数学第八章 立体几何初步 第2节 简单几何体的表面积与体积 北师大版

第第2节节简单几何体简单几何体的表面积与体积的表面积与体积最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.知知 识识 梳梳 理理2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧_S圆锥侧_S圆台侧_2rlrl(r1r2)l3.简单几何体的表面积与体积公式S底h4R2诊诊 断断 自自 测测解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案(1)(2)(3)(4)解析由题意，得S表r2rlr2r2r3r212，解得r24，所以r2(cm).答案B答案A答案B5.(2018西安质检)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3.解析根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，四棱锥的高为3 m.答案2考点一考点一简单几何体简单几何体的的表面积表面积【例1】 (1)(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20 B.24C.28 D.32(2)(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A.10 B.12C.14 D.16解析(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由三视图知r2，c2r4，h4.故该几何体的表面积S表答案(1)C(2)B规律方法1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A.17 B.18C.20 D.28解析(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示.答案(1)B(2)A(2)(2016山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为()又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1的底面B1DC1上的高，答案(1)C(2)C规律方法1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.3.若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【训练2】 (1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x的值是()(2)(2018郑州质检)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的主视图如图所示，则该三棱锥的体积是_.(2)由题可知，三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由主视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h1，解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.2r43，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.答案B【迁移探究】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积.解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球.体对角线BC1的长为球O的直径.故S球4R2169.规律方法1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练3】 (1)(2017全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9.则球O的表面积为_.(2)(2018佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64C.144 D.256解析(1)如图，连接OA，OB，因为SAAC，SBBC，所以OASC，OBSC.因为平面SAC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，且OA 平面SAC，所以OA平面SBC.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，答案(1)36(2)C