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核准通过，归档 资料。未经允许，请勿 外传！高等数学基础归类复习一、单项选择题1-1下列各函数对中，(C )中的两个函数相等.A. f(x) (VX)2, g(x) x B.f(x) Vx2 , g(x) xC. f (x) In x3 , g(x) 3ln x D.f(x) x 1, g(x)x2 1x 11- 2.设函数f(x)的定义域为(),则函数f(x) f( x)的图形关于(C )对称.A.坐标原点B.x 轴 C. y 轴 D. y x设函数f(x)的定义域为(，)，则函数f(x) f( x)的图形关于(D )对称.A.B.x轴 C.y轴 D.坐标原点x x.函数y 的图形关于（A）对称.（A）坐标原点（B） x轴 （C）y 轴（D）1- 3.下列函数中为奇函数是（B ）.x xy ln(1 x)A. y ln(1 x2) B. y xcosx C. y-/D.F列函数中为奇函数是（A ）.A. y x3 x B.y ex e x C. y ln(x 1) D.y xsin xF列函数中为偶函数的是（DA y (1 x)sin x B yx2xC y xcosx D y ln(1 x2)2-1下列极限存计算不正确的是（2lim ln(1 x) 0x 0A. lim 1B.xx2 2sin x nC. lim 0x xD.lim xsin12-2当x 0时，变量（C ）是无穷小量.A. B.x0时，变量（C0时，变量（D1 xsin 一xD.ln(x 2)）是无穷小量.）是无穷小量.F列变量中，是无穷小量的为（1A sin x 0 B ln x x1ex3-1设f（x）在点x=1处可导，则limf1h 02h) f(1)A. f (1) B.f (1) C.设f(x)在x0可导，则lim (x0 h 02h) f(x。)sin xxsin xx2fex 1 D2x DD.D.ln(x 1)2f (1)A f (xo)B 2 f (xo) Cf (xo) D2f (xo)设f(x)在xo可导,则limh 0f (xo 2h) f (xo)2hA. 2f (xo)B. f (xo)C.2f (xo)D.f (xo)设 f(x)ex,则 limx 0f (1 x) f(1)B.2eC.-e D. 23-2.下列等式不成立的是A. exdx dex B sin xdxd (cos x) C.1 dx2 二xD.In xdxd(-)xF列等式中正确的是（、1).A. d(1arctanxdxB.1dxd(一)xxC.d(2xln 2)2xdxD.d (tan x) cot xdx4-1 函数 f (x) x2 4x1的单调增加区间是（A. (,2)B.(1,1) C.(2,)D.(2,)函数y x2 4x 5在区间（6, 6）内满足（A ）.A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升.函数y x2 x 6在区间（5, 5）内满足（A ）A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升函数y x5-1 若 f(x)的一个原函数是 1,则 f(x) (D ). A. lnx B. 口 C. -D.xxx x.若F（x）是f（x）的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）xbA f (x)dx F (x) F (a) B F (x)dx f (b) f (a) aa 2x 6在区间（2,5）内满足（D ）.A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升(x)dx F(b) F(a)Cf(x) F(x)5-2 若 f (x) cosx ,则(x)dx ( BA. sin x c B.cosx c C. sin x c D.cosx cF列等式成立的是（D ）.A. f (x)dx f (x) B.df (x) f(x)C. d f (x)dx f (x)D.f(x)dx f (x) dxx1 2f(x3)dx( B ) . A. f(x3) B.dx11 Qxf (x2 )dx ( D ) dxfjC. 3f(x) D. 3 f(x)5.-3 若 f(x)dx F (x)c ,贝Uf (vx)dxxA. F(，x) c B.2F(, x) c C. F(2 .x) c D. 1 F(,x) c x补充： exf(ex)dx F(ex) c,无穷积分收敛的是口dx 1 x函数f (x) 10x 10 x的图形关于y轴 对称、填空题1.函数f(x)9ln( 1 x)的定义域是 (3, +x)x 3函数y x的定义域是(2, 3)U (3, 4 ln(x 2)函数f(x) ln(x 5)的定义域是 (一5, 2)2 x若函数 f(x) x；J x ”Uf(0)12若函数f(x) (1 x)x, x 0,在x 0处连续，则k ex k, x 0sin 2x.函数f(x) x x 0在x 0处连续，则k 2k x 0一一x1x0函数yx1,x0的间断点是 x=0sin x , x 0函数y x2 . 3的间断点是 x=3 x 3函数y的间断点是 x=0 x1 e3-1.曲线f(x) & 1在(1,2)处的切线斜率是1/2曲线f(x) ,仅为在(2, 2)处的切线斜率是 J/4曲线f(x) ex 1在(0, 2)处的切线斜率是.曲线f(x) x3 1在(1, 2)处的切线斜率是 3-2曲线f(x) sinx( j,1)处的切线方程是y = 1.切线斜率是 _0曲线y = sinx 在点(0,0)处的切线方程为y = x 切线斜率是14.函数y ln(1 x2)的单调减少区间是(一X, 0 )2函数f(x) ex的单调增加区间是(0, +x).函数y (x 1)2 1的单调减少区间是(X, 1 ).函数f(x) x2 1的单调增加区间是 (0, +x)2函数y e x的单调减少区间是(0, +x)5-1 d e x dx e x dx. 一 sin x2dxsin x2 .dx(tanx) dx tan x +C若 f (x)dx sin3x c ,贝U f (x)- 9 sin 3x5-23(sin5 x 1)dx 3d eln(x 1)dx dx 1F列积分计算正确的是(B ).1VV1VV-A (e e )dx 0 B (e e )dx 0 C1112x dx 0 D111|xdx 0三、计算题（一）、计算极限（1小题，11分）(1)利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。(2)利用连续函数性质:”*0)有定义，则极限lim f (x)f (x0)x x0类型1:利用重要极限sin x /sin kx ,tan kx ,lim 1 ， lim k, lim kx 0 xx 0 xx 0 x计算1-1求1所退x 0 sin 5x解:sin 6xsin 6xxlimlim xx 0 sin 5x x 0 sin 5xx1-2tan x 求 lim X 0 3x1-3求妈tan 3x扁刀 tan 3x tan3x o解：lim =lim .3x 0x x 0 3x类型2:因式分解并利用重要极限sin(x a) lim1 ,.x alim1x a (x a)x a sin(x a)化简计算。右刀tan x1 tan x1斛：limlimx 0 3x3x 0 x32-1 求 lim x 1 sin(x 1)1)22-2 limx 1sin x 1x2 1解:lim Si? 1)iimsin(x 1)，i，x 1 X21 x 1 (x 1) (x 1)1 122o o x 4x 3x 4x 3 . (x 3)( x 1)2-3 lim 用牛： lim lim lim (x 1) 2x 3 sinx 3)x 3 sin(x 3) x 3 sin(x 3) x 3类型3:因式分解并消去零因子，再计算极限3-12.x lim ;x 4x26x 8解:lim3-22. x lim f x 3x23-32.x lim x 2其他:5x 4x 6x 12limx :2 x-2 x6x 85x.(x 4)(x= lim -x 4 (x 4)(x1)lxm,2 x3-23 xx 6x 12lim x 3 x3x4xim33x 2 x2 42.x lim x 23x 2(x 2)(x 1)(x 2)( x2).xlim lim 3x 0 sin xlimx 0 sin x0,sinx lim x 0 . x 1sin lim2 x lim 2 x x6x 54xlimx2 x 21，xlimx2x2 6x3x2 4x 5limx2x23x2（0807考题）计算tan 8xlimx 0 sin 4x解：lxm0鬻tan 8xM。人.（0801考题.）计算眄要解 limsn0 2x1 sin x 1-lim 一一2 x 0 x 22(0707考题.)lim -_2_2 = iim(x 1Mx 3) 1(13)4x 1 sin(x 1) x 1 sin(x 1)（二）求函数的导数和微分（1小题，11分）（1）利用导数的四则运算法则(u v) u v(uv) u v uv（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式类型1:加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后3 -。2 xx2e23Q 135cx 37-2xx23 e -x2 x2 3 e21-1 y (x.x 3)ex33解：y = x2 3 ex x2 3 ex1-2 y cot x x2 ln x解:2、(cot x) (x ln x)2/ 2、csc x (x )ln xx2(ln x)2csc x 2x ln x x1-3 设 y ex tan x ln x ,求 y .解： y(extanx) (In x)(ex) tan x ex (tan x) 1 ex tan x ex sec2 x xx类型2:加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导2-1sinx2 In x ,求 y解：y (sin x2)(In x) 2xcosx22-2cosex sinx2,求解:(cosex)(sin x2) x x22x xsine .(e ) cosx .(x ) e sin e22xcosx2-3 yIn 5 x e 5x,求解：y (ln 5 x) .(e 5x)- In 4 x 5ex5x类型3:乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导x2y e cosxA 一；12；J2.解： y (e ) cosx e (cosx) 2xe cosx e sinx其他:cX cosx2,求 y 。x解：y(2X)(半2Xln2 90sx) - 2cosx(幻XX2X ln2Xsin x cosx0807.设 y es1nx sin x2,求 y在刀/ sin x2、 sin x2用牛： y (e ) (sin x ) e cosx 2xcosx2.-0801.仅 y xe ，求 y解：y (x) exx(eX ) ex2x2eX0707.设y esinx x2,求_sinx2sinxy e .(sin x) (x ) cosxe 2x0701.设 y In x cosex,求解：y (In x)sinex.(ex)- exsinexx（三）积分计算：（2小题，共22分）-2dxdd)XX凑微分类型1：1 cos- 计算lx xdx1 cos- 解：一dxcos-d(1)x x,1 csin- cx0707.计算.1 sin x2- xdx 解:.1 sin- -2x dxx11sin d(-)1cos- cx0701计算1exx解:1ex .-dx x11 exdx凑微分类型2:1 一dx 2 d x.计算 cosdx.、乂解:cOsx dx 2 cos Txd J x % x2sin x c0807.计算sin xjdx .解:sin x .,dx 2 sin xdvx、x2cos-x ce x0801.计算 dx解:x_edx 2 e&x 2e，.，x凑微分类型1dxd ln x,dxd (aln x)xx3:计算 dx解：dxd ln x 1 du ln | In x | cxlnxxlnx ln x u.计算解:e 2 ln x ,dx1 xe1(2lnx)d(2 In x)12-(2 In x)2 25定积分计算题，分部积分法类型1:11a11a11ax1a1aa Ia Ia_a Ix Inxdx In xdx x In x x dx In x 2 x ca 1a 1a 1 a 1 (a 1)计算 xlnxdx1xln xdx-In xdx2 21x2 ln x 2计算Tdx1 xln x 斛：a 2 ,-2-dxx111ln xd(-)lnxcxxx计算解：a-ndx 2 ln xd Vx 2 x ln x 4& celn xd . x1(2、Glnx 4Jx)：2、e 40807v xlnxdx23e一lnxd x 22 f(x ln x42x2)9e2 J - e413131990707e 2x ln xdxe3lnxdx1 13 .(-x ln x13、x )e2 3 e113139199类型2ax ,1.，ax、1 ax1 axxe dxxd (e )一 xe-2 ecaaa(0801考题)11oxe dx oxde(xe e )1111xsin axdx-xcosax一 cosaxdx-xcosaxsin ax caaaa类型3:四、应用题(1题，16分)类型1:圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为时，圆柱体的体积最大？l,问当底半径与高分别为多少解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足h2 r2 l2圆柱体的体积公式为V r2h /(12 h2)h求导并令 V Ml2 3h2) 0得h4，并由此解出r Bl.即当底半径r ；l,高h3时,圆柱体的体积最大.类型2:已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1 （0801考题）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r,高为h,则其容积V .r2.h,h 二 .r表面积为 S 2 ur2 2 urh 2“2 2V rS 471r 考， 由 S 0得 r J-V-,此时 h 2r 3W。r22兀V冗由实际问题可知，当底半径r与高h 2r时可使用料最省。一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小 二!解：本题的解法和结果与2-1完全相同。生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r,高为h,则无盖圆柱形容器表面积为S冗产2批1型，令S 2江考0,得r F，h r,rrV tt由实际问题可知，当底半径r 3,上与高h r时可使用料最省。,兀2-2欲做一个底为正方形，容积为 32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？( 0707考题)解：设底边的边长为x,高为h,用材料为y,由已知x2h V 32 , hx表面积 y x2 4xh x2 ”， x令 y 2x 缘 0 ,得 x3 2V 64 ,此时 x 4, h =2 xx由实际问题可知，x 4是函数的极小值点，所以当 x 4, h 2时用料最省。欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最解：本题的解法与2-2同，只需把V=62.5代入即可类型3求求曲线y2 kx上的点，使其到点 A(a,0)的距离最短.曲线y2 kx上的点到点A(a,0)的距离平方为L (x a)2 y2 (x a)2 kxL 2(x a) k 0, 2x 2a k3-1在抛物线y2 4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短.解：设所求点P (x, y),则满足y2 4x ,点P到点A的距离之平方为令L 2(x 3) 4 0,解得x 1是唯一驻点，易知x 1是函数的极小值点，当x 1时，y 2或y 2,所以满足条件的有两个点(1, 2)和(1,一2)3-2 |求曲线y2 2x上的点，使其到点 A(2,0)的距离最菽一解：曲线y2 2x上的点到点A ( 2 , 0 ) 的距离之平方为L (x 2)2 y2 (x 2)2 2x令 L 2(x 2) 2 0,得 x 1, 由止匕 y2 2x 2 , y 2即曲线y2 2x上的点(1,行)和(1, 后)到点A (2, 0)的距离最短。08074 求曲线y x2上的点，使其到点 A (0, 2)的距离最短。解： 曲线y x2上的点到点A ( 0 , 2 )的距离公式为dx2 (y 2)2 y (y 2)2d与d2在同一点取到最大值，为计算方便求 d2的最大值点,令(d2)0得y |,并由此解出x今 即曲线y x2上的点(表”和点(建)到点A (, 2)的距离最短11A xf (x ) B f (x)dx C f (x) D xf (x )dx22解： lim x- = lim (x1) .(x 1) 1 ( 1x 1 sin(x 1) x 1 sin(x 1)
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