.若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为_解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a1时，增加了(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a1.答案：1突破点(二)简单的线性规划问题 基础联通抓主干知识的“源”与“流”1线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2.简单线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”即考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线性目标函数的最值例1(1)(2017山东高考)已知x，y满足约束条件则zx2y的最大值是_(2)(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是_解析(1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y进行平移，显然当该直线过点A时z取得最大值，由解得即A(3,4)，所以zmax385.(2)法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示易求得可行域的顶点A(0，1)，B(6，3)，C(6，3)，当直线z2xy过点B(6，3)时，z取得最小值，zmin2(6)315.法二：易求可行域顶点A(0,1)，B(6，3)，C(6，3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，15,9，故最小值为15.答案(1)5(2)15方法技巧求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值非线性目标函数的最值例2(1)(2018无锡期初测试)已知变量x，y满足条件则的取值范围是_(2)若变量x，y满足则x2y2的最大值是_解析(1)画出可行域如图所示，等价于点(x，y)到点(2,0)连线的斜率，又kAB2，kBO0，从而2,0(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示x2y2表示平面区域内点到原点距离的平方，由得A(3，1)，由图易得(x2y2)max|OA|232(1)210.答案(1)2,0(2)10方法技巧非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z(xa)2(yb)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解(2)斜率型：对形如z(ac0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等(3)点到直线距离型：对形如z|AxByC|型的目标函数，可先变形为z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍的最值.线性规划中的参数问题例3已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a_.解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意，2a04，此时a2.答案2方法技巧求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线yx过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得zmin5.答案：52.已知(x，y)满足则k的最大值为_解析：如图，不等式组表示的平面区域为AOB的边界及其内部区域，k表示平面区域内的点(x，y)和点(1,0)连线的斜率由图知，平面区域内的点(0,1)和点(1,0)连线的斜率最大，所以kmax1.答案：13.(2018银川模拟)设zxy，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为_解析：作出实数x，y满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数zxy经过点C(k，k)时，取得最大值，且zmaxkk6，得k3.当目标函数zxy经过点B(6,3)时，取得最小值，且zmin633.答案：34.(2018苏州月考)设x，y满足条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为2，则的最小值为_解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线axbyz(a0，b0)过直线xy20与直线3xy60的交点(4,6)时，目标函数zaxby(a0，b0)取得最大值2，即2a3b1，而(2a3b)13625.答案：255.设x，y满足约束条件则z(x1)2y2的最大值为_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示(x1)2y2可看作点(x，y)到点P(1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(1，0)的距离最大解方程组得A点的坐标为(3,8)，代入z(x1)2y2，得zmax(31)28280.答案：80突破点(三)线性规划的实际应用 基础联通抓主干知识的“源”与“流”解线性规划应用题的一般步骤考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线性规划的实际应用典例某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元解析设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为即目标函数为z2 100x900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分作直线2 100x900y0，即7x3y0并上下平移，易知当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得B(60,100)则zmax2 10060900100216 000(元)答案216 000方法技巧求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式能力练通抓应用体验的“得”与“失”1某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x_.解析：如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线ba0，并平移，结合a，bN，可知当a6，b7时，ab取最大值，故x6713.答案：132A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z300x400y.画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z300x400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，由方程组解得则zmax 300340021 700.故最大利润是1 700元答案：1 7003某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为_万元.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128解析：设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z3x4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z3x4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为324318.答案：184制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资x万元，y万元，由题意知目标函数zx0.5y，作出可行域如图所示，作直线l0：x0.5y0，并作平行于直线l0的一组直线x0.5yz，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x0.5y0的距离最大，这里M点是直线xy10和0.3x0.1y1.8的交点，解方程组解得x4，y6，此时z140.567(万元) 70，当x4，y6时z取得最大值投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1不等式组所表示的平面区域的面积等于_解析：平面区域如图中阴影部分所示解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.SABC1.答案：2若x，y满足则zx2y的最大值为_解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示作直线x2y0并上下平移，易知当直线过点A(0,1)时，zx2y取最大值，即zmax0212.答案：23若x，y满足约束条件则(x2)2(y3)2的最小值为_解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P(2，3)到直线xy20的距离为，所以(x2)2(y3)2的最小值为2.答案：4设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为_解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，z3xy，y3xz，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax 3224.答案：45(2018常州月考)已知实数x，y满足条件则yx的最大值为_解析：令zyx，作出不等式组对应的区域，作出指数函数yx，平移函数yx的图象，可知当函数yxz的图象经过点A时z取最大值由得A(1,1)，所以xy1时，yx取最大值.答案：练常考题点检验高考能力一、填空题1(2018东台中学月考)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a_.解析：不等式组所围成的区域如图所示则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1a)，且a1， SABC2， (1a)12，解得a3.答案：32(2018江苏八市高三质检)已知x，y满足约束条件目标函数z6x2y的最小值是10，则z的最大值是_解析：由z6x2y，得y3x，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y3x经过点C时，直线的纵截距最小，即z6x2y取得最小值10，由解得即C(2，1)，将其代入直线方程2xyc0，得c5，即直线方程为2xy50，平移直线3xy0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由得即D(3,1)，将点D的坐标代入目标函数z6x2y，得zmax63220.答案：203(2017浙江高考)若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由zx2y，得yx，是直线yx在y轴上的截距，根据图形知，当直线yx过A点时，取得最小值由得x2，y1，即A(2,1)，此时，z4，zx2y的取值范围是4，)答案：4，)4(2018安徽江南十校联考)若x，y满足约束条件则zyx的取值范围为_解析：作出可行域如图所示，设直线l：yxz，平移直线l，易知当l过直线3xy0与xy40的交点(1,3)时，z取得最大值2；当l与抛物线yx2相切时，z取得最小值，由消去y得x22x2z0，由48z0，得z，故z2.答案：5在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB，则|AB|_.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线xy20的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，由得C(2，2)由得D(1,1)所以|AB|CD|3.答案：36若x，y满足约束条件目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a0时，显然成立当a0时，直线ax2yz0的斜率kkAC1，a2.当a0时，kkAB2， a4.综上可得4a2.答案：(4,2)7若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为_解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示当直线xm从如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值解方程组得A点坐标为(1,2)，m的最大值是1.答案：18(2018如东中学月考)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_解析：作出不等式组所表示的区域如图所示，由1axy4得，a0，且在(1,0)点取得最小值，在(2,1)取得最大值，故a1,2a14，故a取值范围为.答案：9已知x，y满足则的取值范围是_解析：不等式组表示的平面区域如图所示，因为1，而表示平面区域内的点与点A(4,2)连线的斜率，由图知斜率的最小值为0，最大值为kAB，所以1的取值范围是，即的取值范围是.答案：10实数x，y满足不等式组则z|x2y4|的最大值为_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示z|x2y4|，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x2y40的距离的倍由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x2y40的距离最大，此时zmax21.答案：21二、解答题11若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，可知zxy过A(3,4)时取最小值2，过C(1,0)时取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围为(4,2)12(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(6,3)所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多第三节基本不等式本节主要包括2个知识点：1.利用基本不等式求最值；2.基本不等式的综合问题.突破点(一)利用基本不等式求最值基础联通抓主干知识的“源”与“流”1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式不等式成立条件等号成立条件a2b22aba，bRab2a，b同号abab2a，bRab2a，bRab3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”通过拼凑法利用基本不等式求最值例1(1)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为_(2)已知x，则f(x)4x2的最大值为_解析(1)0x1，x(33x)3x(1x)32.当且仅当x1x，即x时，等号成立(2)因为x，所以54x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.答案(1)(2)1方法技巧通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提通过常数代换法利用基本不等式求最值例2已知a0，b0，ab1，则的最小值为_解析a0，b0，ab1，2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立答案4方法技巧常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值通过消元法利用基本不等式求最值例3已知正实数x，y满足xy2xy4，则xy的最小值为_解析因为xy2xy4，所以x.由x0，得2y4，又y0，则0y4，所以xyy(y2)323，当且仅当y2(0y4)，即y2时取等号答案23方法技巧通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.(2018海口调研)已知a，b(0，)，且ab1，则ab的最大值为_解析：a，b(0，)，1ab2，ab，当且仅当ab时等号成立答案：2.已知函数yx4(x1)，当xa时，y取得最小值b，则ab_.解析：yx4x15，因为x1，所以x10，0.所以由基本不等式，得yx152 51，当且仅当x1，即(x1)29，即x2时取等号，所以a2，b1，ab3.答案：33.已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_解析：由已知得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号，令x3yt，则t0，且t212t1080，得t6.即x3y6.答案：64.已知a0，b0，ab1，则的最小值为_解析：
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