（鲁京辽）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 第3课时 平面与平面平行学案 新人教B版必修2

第3课时平面与平面平行学习目标1.掌握平面与平面的位置关系，会判断平面与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示平面间的位置关系.3.掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用这两个定理解决问题知识点一平面与平面平行的判定思考三角板的两条边所在直线分别与平面平行，这个三角板所在平面与平面平行吗？答案平行梳理平面平行的判定定理及推论判定定理推论文字语言如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行符号语言l，m，l，m，lmAac，bd，abA，a，b，c，d图形语言知识点二平面与平面平行的性质观察长方体ABCDA1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的思考2过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行梳理平面平行的性质定理及推论性质定理推论文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例符号语言，a，bab，mA，mB，mC，nE，nF，nG图形语言1若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行()2若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行()3如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()类型一平面与平面平行的判定例1如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.证明如图，连接B1C.由已知得A1DB1C，且MNB1C，MNA1D.又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD.连接B1D1，同理可证PN平面A1BD.又MN平面MNP，PN平面MNP，且MNPNN，平面MNP平面A1BD.引申探究若本例条件不变，求证：平面CB1D1平面A1BD.证明因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1为平行四边形，所以BDB1D1.又BD平面CB1D1，B1D1平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，同理A1D平面CB1D1.又BDA1DD，所以平面CB1D1平面A1BD.反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线(3)转化为线线平行：平面内的两条相交直线与平面内的两条直线分别平行，则.(4)利用平行平面的传递性：若，则.跟踪训练1如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是A1B1C1的中位线，所以GHB1C1.又因为B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EFBC.因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因为A1GEB，A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB.因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.类型二面面平行性质的应用命题角度1与面面平行性质有关的计算例2如图，平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于S，且AS8，BS9，CD34，求CS的长证明设AB，CD共面，因为AC，BD，且，所以ACBD，所以SACSBD，所以，即，所以SC272.引申探究若将本例改为：点S在平面，之间(如图)，其他条件不变，求CS的长解设AB，CD共面，AC，BD.因为，所以AC与BD无公共点，所以ACBD，所以ACSBDS，所以.设CSx，则，所以x16，即CS16.反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2如图所示，平面平面，ABC，ABC分别在，内，线段AA，BB，CC共点于O，O在平面和平面之间，若AB2，AC2，BAC60，OAOA32，则ABC的面积为_答案解析AA，BB相交于O，所以AA，BB确定的平面与平面，平面的交线分别为AB，AB，有ABAB，且，同理可得，所以ABC，ABC面积的比为94，又ABC的面积为，所以ABC的面积为.命题角度2利用面面平行证明线线平行例3如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形ABCD外，且AA，BB，CC，DD互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，ADBC.AD平面BBCC，BC平面BBCC，AD平面BBCC.同理AA平面BBCC.AD平面AADD，AA平面AADD，且ADAAA，平面AADD平面BBCC.又AD，BC分别是平面ABCD与平面AADD，平面BBCC的交线，ADBC.同理可证ABCD.四边形ABCD是平行四边形反思与感悟本例充分利用了ABCD的平行关系及AA，BB，CC，DD间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后由平面平行的性质定理得线线平行跟踪训练3如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形证明如图，连接AC，BD，交点为O，连接A1C1，B1D1，交点为O1，连接BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面又因为平面ADD1A1平面BCC1B1，平面EBFD1平面ADD1A1ED1，平面EBFD1平面BCC1B1BF，所以ED1BF.同理，EBD1F.所以四边形BED1F是平行四边形类型三平行关系的综合应用例4设AB，CD为夹在两个平行平面，之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点求证：MP平面.证明如图，过点A作AECD交平面于点E，连接DE，BE.AECD，AE，CD确定一个平面，设为，则AC，DE.又，ACDE(平面平行的性质定理)，取AE的中点N，连接NP，MN，M，P分别为AB，CD的中点，NPDE，MNBE.又NP，DE，MN，BE，NP，MN，NPMNN，平面MNP.MP平面MNP，MP，MP.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，使得平面D1BQ平面PAO?解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，QBPA.又AP平面APO，QB平面APO，QB平面APO.P，O分别为DD1，DB的中点，D1BPO.同理可得D1B平面PAO，又D1BQBB，平面D1BQ平面PAO.1下列命题中正确的是()A一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C平行于同一直线的两个平面一定相互平行D如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行答案B解析如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确2在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是()A平面E1FG1与平面EGH1B平面FHG1与平面F1H1GC平面F1H1H与平面FHE1D平面E1HG1与平面EH1G答案A解析如图，EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，EG平面E1FG1.又G1FH1E，同理可证H1E平面E1FG1，又H1EEGE，平面E1FG1EGH1.3平面平面，平面平面，且a，b，c，d，则交线a，b，c，d的位置关系是()A互相平行 B交于一点C相互异面 D不能确定答案A解析由平面与平面平行的性质定理知，ab，ac，bd，cd，所以abcd，故选A.4若平面平面，a，下列说法正确的是_a与内任一直线平行；a与内无数条直线平行；a与内任一直线不垂直；a与无公共点答案解析a，a，a与无公共点，正确；如图，在正方体中，令线段B1C1所在的直线为a，显然a与内无数条直线平行，故正确；又ABB1C1，故在内存在直线与a垂直，故错误5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN.求证：MN平面AA1B1B.证明如图，作MPBB1交BC于点P，连接NP，MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN，NPCDAB.NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，NP平面AA1B1B.MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MP平面AA1B1B.又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP，MN平面AA1B1B.1常用的平面与平面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行2空间中各种平行关系相互转化关系的示意图一、选择题1已知，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是()A平面内有一条直线与平面平行B平面内有两条直线与平面平行C平面内有一条直线与平面内的一条直线平行D平面与平面不相交答案D解析选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面内的这两条直线必须相交才能得到平面与平面平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种故选D.2.如图，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是()A矩形B菱形C平行四边形D正方形答案C解析因为平面和左右两个侧面分别交于ED1，BF，所以ED1BF，同理D1FEB，所以四边形D1EBF是平行四边形3六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有()A1对 B2对 C3对 D4对答案D解析由图知平面ABB1A1平面EDD1E1，平面BCC1B1平面FEE1F1，平面AFF1A1平面CDD1C1，平面ABCDEF平面A1B1C1D1E1F1，此六棱柱的面中互相平行的有4对4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于A，B，C，若PAAA23，则SABCSABC等于()A225 B425C25 D45答案B解析平面平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为AB，AB，ABAB，同理BCBC，易得ABCABC，SABCSABC22.5已知a，b表示直线，表示平面，下列选项正确的是()Aa，babBa，abb且bCa，b，a，bD，a，bab答案D解析A中a，b，a，b可能平行也可能相交；B中a，ab，则可能b，也可能b在平面或内；C中a，b，a，b，根据平面平行的性质定理，若加上条件abA，则.故选D.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E，F分别是A1B1，C1D1的中点，则下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A面ABB1A1 B面BCC1B1C面BCFE D面DCC1D1答案C解析取AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1(如图)，故面A1E1F1D1面BCFE.7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：FG平面AA1D1D；EF平面BC1D1；FG平面BC1D1；平面EFG平面BC1D1.其中推断正确的是()A B C D答案A解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，FGBC1.BC1AD1，FGAD1，FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，FG平面AA1D1D，故正确；EFA1C1，A1C1与平面BC1D1相交，EF与平面BC1D1相交，故错误；FGBC1，FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，FG平面BC1D1，故正确；EF与平面BC1D1相交，平面EFG与平面BC1D1相交，故错误故选A.二、填空题8如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面平行，且四边形ABCD在平面内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是_形答案平行四边解析由夹在两平行平面间的平行线段相等可得9.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB与M，交BC与N，则_.答案解析平面MNE平面ACB1，由平面平行的性质定理可得ENB1C，EMB1A，又E为BB1的中点，M，N分别为BA，BC的中点，MNAC.即.10已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是_答案平行解析D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，DEAB，EFBC，又DE平面ABC，EF平面ABC，DE平面ABC，EF平面ABC.又DEEFE，平面DEF平面ABC.11如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为_答案46解析由EF平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EFFBBC1C1E46.三、解答题12.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M平面BC1N，AC平面BC1NN.求证：N为AC的中点证明平面AB1M平面BC1N，平面ACC1A1平面AB1MAM，平面BC1N平面ACC1A1C1N，C1NAM，又ACA1C1，四边形ANC1M为平行四边形，ANC1MA1C1AC，N为AC的中点13如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC上一点，M，N分别是AE，CD1的中点，ADAA1a，AB2a，求证：MN平面ADD1A1.证明如图，取CD的中点K，连接MK，NK.因为M，N，K分别是AE，CD1，CD的中点，所以MKAD，NKDD1.又MK平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以MK平面ADD1A1.同理NK平面ADD1A1.又MKNKK，所以平面MNK平面ADD1A1，又MN平面MNK，所以MN平面ADD1A1.四、探究与拓展14如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：平面EFGH平面ABCD；平面PADBC；平面PCDAB；平面PAD平面PAB.其中正确的有()A BC D答案C解析把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EHAB，所以EH平面ABCD.同理可证EF平面ABCD，所以平面EFGH平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交ABCD，平面PCDAB.同理平面PADBC.15.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解存在点E，且E为AB的中点时，DE平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DFB1C1，因为AB的中点为E，连接EF，则EFAB1，B1C1AB1B1，EFDFF，所以平面DEF平面AB1C1.又DE平面DEF，所以DE平面AB1C1.17