2022年高三数学上学期第四次月考试题 理（含解析）

2022年高三数学上学期第四次月考试题 理（含解析）【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数的基本概念L4【答案】【解析】A 解析：由，得在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点故选：A【思路点拨】由复数的除法运算化简复数，得到对应点的坐标得答案【题文】2. 命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是 （ ）A和不为偶数的两个整数都为偶数B和为偶数的两个整数都不为偶数C和不为偶数的两个整数不都为偶数D和为偶数的两个整数不都为偶数【知识点】命题的否定A2【答案】【解析】D 解析：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数故选：D【思路点拨】直接利用命题的否定写出结果即可【题文】3已知集合，则 （ ）A B C D【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法A1 【答案】【解析】B 解析：=x|（x+3）（x1）0=x|3x1，=x|3x1x|x3=x|x1，x|x1故选B【思路点拨】先利用分式不等式解法化简，再进行计算，得出结果【题文】4.“”是“函数的最小正周期为”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断A2 C3【答案】【解析】A 解析：函数，它的周期是，;显然“”可得“函数的最小正周期为”后者推不出前者，故选A【思路点拨】化简，利用最小正周期为，求出，即可判断选项【题文】5由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B C D【知识点】定积分在求面积中的应用B13【答案】【解析】D 解析：作出对应的图象如图：则对应的区域面积，故选：D【思路点拨】先根据题意画出直线及所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式【题文】6函数的图像大致为（ ）【知识点】函数的图象B8【答案】【解析】B 解析：因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A当x=1时，y0，所以排除C因为，所以当x+时，y1，所以排除D故选B【思路点拨】利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值分别进行判断即可【题文】7. 在中，是边上的一点，若记，则用表示所得的结果为 （ ）A B C D 【知识点】平面向量的基本定理及其意义F2【答案】【解析】C 解析：如图，B，D，C三点共线，存在，使；又；故选C【思路点拨】B，D，C三点共线，所以根据已知条件对于，能够得到，所以得到，所以【题文】8以表示等差数列的前项的和，若，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A B C D【知识点】等差数列的性质D2【答案】【解析】B 解析：表示等差数列的前项的和，S6S5=a60，则有可能成立，即A有可能成立；5a5（a1+6a6）=5（a1+4d）a1+6（a1+5d）=2a110d=2a60，不成立，即B不成立；a50，a40，a30，有可能成立，即C是有可能成立；a3+a6+a122a7=（3a1+18d）（2a1+12d）=a1+6d=a70，故D成立故选：B【思路点拨】a50，a60，这个数列是递减数列，公差d0由此入手对各个选项逐个进行分析，能求出结果【题文】9 已知二次函数的导数为，对于任意的实数都有，则的最小值为（ ）A B C D 【知识点】导数的运算B11【答案】【解析】B 解析：f（x）=2ax+b，f（0）=b0；对于任意实数x都有，a0且b24ac0，b24ac，c0；，当a=c时取等号故选C【思路点拨】先求导，由f（0）0可得b0，因为对于任意实数x都有，所以结合二次函数的图象可得a0且b24ac0，又因为，利用均值不等式即可求解【题文】10已知函数，则关于的方程（）的根的个数不可能为（ ） A B C D 【知识点】函数与方程的综合运用B9【答案】【解析】A 解析：画图，和y=2x2+x图象，结合两个函数的图象可知或a3，4个根，5个根，6个根故选A【思路点拨】先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类讨论的数学思想讨论f（2x2+x）=a（a2）根可能的根数即可【题文】二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请把正确答案填在答题卡的相应位置【题文】11.在极坐标系中，点到直线的距离为 【知识点】简单曲线的极坐标方程N3【答案】【解析】 解析：点P化为直角坐标P（0，1）直线化为2xy+2=0点P到直线的距离d=故答案为：【思路点拨】点P化为直角坐标P（0，1）直线化为2xy+2=0再利用点到直线的距离公式即可得出【题文】12.已知平面向量满足：，且，则向量与的夹角为 【知识点】数量积表示两个向量的夹角F3【答案】【解析】 解析：将两边平方，得，化简整理得,因为，由向量的夹角公式，所以向量与的夹角为.故答案为：.【思路点拨】将两边平方，整理得出，再根据，求出夹角余弦值，最后求出夹角大小【题文】13.在数列中，若，且、成公比为的等比数列，、成公差为的等差数列，则的最小值是 【知识点】等差数列与等比数列的综合D5【答案】【解析】 解析：； 、成公差为1的等差数列，a6=a2+23，a6的最小值为3，a7的最小值也为3，此时a1=1，且、成公比为的等比数列，必有q0，a7=a1q33，q33，q，故答案为。【思路点拨】利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围【题文】14.把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为 【知识点】函数的图象变换C4【答案】【解析】 解析：把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y=sin（x+）的图象；再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）的图象；故得到的图象所表示的函数解析式为，故答案为：【思路点拨】由条件根据函数的图象变换规律，可得结论【题文】15.定义全集的子集的特征函数为，这里表示集合在全集中的补集已知，给出以下结论：若,则对于任意，都有；对于任意，都有；对于任意，都有；对于任意，都有其中正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【知识点】集合的包含关系判断及应用A1【答案】【解析】 解析：，fB（x）=，而CUA中可能有B的元素，但CUB中不可能有A的元素，即对于任意xU，都有fA（x）fB（x）故正确；对于B，结合fA（x）的表达式，可得fUA（x）=1fA（x），故正确；对于C，fAB（x）=fA（x）fB（x），故正确；对于D，fAB（x）=当某个元素x在A中但不在B中，由于它在AB中，故fAB（x）=1，而fA（x）=1且fB（x）=0，可得fAB（x）fA（x）fB（x）由此可得不正确故答案为：【思路点拨】根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对各项中的运算加以验证，可得都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确由此得到本题答案【题文】三解答题：（本大题共6小题，共75分）【题文】16（本小题满分12分）已知函数，点、分别是函数图像上的最高点和最低点（1）求点、的坐标以及的值；（2）设点、分别在角、（）的终边上，求的值【知识点】函数的图象变换；平面向量数量积的运算C4 F3【答案】【解析】（1）-2；（2）解析：（1），当，即时，f（x）取得最大值1，当，即时，f（x）取得最小值2因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，2）则,.（2）点A（0，1）、B（4，2）分别在角、（、0，2）的终边上，则， ，则sin2=2sincos=，cos2=2cos21=【思路点拨】（1）由x的范围求出的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，B的坐标，则的值可求；（2）由点A、B分别在角、（、0，2）的终边上求出角的值和角的正余弦值，由倍角公式求得2的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得的值【题文】17（本小题满分12分）在中, ，,，为内一点,.(1)若,求；(2)若,求的面积.【知识点】余弦定理的应用；正弦定理的应用C8【答案】【解析】(1) ; (2) . 解析：（1）在中, ，,，sinPBC ，可得PBC=60，BP=BCcos60=PBA=90PBC=30，APB中，由余弦定理PA2=PB2+AB22PBABcosPBA，得PA2= ，解得（舍负）（2）设PBA=，可得PBC=90，PAB=180PBAAPB=30，在RtBPC中，PB=BCcosPBC=cos（90）=sin，ABP中，由正弦定理得，sin=2sin（30）=2（cossin），化简得4sin=cos，结合是锐角，解得sin=，PB=sin=，ABP的面积S=ABPBsinPBA=【思路点拨】（1）在RtBPC中利用三角函数的定义，算出sinPBC=，可得PBC=60，从而BP=BCcos60=然后在APB中算出PBA=30，利用余弦定理即可算出PA的大小（2）设PBA=，从而算出PB=sin，PAB=30在APB中根据正弦定理建立关于的等式，解出sin的值，得到PB长再利用三角形面积公式加以计算，即可得出ABP的面积S【题文】18（本小题满分12分）设公差不为的等差数列的首项为，且、构成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和D4 D5【答案】【解析】(1) an2n1； (2) Tn3 解析：(1)设等差数列an的公差为d（d0），则a2，a5，a14构成等比数列，aa2a14，即(14d)2(1d)(113d)，解得d0（舍去），或d2an1(n1)22n14分(2)由已知1，nN*，当n1时，；当n2时，1(1)，nN*由（），知an2n1，nN*，bn，nN*又Tn，Tn两式相减，得Tn()，Tn312分【思路点拨】(1) 设等差数列an的公差为d（d0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an； (2) 由条件可知，n2时，1(1)，再由（）可求得bn，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得Tn.【题文】19（本小题满分12分）对于定义域为上的函数，如果同时满足下列三条：对任意的 ，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2) 判断函数（）是否为理想函数，并给出证明；(3) 若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证：【知识点】函数的值；抽象函数及其应用B1 B14【答案】【解析】(1) ； (2) 见解析；(3)见解析. 解析：（1）取得，则，又，故；（2）当时，函数，满足条件；又满足条件；若，则，满足条件，故函数是理想函数（3）由条件，任给，当时，且若，则，矛盾若，则，矛盾故【思路点拨】（1）取可得，由此可求出f（0）的值（2）在满足条件，也满足条件若，满足条件，收此知故g（x）理想函数（3）由条件知，任给，当时，且由此能够推导出【题文】20（本小题满分13分）现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为.(1) 求出、的值，并写出与的关系式；(2) 证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；(3) 当时，证明：.【知识点】数列与不等式的综合D5 E9【答案】【解析】(1) ,， ;(2) (3) 见解析. 解析：（1）,， 第次传球后，不同传球方式种数为，不在甲手中的种数为，当时， 5分（2）由=得，又，则数列是以为首项，为公比的等比数列.从而，故. 9分（3）.当为奇数时, 则为偶数 当为偶数时, 则为奇数,从而 综上，当时,. 分【思路点拨】（1）第次传球后，不同传球方式种数为，不在甲手中的种数为，由此能求出,，即可写出与的关系式（2）由=得，由此能证明数列是以为首项，为公比的等比数列.，从而能求出（3）当为奇数时, 则为偶数，；当为偶数时, 则为奇数,从而 ，由此能证明当时,.【题文】21（本小题满分14分）已知函数，（）.(1) 若时，函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；(2) 在（1）的结论下，设函数的最小值；(3) 设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定.B11 B12G4【答案】【解析】(1) (2) 当当 (3) C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 解析：（1）依题意：上是增函数，恒成立， b的取值范围为 4分（2）设，即 ，当上为增函数，当t=1时，当 7分当上为减函数，当t=2时，综上所述，当当 8分（3）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则，即则 ， 设令则 所以上单调递增，故 ， 则，这与矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行 .13分【思路点拨】(1) 根据时，函数在其定义域内是增函数，知道h（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；(2) 先设t=ex，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可； (3) 先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在