2022高考数学“一本”培养专题突破 限时集训6 空间几何体的三视图、表面积和体积 文

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2022高考数学“一本”培养专题突破 限时集训6 空间几何体的三视图、表面积和体积 文一、选择题1已知圆锥的母线长为8,底面圆周长为6,则它的侧面积是()A24B48C33D32A圆锥的母线长为8,底面圆周长为6,圆锥的侧面积为S侧6824.(教师备选)1当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时,圆锥侧面展开图的圆心角等于()A. B. C. DD设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则2,2,因母线长1,所以r,则侧面展开图扇形的弧长为,以母线长为半径的扇形的圆心角为,故此时圆锥侧面展开图的圆心角等于.2已知三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个球过正方体各顶点,则这三个球的体积之比为()A1 B123C123 D1827C设正方体的棱长为a,则其内切球半径R1;棱切球直径为正方体各面上的对角线长,则半径R2a;外接球直径为正方体的体对角线长,所以半径R3a,所以这三个球的体积之比为13()3()3123.故选C.3(2018沈阳模拟)已知S,A,B,C是球O表面上的不同点,SA平面ABC,ABBC,AB1,BC,若球O的表面积为4,则SA()A. B1C. D.B根据已知把SABC补成如图所示的长方体因为球O的表面积为4,所以球O的半径R1,2R2,解得SA1,故选B.2(2018合肥模拟)如图2413,网格纸上每个小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的表面中互相垂直的平面有 ()图2413A3对 B4对C5对 D6对B由三视图还原出原几何体的直观图如图所示,因为AB平面BCD,AE平面ABC,CD平面ABC,所以平面ABE平面BCD,平面AEB平面ABC,平面BCD平面ABC,平面AEDC平面ABC,故选B.3(2018郑州模拟)刘徽的九章算术注中有这样的记载:“邪解立方有两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也”意思是说:把一块立方体沿斜线分成相同的两块,这两块叫做堑堵,再把一块堑堵沿斜线分成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积比为21,这个比率是不变的如图2414是一个阳马的三视图,则其表面积为()图2414A2 B2C3 D3B由三视图可得该四棱锥的底面是边长为1的正方形,有一条长度为1的侧棱垂直于底面,四个侧面三角形都是直角三角形,侧面积为211211,底面积是1,所以其表面积为2,故选B.4已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,记该圆锥的内切球的表面积为S1,外接球的表面积为S2,则()A12 B13C14 D18C如图,由已知圆锥侧面积是底面积的2倍,不妨设底面圆半径为r,则lR2r2,2rR2r2,解得R2r.故ADC30,DCB90.则,.故.故选C.(教师备选)在三棱锥PABC中,侧棱PAPB2,PC,则当三棱锥PABC的三个侧面的面积之和最大时,三棱锥PABC的内切球的表面积是()A(328) B(3216)C(408) D(4016)D由已知可得三棱锥的侧面PAB的面积SPABPAPBsinAPB2sinAPB,要使此面积最大,则APB90,同理可知,当PA,PB,PC两两垂直时,三棱锥PABC的三个侧面的面积之和最大如图,设内切球的球心为O,则O到三棱锥的四个面的距离相等,均为球O的半径r.因为PAPB2,PC,所以BCAC,AB2,可得ABC,APC,APB,BPC的面积分别为4,2,所以VPABC(42)r2,解得r2,所以内切球的表面积S4r2(4016).二、填空题(教师备选)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为_设新的底面半径为r,由题意得524228r24r28,r27,r.5(2018榆林模拟)如图2415,在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图,则该多面体的外接球表面积为_图241548根据三视图知几何体的直观图如图所示:三棱锥PABC是棱长为4的正方体的一部分,三棱锥PABC的外接球是此正方体的外接球,设外接球的半径是R,由正方体的性质可得,2R4,则R2,即该几何体外接球的表面积S4R248.(教师备选)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点在同一个球面上,则该球的体积为_由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r1,其高h1,球半径为R,该球的体积VR33.6(2017济南模拟)已知某几何体的三视图及相关数据如图2416所示,则该几何体的体积为_图2416由三视图得该几何体是底面半径为1,高为2的圆锥体的一半和一个底面半径为1,高为2的圆柱体的一半的组合体,所以其体积为122122.三、解答题7(2018广州模拟)如图2417,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,且BC2AD4,E,F分别为线段AB,DC的中点,沿EF把AEFD折起,使AECF,得到如下的立体图形(1)证明:平面AEFD平面EBCF;(2)若BDEC,求点F到平面ABCD的距离图2417解(1)证明:由题意可得EFAD,AEEF,又AECF,EFCFF,AE平面EBCF.AE平面AEFD,平面AEFD平面EBCF.(2)过点D作DGAE交EF于点G,连接BG,则DG平面EBCF,EC平面EBCF,DGEC,又BDEC,BDDGD,EC平面BDG,又BG平面BDG,ECBG.于是可得EGBBEC,EB2EGBCADBC8,EB2.设点F到平面ABCD的距离为h,由VFABCVABCF,可得SABChSBCFAE.BCAE,BCEB,AEEBE,BC平面AEB,ABBC.又AB4BC,SABC448.又SBCF424,AEEB2,8h4216,解得h2.故点F到平面ABCD的距离为2.8(2017全国卷)如图2418,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ADCD.图2418(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,ABBD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解(1)证明:如图,取AC的中点O,连接DO,BO.因为ADCD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.从而AC平面DOB,故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC90,所以DOAO.在RtAOB中,BO2AO2AB2.又ABBD,所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2,故DOB90.由题设知AEC为直角三角形,所以EOAC.又ABC是正三角形,且ABBD,所以EOBD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.
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