（全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题四 概率与统计 第2讲 概率与统计学案 文

第2讲概率与统计高考定位1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件；2.概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度.真 题 感 悟1.(2018全国卷)从2名男同学和3名女同学中任取2人参加社区服务，恰好选中的2人都是女同学的概率是()A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3解析设2名男同学记为x，y，3名女同学记为a，b，c.从中任取2人有x，a，x，b，x，c，y，a，y，b，y，c，a，b，a，c，b，c，x，y共10种不同的结果，其中都是女生的有a，b，a，c，b，c三种不同结果.故所求事件的概率p0.3.答案D2.(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()A.p1p2 B.p1p3C.p2p3 D.p1p2p3解析不妨设ABC为等腰直角三角形，ABAC2，则BC2，所以区域的面积即ABC的面积，为S1222，区域的面积S3S12.区域的面积为S2S32.根据几何概型的概率计算公式，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3，故选A.答案A3.(2017全国卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A. B. C. D.解析法一如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数，123451(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为.法二从5张卡片中有放回的随机抽取两次，共有25种结果.其中两次卡片上的数相同有5种.所以抽得卡片上数字不同的概率p1，因此所求事件的概率pp.答案D4.(2018天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.解(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.(2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共21种.由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共5种.所以，事件M发生的概率P(M).考 点 整 合 1.古典概型的概率(1)公式P(A).(2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.2.几何概型的概率(1)P(A).(2)几何概型应满足两个条件：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等.3.概率的性质及互斥事件的概率(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率：P(A)1.(3)不可能事件的概率：P(A)0.(4)若A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，特别地P(A)P()1.热点一几何概型【例1】 (1)(2016全国卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B. C. D.(2)(2018湖南师大附中联考)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示).其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为_.解析(1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟.根据几何概型得所求概率p.(2)依题意，大圆的直径为y3sinx的最小正周期T8.所以大圆的面积S16.又一个小圆的面积S012.故所求事件的概率P.答案(1)B(2)探究提高1.几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解.2.求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.易错警示在计算几何概型时，对应的是区间、区域还是几何体，一定要区分开来，否则结论不正确.【训练1】 (1)若函数f(x)在区间0，e上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A. B.1 C. D. (2)(2018湖南长郡中学调研)折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为()A. B. C. D.解析(1)当0x1时，恒有f(x)ex7.879，P(K27.879)0.005，故有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.(2)这200名顾客中采用分层抽样，从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有53人，记编号为1，2，3.不使用手机支付的人有2人，记编号为a，b.则从这个样本中任选2人有(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10种.其中至少有1人是不使用手机支付的有(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共7种.故所求事件A的概率P(A).探究提高1.概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算.2.在求解该类问题时要注意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.【训练3】 (2018石家庄质检)交通违法扣分，是指驾驶人在道路行车中不按规定行车，产生相应的交通违法行为，从而导致相应的交通违法扣分，目前道路交通安全违法行为扣分分值，主要分为1，2，3，6，12分共五个等级的分值扣分项目.某街道居委会调查了本街道男女各50名驾驶员的交通违法扣分情况，如下表：扣分1263210男驾驶员141011420女驾驶员12145325(1)写出样本中男驾驶员扣分(包含0分情况)的众数和中位数；(2)从样本中扣6分的6名驾驶员中任意抽取2人，求其中至少有1名女驾驶员的概率；(3)请你依据表中数据，运用所学统计知识对该街道男女驾驶员交通违法扣分情况进行评价.解(1)样本中男驾驶员扣分的众数是0，中位数是2.(2)分别记样本中扣6分的4名男驾驶员为a，b，c，d，2名女驾驶员为M，N.从样本中扣6分的6名驾驶员中任意抽取2人，分别是ab，ac，ad，aM，aN，bc，bd，bM，bN，cd，cM，cN，dM，dN，MN，共有15种可能.其中至少有1名女驾驶员共有9种可能.设“从样本中扣6分的6名驾驶员中任意抽取2人，其中至少有1名女驾驶员”为事件A，则P(A).(3)从表中数据可以计算出男、女驾驶员交通违法扣分的平均值分别为，可以估计该街道男驾驶员去年全年交通违法扣分比女驾驶员略高(答案不唯一).一、选择题1.(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7解析某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1(0.150.45)0.4.答案B2.(2018合肥模拟)三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角满足tan ，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是()A. B. C. D.解析在RtABC中，tan .不妨设BC3，则AC4，则AB5，DC1，故p.答案D3.(2016全国卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A. B. C. D.解析小敏输入密码的所有可能情况如下：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种.而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为.答案C4.(2017天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A. B. C. D.解析从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种.所以所求概率p.答案C5.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B. C. D.解析设点P到点O的距离小于等于1的概率为p1，由几何概型，则p1.故点P到点O的距离大于1的概率p1.答案B二、填空题6.(2018广州二模)在区间6，7内任取一实数m，f(x)x2mxm的图象与x轴有公共点的概率为_.解析f(x)x2mxm图象与x轴有公共点，m24m0，则m0或m4.故所求事件概率p.答案7.(2018湖北六校联考)一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其均切成棱长为1的若干个小正方体，置于一密闭容器中搅拌均匀，从中任取一个小正方体，则取到至少两面涂红色的小正方体的概率为_.解析一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其切成棱长为1的小正方体，切割后共计4364个正方体.原来的正方体有8个顶点、12条棱、6个面，所以三面红色的正方体有8个；两面红色的正方体数为棱数的2倍，有12224个.从中任取一个，则取到至少两面涂红色的小正方体的概率为p.答案8.(2017黄山二模改编)从集合A2，4中随机抽取一个数记为a，从集合B1，3中随机抽取一个数记为b，则f(x)ax2bx1在(，1上是减函数的概率为_.解析依题意，数对(a，b)所有取值为(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)共4种情况.记“f(x)在区间(，1上是减函数”为事件A.则A发生时，x1，即ab.事件A发生时，有(2，1)，(4，1)，(4，3)共3种情况.故所求事件的概率P(A).答案三、解答题9.(2018北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102 000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550.故所求概率为0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051372.故所求概率估计为10.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.10.(2017山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个.则所求事件的概率为p.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为p.11.(2018成都诊断)某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼.经体检调查，这30位科研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示.爱好体育锻炼不爱好体育锻炼56898563345776652172976432085542913体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般.(1)根据以上资料完成下面的22列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”？身体状况好身体状况一般总计爱好体育锻炼不爱好体育锻炼总计30(2)从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中至多1人爱好体育锻炼的概率.附：K2.K2k00.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)22的列联表如下：身体状况好身体状况一般总计爱好体育锻炼16218不爱好体育锻炼4812总计201030则K2107.879，所以有99.5%的把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关”.(2)记“健康指数高于90的5人中爱好体育锻炼的”为ai(i1，2，3)，“健康指数高于90的5人中不爱好体育锻炼的”为bj(j1，2)，由题意知“从健康指数高于90的5人中随机选取2人”的所有基本事件是：a1a2、a1a3、a1b1、a1b2、a2a3、a2b1、a2b2、a3b1、a3b2、b1b2.记“2人中至多1人爱好体育锻炼”为事件A，则事件“2人中都爱好体育锻炼”，又所含的基本事件为a1a2、a1a3、a2a3.P()，故P(A)1P().14