资源描述
5不等式的应用学习目标1.了解不等式应用的广泛性.2.能用不等式解决一些生产及生活中的问题知识点一平均值不等式写出平均值不等式(1)(a，bR)，当且仅当ab时，“”号成立(2)(a，b，cR)，当且仅当abc时，“”号成立知识点二不等式的应用1不等式的应用大致分为两类(1)利用不等式研究函数的性质，求参数的取值范围(2)实际问题中建立不等式(或函数)模型，解决简单的实际问题2解不等式应用问题的四个步骤(1)审题，必要时画出示意图(2)建立不等式模型，即根据题意找出常数量和变量之间的不等关系(3)利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号(4)作出问题结论类型一列不等式解实际应用题例1某学校为提高办学质量，决定为各班教室配置一台液晶电视机，经过学校研究，决定分别从两种质量相当的电视机品牌中选择功能相同的电视机型号据了解，甲型号电视机为家电下乡政府补贴品牌，每台享受13%政府补贴优惠政策(即按原价的87%出售)，乙型号电视机的优惠条件是：不超过20台(含20台)时，每台按原价出售，超过20台时，超过的台数，每台按原价的77%出售如果这两种型号的电视机原价相同，你觉得应该选择哪种型号的电视机更合算？解设学校要购买x(xN)台电视机，甲、乙两种型号的电视机售价总额分别为y甲元、y乙元，一台电视机的售价为a元，则y甲0.87ax，y乙当x20时，显然选甲型号电视机更合算当x20时，y甲y乙0.87ax20a(x20)0.77a0.87ax20a0.77ax15.4a0.1ax4.6a.故当x46时，选乙型号电视机更合算反思与感悟利用不等式表示不等关系时，要注意以下两点(1)根据题意，利用引入的变量表示出其他所涉及的变量(2)要准确地使用不等号，同时注意实际情况对表示各量的字母取值范围的限制跟踪训练1某校园内有一边长为80m，宽为60m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，则花卉带宽度(单位：m)的范围是_答案(0,10解析设花卉带的宽度为xm，则中间草坪的长为(802x)m，宽为(602x)m.根据题意知(802x)(602x)8060，即4x21402x80600，整理得x270x60100，即(x60)(x10)0，所以0t2Bt12，t2t2.2某城市为控制用水计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0qp1)()A先提价p%，再提价q%B先提价q%，再提价p%C两次都提价%D两次都提价%答案C解析由题可知，A，B提价均为(1p%)(1q%)1，C提价21，D提价21.由(1p%)(1q%)12121，故提价最多的方案是C.3汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0ab，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值()A大B小C相等D不能确定答案B解析设单程为s，则上坡时间t1，下坡时间t2，平均速度为v0)，已知船在静水中的速度为v2(v20)，试比较v1和v2的大小解设水流速度为v(v0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t，平均速度v1.v10，v20，121，v1v2.利用不等式解决实际应用问题时应注意：(1)要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值(2)分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题目中最后所要求的量或不等式)(3)利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对变量x取值范围的制约一、选择题1某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(00，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值为()A2B3C4D5答案D解析因为ab1，所以ab11115，当且仅当ab时“”成立，故选D.5若关于x的方程9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围是()A(，80，) B(，4C8,4) D(，8答案D解析由9x(4a)3x40可得出a4248，当且仅当3x2时“”成立，a(，86设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0B1C.D3答案B解析由题意1，当且仅当x2y时等号成立，此时z2y2，211，当且仅当y1时等号成立，故所求的最大值为1.二、填空题7周长为1的直角三角形面积的最大值为_答案解析设直角三角形的两直角边长分别为a，b，则1ab2.解得ab.所以直角三角形面积Sab.8天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(nN)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了_天答案800解析日平均耗资为280，当且仅当，即n800时取等号9某产品的总成本c(万元)与产量x(台)之间满足的关系式为c30020xx2，其中0x240，若每台产品售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为_台答案15解析由题意可知30020xx225x，解得x15或x20(舍去)10周长为20的矩形绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为_答案50解析设矩形的长为x，则宽为10x，则圆柱的侧面积S2x(10x)(0x0,10x0，S2x(10x)2222550，当且仅当x10x，即x5时取等号11制造一个容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，当圆柱形桶的底面半径为_米，高为_米时，所使用的材料成本最低答案解析设此圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面面积为r2，侧面积为2rh，设原料成本为y元，则y30r240rh.桶的容积为，r2h，rh，y30r210103，当且仅当3r2，即r时等号成立，此时h.三、解答题12某小区要建一座八边形的休闲区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4 200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺草坪，造价为每平方米80元(1)设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的关系式；(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值解(1)设DQ长为y米，则x24xy200，y，S4200x22104xy802y2380004000x2.(2)x0，S380002118000，当且仅当x时，等号成立，Smin118000.13某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元1000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：f(x)2；f(x)4lgx3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？解(1)公司对函数模型的基本要求是：当x10,1 000时，f(x)是增函数；f(x)恒成立；f(x)9恒成立(2)对于函数模型f(x)2，当x10,1 000时，f(x)是增函数，则f(x)maxf(1000)22，即f(x)不恒成立，故该函数模型不符合公司要求对于函数模型f(x)4lgx3，当x10,1 000时，f(x)是增函数，则f(x)maxf(1000)4lg100039，所以f(x)9恒成立设g(x)4lgx3，则g(x).当x10时，g(x)0，所以g(x)在10,1 000上是减函数，从而g(x)g(10)10，所以4lgx30，即4lgx3，所以f(x)恒成立，故该函数模型符合公司要求四、探究与拓展14已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是_答案解析由题意知函数f(x)在(0，)上单调递减，又f(x)是偶函数，所以由f(2|a1|)f()f()知，2|a1|，即|a1|，解得a.15等差数列an各项均为正整数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b11，且b2S264，是公比为64的等比数列(1)求an与bn；(2)证明：.(1)解设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1.依题意有由(6d)q64知，q为正有理数，又由q知，d为6的因数1,2,3,6之一，解得d2，q8.故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)证明Sn35(2n1)n(n2)所以(1)(1).11
展开阅读全文