无限冲击响应滤波器IIR学习教案

会计学1无限无限(wxin)冲击响应滤波器冲击响应滤波器IIR第一页，共63页。NkkMmmMNNkkMmmdzczKzzdzcKzH11)(1111)()()1 ()1 ()()(arg11)()()()()(jeHjjNkkjMmmjMNjjeeHdeceKeeHLTI系统(xtng)函数：频率响应(pn l xin yn)：第1页/共63页第二页，共63页。频率响应频率响应(pn l xin yn)的模：的模：各极矢量模的连乘各零矢量模的连乘NkkjMmmjjdeceKeH11)()()()(argarg)(arg11MNdeceKeHNkkjMmmjj频率响应(pn l xin yn)相角：)(arg11)()()()()(jeHjjNkkjMmmjMNjjeeHdeceKeeH第2页/共63页第三页，共63页。变化变化(binhu)引起矢量角的变化引起矢量角的变化(binhu)当从0变化(binhu)到2时：单位圆内的零极点的角度(jiod)变化是2单位圆外的零极点的角度变化是02第3页/共63页第四页，共63页。NppoiMmmoiiijpmMNKeH 2 2)(2)(arg2单位(dnwi)圆内零点数为mi单位(dnwi)圆外零点数为mo单位(dnwi)圆内极点数为pi单位(dnwi)圆外极点数为po则：)(argarg)(arg11MNdeceKeHNkkjMmmjj第4页/共63页第五页，共63页。0 2)( 2 2 2)(2)(arg02mMmpmMNKeHiiij0arg 稳定系统全部(qunb)极点在单位圆内：po=0，pi=N相位(xingwi)延时系统1）全部零点在单位圆内：mi=M，mo=0为最小相位延时系统2）全部零点在单位圆外：mi=0，mo=MM 2arg最大相位延时系统第5页/共63页第六页，共63页。00 1,nhnrrz时，0 2)(2 2 2)(2)(arg2iiijmMNpmMNKeH)(2argMN 逆因果(yngu)稳定系统全部极点在单位圆外：po=N，pi=0相位(xingwi)超前系统1）全部零点在单位圆内：mi=M，mo=02）全部零点在单位圆外：mi=0，mo=M为最大相位超前系统N2arg 为最小相位超前系统第6页/共63页第七页，共63页。最小相位延时系统最小相位延时系统(xtng)的性质：的性质：3、最小相位(xingwi)序列hmin(0)最大。 1-Nm 210min21020min20NnNnmnmnnhnhnhnh1、在H(ej)幅度(fd)相同的系统中，最小相位具有最小的相位滞后。2、最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总能量相同。4、最小相位延时系统对相同的幅频特性的系统是唯一的。第7页/共63页第八页，共63页。10 a 1)(11aazazzHap为实数keHjap)(1/az 零点：极点：az对所有(suyu)的(0,2)，其幅频特性是常数。零极点(jdin)与单位圆镜像对称。一阶全通系统：该系统称为全通系统1/az 零点：极点：az10 a 1)(11aazazzHap为复数第8页/共63页第九页，共63页。1a 11)(1111zaazazazzHap两个零点（极点）共轭对称(duchn)零点与极点以单位圆为镜像对称(duchn)aazaaz/1 ,/1 , 零点：极点：第9页/共63页第十页，共63页。N阶全通滤波器阶全通滤波器NNNNNNNNzdzdzdzzdzdd)1(111)1(1111)()(1zDzDzN 1)(111NkkkapzaazzH极点(jdin)：零点：1 11 0rerzrrezjjp第10页/共63页第十一页，共63页。)()()(minzHzHzHap)()()(01011zzzzzHzH1、任一因果稳定(wndng)系统H(z)都可以表示成全通系统和最小相位系统的级联。其中：H1(z)为最小相位(xingwi)延时系统，将单位圆外的零点分离出来。为单位圆外的 一对共轭零点。1 , /1 , /1000zzz令：第11页/共63页第十二页，共63页。10101010010111111)()()(zzzzzzzzzzzzzHzH1z , 1/z , /1000zz)()()()(minminjjapjjeHeHeHeH把H(z)单位(dnwi)圆外的零点：而幅频响应(xingyng)不变：映射到单位圆内的镜像位置：z=z0 , z0* 构成(guchng)Hmin(z)的零点。)()( minzHzHap10011001101011)(1)()1)(1)( zzzzzzzzzzzzzH第12页/共63页第十三页，共63页。第13页/共63页第十四页，共63页。1 , 1rerzj111111)(zrerezzrerezzHjjjjap非稳定系统单位(dnwi)圆外极点：把非稳定系统的单位圆外的极点(jdin)映射到单位圆内。2、级联一个全通系统可以、级联一个全通系统可以(ky)使非稳定滤波器变成一个使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器稳定滤波器第14页/共63页第十五页，共63页。第15页/共63页第十六页，共63页。3、作为相位、作为相位(xingwi)均衡器，校正系统的非线性相位均衡器，校正系统的非线性相位(xingwi)，而不改变，而不改变系统的幅度特性。系统的幅度特性。)()()(zHzHzHapd)()()()(apddd)()()(japjdjeHeHeH 线性相位的群延时为常数 ，要使上式是一个常数，设计全通滤波器的相位就可以达到(d do)。利用均方误差最小方法。Hd(z)为非线性相位(xingwi)系统)()()()(apdjjapjdeeHeH第16页/共63页第十七页，共63页。 用一个因果稳定的离散LTI（LSI）系统逼近给定的性能要求(yoqi)。即求系数 ai 和 bi。NNNNNNazazbzbzbzH11110)( S平面逼近：模拟(mn)滤波器 Z平面逼近：数字滤波器 先设计模拟(mn)滤波器，再转换成数字滤波器。注意：A、保持稳定性。B、保持频率响应。 通常，设计IIR滤波器是对模拟连续滤波器进行离散化，模拟滤波器设计很成熟。第17页/共63页第十八页，共63页。1、冲激响应不变法(bin f)2、双线性变换法 设计(shj)思想：S平面 Z平面 模拟系统Ha(s) H(z)数字系统 因果稳定的Ha(s)映射到因果稳定的H(z)，即s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内。 H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆。第18页/共63页第十九页，共63页。(s)H H(z) )(anTtathnh1、变换(binhun)原理 数字滤波器的单位冲激响应hn模仿(mfng)模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)kaaezkTjsHTsHzHsT21)()(等间隔采样，采样周期T抽样信号拉氏变换第19页/共63页第二十页，共63页。kaaezkTjsHTsHzHsT21)()(第20页/共63页第二十一页，共63页。kajTkjHTeH21)(2 0)(saTjH 数字滤波器的频率响应(pn l xin yn)是模拟滤波器频率响应(pn l xin yn)的周期延拓，周期为2/T仅当 数字滤波器的频响在折叠频率内重现(zhn xin)模拟滤波器的频响而不产生混迭失真： 1)(TjHTeHaj第21页/共63页第二十二页，共63页。混迭 2 T T ssssf 实际系统(xtng)不可能严格限带，都会混迭失真，在 | s/2 处衰减越快，失真越小。 当滤波器的设计指标以数字(shz)域频率c给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象。scsssTTTfcsss ,T- T T 第22页/共63页第二十三页，共63页。)()()()(zHnhnThthsHaaaNkkkassAsH1)(NktskaatueAsHLthk11)()()(NknTskNknTskanueAnTueAnThnhkk11)()()( NknNkTsknTsknnNknTsknnzeAzeAzeAznhzHkkk10111011)(讨论直接(zhji)从Ha(s)到H(z)的方法。第23页/共63页第二十四页，共63页。NkTskNkkkazeAzHssAsHk1111)()(TskkezZssS平面平面10ReTskkeZsS平面平面稳定性不变：极 点：系数(xsh)相同：Ak第24页/共63页第二十五页，共63页。 2)(TjHTkjHeHakajkajTkjHTeH21)(NkTskzeTAzHk111)(当T很小时(xiosh)，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正。令：)(nTThnha则原来(yunli)的频率响应： 1)(TjHTeHaj变成第25页/共63页第二十六页，共63页。3111342)(2sssssHa13111)(zeTzeTzHTT试用冲激响应不变法，设计(shj)IIR数字滤波器。解：据题意(t y)，得数字滤波器的系统函数：设T1，则2110183. 04177. 01318. 0)(zzzzH第26页/共63页第二十七页，共63页。2110183. 04177. 01318. 0)(zzzzH4)3(2)(2jjHa模拟(mn)滤波器的频率响应：数字(shz)滤波器的频率响应：201831. 04177. 01318. 0)(jjjjeeeeH第27页/共63页第二十八页，共63页。缺点： 频率响应(pn l xin yn)混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器 hn完全模仿(mfng)模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)，时域逼近良好。 保持线性关系：=T 线性相位(xingwi)模拟滤波器转变为线性相位(xingwi)数字滤波器优点：第28页/共63页第二十九页，共63页。ssTTtytyty)()()(sssssTTnTynTynTy)()()(利用有限差分(ch fn)逼近微分算子。采样(ci yn)tnTs ，Ts 为采样(ci yn)间隔。)nT(yZTz1 )nT(yZss1s 微分算子S表示的传输算子变成了由延时算子Z表示的离散时间传输算子。sTzs11第29页/共63页第三十页，共63页。1s2) s (HA8333. 0333. 01)1 (5212)(1)1(51zzzszHzsD模拟(mn)滤波器传输函数采样(ci yn)频率：Fs5Hz差分方程：nx333. 0 1n y8333. 0n y第30页/共63页第三十一页，共63页。第31页/共63页第三十二页，共63页。1、变换(binhun)原理 使数字滤波器的频率响应与模拟(mn)滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法：时域模仿逼近。 缺点是产生频率响应(pn l xin yn)的混迭失真。)()(jHeHaj第32页/共63页第三十三页，共63页。双线性变换的映射双线性变换的映射(yngsh)关系关系, :1TT21TtgTsez1, :第33页/共63页第三十四页，共63页。222cos2sin222221111111TjTjTjTjeejeeTTTtg 11 11 11sszzzs112222111112111111zzeeeeeeTjtgjsTsTsTjTjTjTj第34页/共63页第三十五页，共63页。 为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应应(duyng)关系，引入系数关系，引入系数c21Ttgc1111zzcsscscz第35页/共63页第三十六页，共63页。2c 2tgc2c1ctgTtgccccc11、低频处有较确切的对应关系(gun x)：要求2、某一特定频率(pnl)严格相对应：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置。T2c 2 c211TTtgccc正切函数在低频处线性第36页/共63页第三十七页，共63页。jtgjceeczzcsjj21111111）jcjc 2scscz）2222)()(cczs 平面(pngmin)虚轴 z 平面(pngmin)单位圆S平面(pngmin) z平面(pngmin)单位圆上轴虚单位圆外右半平面单位圆内左半平面 1z 0 1z 0 1z 0第37页/共63页第三十八页，共63页。 2tgc优点 ：避免了频率响应(pn l xin yn)的混迭现象。s平面(pngmin)与z平面(pngmin)为单值变换 0 00 0第38页/共63页第三十九页，共63页。除了(ch le)零频率附近， 与之间严重非线性 线性相位(xingwi)模拟滤波器非线性相位(xingwi)数字滤波器 模拟滤波器的幅频响应与数字滤波器的幅频特性不同，产生了畸变。理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变第39页/共63页第四十页，共63页。给定(i dn)数字滤波器的截止频率1，则按1设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到(d do)1为截止频率的数字滤波器211tgc第40页/共63页第四十一页，共63页。线性变换=T非线性变换(binhun)=2tan-1(/C)第41页/共63页第四十二页，共63页。)11()()(111111zzcHsHzHazzcsa根据需要(xyo)来确定c的值，设计低通滤波器时C=2/T 第42页/共63页第四十三页，共63页。misHzHzzcsaii,2 , 1 )()(1111)()()()()()()()(2121zHzHzHzHsHsHsHsHmaaaam可分解成并联(bnglin)的低阶子系统)()()()()()()()(2121zHzHzHzHsHsHsHsHmaaaam第43页/共63页第四十四页，共63页。 将数字滤波器技术指标转换变成模拟(mn)滤波器技术指标，设计模拟(mn)滤波器，再转换成数字滤波器。常用(chn yn)模拟滤波器巴特沃斯Butterworth滤波器切比雪夫Chebyshev滤波器椭圆滤波器贝塞尔滤波器第44页/共63页第四十五页，共63页。)()()(2jHjHjHaaajsaasHsH)()(将左半平面(pngmin)得极点归Ha(s) 将以虚轴为对称轴得对称零点(ln din)的任一半作为Ha(s)的零点(ln din)，虚轴上的零点(ln din)一半归Ha(s)()(jHjHaa零极点象限对称第45页/共63页第四十六页，共63页。3、对比(dub)Ha(j)和Ha(s) ，确定增益常数1、由幅度平方(pngfng)函数得象限对称的s平面函数2、将因式分解，得到各零极点4、由零极点及增益常数，得第46页/共63页第四十七页，共63页。)36)(49()25(16)(22222jHa222)()()(saaajHsHsH)36)(49()25(162222sss求系统(xtng)函数Ha(s)解：二阶零点：极点：j5s 6 , 7ss设增益(zngy)常数为K)6)(7()25()(2sssksHa00)()(jHsHasa得到K=4j5s 6 , 7)(零点：的极点：sssHa第47页/共63页第四十八页，共63页。NcajH2211)(幅度(fd)平方函数：c为通带(tn di)截止频率N为滤波器的阶数dBjHjHjHcaaca3)()0(lg20 2/1)(12时当称c为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽。第48页/共63页第四十九页，共63页。NcajH2211)(不变性 3dB 3dB 1/2(jjH 1)( 012ac2jHa第49页/共63页第五十页，共63页。NcaajsajssHsHjH22/11)()()(Butterworth滤波器是一个(y )全极点滤波器，其极点：NkeeejsNkjcNkjjccNk2 , 2 , 1 ) 1(2122121)2(221第50页/共63页第五十一页，共63页。N为奇数，实轴上有极点(jdin)，N为偶数，实轴上无极点(jdin)。N=3 N=4 极点在s平面呈象限(xingxin)对称，分布在Butterworth圆上，共2N点极点(jdin)间的角度间隔为/N rad极点不落在虚轴上第51页/共63页第五十二页，共63页。NkkNcasssH1)()(NkesNkjck, 2 , 1 21221sradcr/1为归一化系统(xtng)的系统(xtng)函数Han(s)去归一化，得 ssanaccrsHsH)()(第52页/共63页第五十三页，共63页。2 s1p )(lg201pajH 确定(qudng)技术指标：NcppajH2211)(211 . 021 . 0210111011NcsNcp110110211 . 01 . 0NspspNlg110110lg211 . 01 . 0 根据(gnj)技术指标求出滤波器阶数N：由得第53页/共63页第五十四页，共63页。)()(canasHsHNkesNkjck, 2 , 1 21221NkkansssH1)(1)(其中(qzhng)极点：或者(huzh)由N。直接查表得Han(s) 去归一化 其中技术指标c给出或由下式求出NscNpc211 . 0211 . 011011021通带指标刚好满足，阻带指标有富裕阻带指标刚好满足，通带指标有富裕第54页/共63页第五十五页，共63页。dBdBsp15 rad 3 . 01 rad 2 . 021设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于0.2rad的通带内幅度特性下降(xijing)小于1dB。在频率0.3 到之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法设计。1、用冲激响应不变法(bin f)设计1）由数字(shz)滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选T=1s（因为给出的是数字指标，所以T的选择不影响结果）dBTdBTsspp15 /srad 3 . 0/1 rad/s 2 . 0/21第55页/共63页第五十六页，共63页。3）设计）设计(shj)Butterworth模拟低通滤模拟低通滤波器波器884. 5092. 0lg5 . 1lglg110110lg211 . 01 . 0psNa)确定(qudng)参数取N6rad/s 0.7321102N10.1pc1用通带技术指标，使阻带(z di)特性较好，改善混迭失真。第56页/共63页第五十七页，共63页。b）求出极点(jdin)（左半平面）c)构造(guzo)系统函数6 , 2 , 1 21221kesNkjck616)()(kkcasssH654328637. 34641. 7141. 94641. 78637. 311)(sssssssHan或者(huzh)，由N6，直接查表得 去归一化65432716. 2691. 3179. 3825. 1121. 01209. 01209. 0)()(sssssssHsHcana第57页/共63页第五十八页，共63页。4）将Ha(s)展开成部分(b fen)分式形式：NkkkassAsH1)(NkTskzeTAzHk111)(变换(binhun)成Butterworth数字滤波器2112112112570. 09972. 016304. 08558. 13699. 00691. 111454. 11428. 26949. 01297. 014466. 02871. 0zzzzzzzzz第58页/共63页第五十九页，共63页。第59页/共63页第六十页，共63页。dBdBsp15 rad 3 . 01 rad 2 . 0211）由数字(shz)滤波器的技术指标：2）考虑预畸变(jbin)，得模拟滤波器的技术指标 选T1sdBsradtgTdBsradtgTsspp15 /019. 1221 /65. 02221第60页/共63页第六十一页，共63页。306. 5092. 0lg568. 1lglg110110lg211 . 01 . 0psNrad/s 0.76621102N10.1sc23）设计(shj)Butterworth模拟低通滤波器a)确定(qudng)参数N取6用阻带(z di)技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题第61页/共63页第六十二页，共63页。4）将Ha(s)变换(binhun)成Butterworth数字滤波器：2121211122155. 09044. 011358. 0010. 1117051. 0268. 111)()(11zzzzzzsHzHzzTsa第62页/共63页第六十三页，共63页。