（鲁京辽）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 第2课时 直线与平面平行学案 新人教B版必修2

第2课时直线与平面平行学习目标1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题知识点一直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a直线与平面相交有且只有一个公共点aA直线与平面平行没有公共点a知识点二直线与平面平行的判定思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在内)和平面有何位置关系？答案平行思考2如图，平面外的直线a平行于平面内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面相交吗？答案由于直线ab，所以两条直线共面，直线a与平面不相交梳理直线与平面平行的判定定理文字语言符号表示图形表示如果不在一个平面内一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行l知识点三直线与平面平行的性质思考1如图，直线l平面，直线a平面，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线思考2如图，直线l平面，直线l平面，平面平面直线m，满足以上条件的平面有多少个？直线l，m有什么位置关系？答案无数个，lm.梳理直线与平面平行的性质定理文字语言符号表示图形表示如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行lm1若直线l上有两点到平面的距离相等，则l平面.()2若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线平行()3两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()类型一直线与平面平行的判定例1已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且APDQ(如图)求证：PQ平面CBE.证明方法一作PMAB交BE于点M，作QNAB交BC于点N，连接MN，如图，则PMQN，.EABD，APDQ，EPBQ.，又ABCD，PMQN，四边形PMNQ是平行四边形，PQMN.又PQ平面CBE，MN平面CBE，PQ平面CBE.方法二如图所示，连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK.AEBD，APDQ，PEBQ，又ADBK，PQEK，又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.反思与感悟证明直线与平面平行的两种方法(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，一般直接证明较为困难，往往借助于反证法来证明(2)定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行跟踪训练1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF平面AD1G.证明连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点知，EFBC1.又AB綊A1B1綊D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1AD1，所以EFAD1.又EF平面AD1G，AD1平面AD1G，所以EF平面AD1G.类型二线面平行的性质的应用例2如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形证明因为AB平面MNPQ，平面ABC平面MNPQMN，且AB平面ABC，所以由线面平行的性质定理知，ABMN.同理ABPQ，所以MNPQ.同理可得MQNP.所以截面MNPQ是平行四边形引申探究1若本例条件不变，求证：.证明由例1知：PQAB，.又QMDC，.2若本例中添加条件：ABCD，AB10，CD8，且BPPD11，求四边形MNPQ的面积解由例1知，四边形MNPQ是平行四边形，ABCD，PQQM，四边形MNPQ是矩形又BPPD11，PQ5，QM4，四边形MNPQ的面积为5420.反思与感悟(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行跟踪训练2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段FE的长度等于_答案解析EF平面AB1C，又平面ADC平面AB1CAC，EF平面ADC，EFAC，E是AD的中点，EFAC2.类型三线面平行的综合应用例3如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC平面PADl.(1)求证：lBC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论(1)证明因为BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因为平面PBC平面PADl，且BC平面PBC，所以BCl.(2)解平行证明如下：如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NEAM且NEAM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MNAE.又AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.反思与感悟判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：线线平行线面平行线线平行跟踪训练3如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH平面PAD.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，PAMO，而AP平面BDM，OM平面BDM，PA平面BMD，又PA平面PAHG，平面PAHG平面BMDGH，PAGH.又PA平面PAD，GH平面PAD，GH平面PAD.1如图，在正方体ABCDABCD中，E，F分别为平面ABCD和平面ABCD的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A1个 B2个 C3个 D4个答案D解析由直线与平面平行的判定定理知EF与平面AB，平面BC，平面CD，平面AD均平行故与EF平行的平面有4个2梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是()A平行 B平行或异面C平行或相交 D异面或相交答案B解析CD，直线CD与平面内的直线的位置关系是平行或异面3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为_考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析A1C1AC，A1C1平面ACE，AC平面ACE，A1C1平面ACE.4.如图所示，直线a平面，A，并且a和A位于平面两侧，点B，Ca，AB，AC分别交平面于点E，F，若BC4，CF5，AF3，则EF_.答案解析由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面，所以EF.因为a平面，a平面，所以EFa.所以.所以EF.5.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点求证：AF平面PCE.证明如图，取PC的中点M，连接ME，MF，则FMCD且FMCD.又AECD且AECD，FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形，AFME.又AF平面PCE，EM平面PCE，AF平面PCE.1求证两直线平行有两种常用的方法：一是应用基本性质4，证明时要充分应用好平面几何知识，如平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理等二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点2求证角相等也有两种常用的方法：一是应用等角定理，在证明的过程中常用到基本性质4，注意两角对应边方向的讨论二是应用三角形全等或相似3利用直线与平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等4利用线面平行的性质定理解题的步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面(3)确定交线，由性质定理得出结论.一、选择题1若直线a，b是异面直线，a，则b与平面的位置关系是()A平行 B相交Cb D平行或相交答案D解析a，b异面，且a，b，b与平行或相交2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH平面SCD，则()AGHSABGHSDCGHSCD以上均有可能答案B解析因为GH平面SCD，GH平面SBD，平面SBD平面SCDSD，所以GHSD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.3.P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：OMPD；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析由题意知，OMPD，则OM平面PCD，且OM平面PDA.4已知直线l平面，P，那么过点P且平行于l的直线()A只有一条，不在平面内B只有一条，在平面内C有两条，不一定都在平面内D有无数条，不一定都在平面内答案B解析如图所示，l平面，P，直线l与点P确定一个平面，m，Pm，lm且m是唯一的5一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()AlBlCl与相交但不垂直Dl或l答案D解析l时，直线l上任意点到的距离都相等l时，直线l上所有的点到的距离都是0；l时，直线l上有两个点到的距离相等；l与斜交时，也只能有两点到的距离相等6.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且m，若AE平面DB1C，则m的值为()A. B1 C. D2答案B解析如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，当m1时，ADGEBB1且ADGE，四边形ADGE为平行四边形，则AEDG，可得AE平面DB1C.7如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若，则与平面EFGH平行的直线有()A0条 B1条 C2条 D3条考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案C解析，EFAB.又EF平面EFGH，AB平面EFGH，AB平面EFGH.同理，由，可证CD平面EFGH.与平面EFGH平行的直线有2条二、填空题8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是_答案平行解析如图，连接BD，与AC交于点O，连接OE.OE为BDD1的中位线，BD1OE.又BD1平面AEC，OE平面AEC，BD1平面AEC.9.如图，四边形ABDC是梯形，ABCD，且AB平面，M是AC的中点，BD与平面交于点N，AB4，CD6，则MN_.答案5解析AB平面，AB平面ABDC，平面ABDC平面MN，ABMN.又M是AC的中点，MN是梯形ABDC的中位线，故MN(ABCD)5.10.如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是_答案平行解析ACA1C1，A1C1平面A1B1C1D1，AC平面A1B1C1D1，AC平面A1B1C1D1.平面ACB1平面A1B1C1D1l，ACl.11过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条答案6解析如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.三、解答题12如图，四边形ABCD为正方形，ABE为等腰直角三角形，ABAE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论解如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM平面BCE.取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊AB綊PC，所以四边形MNCP为平行四边形，所以PMCN.因为PM平面BCE，CN平面BCE，所以PM平面BCE.13如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点求证：BD平面FGH.证明如图，连接DG，CD，设CDGFO，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DF綊GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OHBD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.四、探究与拓展14下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的是()A BC D答案B解析如图()，连接BC，则平面ABC平面MNP，所以AB平面MNP，所以正确如图()，连接底面正方形对角线，并取其中点O，连接ON，则ONAB，所以AB与平面PMN相交，不平行，所以不满足题意AB与平面PMN相交，不平行，所以不满足题意因为ABNP，所以AB平面MNP.所以正确故答案为.15.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD.AB4.BCCD2，AA12，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点证明：直线EE1平面FCC1.证明如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，FF1.FF1BB1CC1，F1F平面FCC1，平面FCC1即为平面C1CFF1.AB4，CD2且ABCD，CD綊A1F1，A1F1CD为平行四边形，CF1A1D.又E，E1分别是棱AD，AA1的中点，EE1A1D，CF1EE1，又EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，直线EE1平面FCC1.16