高考数学一轮复习 第八单元 数列 高考达标检测（二十三）等差数列的3考点——求项、求和及判定 理

高考数学一轮复习 第八单元 数列 高考达标检测（二十三）等差数列的3考点求项、求和及判定 理一、选择题1(xx厦门一中测试)已知数列an中，a2，a5，且是等差数列，则 a7()A.B.C. D.解析：选D设等差数列的公差为d，则3d，即3d，解得d2，所以5d12，解得a7.2我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A6斤 B9斤C9.5斤 D12斤解析：选A依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a14，则a52.由等差数列的性质得a2a4a1a56，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤3(xx银川一中月考)在等差数列an中，首项a10，公差d0，前n项和为Sn(nN*)，有下列命题：若S3S11，则必有S140；若S3S11，则必有S7是Sn中的最大项；若S7S8，则必有S8S9；若S7S8，则必有S6S9.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选D对于，若S11S34(a1a14)0，即a1a140，则S140，所以正确；对于，当S3S11时，易知a7a80，又a10，d0，所以a70a8，故S7是Sn中的最大项，所以正确；对于，若S7S8，则a80，那么d0，可知a90，此时S9S8S9，所以正确；对于，若S7S8，则a80，S9S6a7a8a93a8S9，所以正确故选D.4(xx大同模拟)在等差数列中，a1a2a33，a18a19a2087，则此数列前20项的和等于()A290 B300C580 D600解析：选B由a1a2a33a23，得a21.由a18a19a203a1987，得a1929，所以S2010(a2a19)300.5设等差数列an的前n项和为Sn，且S918，an430(n9)，若Sn336，则n的值为()A18 B19C20 D21解析：选D因为an是等差数列，所以S99a518，a52，Sn3216n336，解得n21.6设an是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是()AdS5D当n6或n7时Sn取得最大值解析：选C由S5S6，得a1a2a3a4a50.同理由S7S8，得a80.又S6S7，a1a2a6a1a2a6a7，a70，B正确；da7a6S5，即a6a7a8a90，可得2(a7a8)0，由结论a70，a80，知C选项错误；S5S8，结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确故选C.7等差数列an的前n项和为Sn，若公差d0，(S8S5)(S9S5)|a8| B|a7|a8|C|a7|a8| D|a7|0解析：选B因为(S8S5)(S9S5)0，所以(a6a7a8)(a6a7a8a9)0，因为an为等差数列，所以a6a7a83a7，a6a7a8a92(a7a8)，所以a7(a7a8)0，所以a70，且|a7|a8|，故选B.二、填空题8在数列an中，an1，a12，则a20_.解析：由an1，a12，可得3，所以是以为首项，3为公差的等差数列所以3(n1)，即an，所以a20.答案：9数列an满足：a11，an12an2n，则数列an的通项公式为_解析：a11，an12an2n，数列是首项为，公差d的等差数列，故(n1)n，即ann2n1.答案：ann2n110设Sn是等差数列an的前n项和，若S40，且S83S4，S12S8，则_.解析：当S40，且S83S4，S12S8时，由等差数列的性质得：S4，S8S4，S12S8成等差数列，2(S8S4)S4(S12S8)，2(3S4S4)S4(3S43S4)，解得2.答案：2三、解答题11已知数列an是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3a412.(1)求a1a2a3a4a5；(2)设bn10an，数列bn的前n项和为Sn，若b1b2，则n为何值时，Sn最大？ Sn最大值是多少？解：(1)设an的公差为d，a1，a2，a5成等比数列，(a1d)2a1(a14d)，解得d0或d2a1.当d0时，a3a412，an6，a1a2a3a4a530；当d0时，a3a412，a11，d2，a1a2a3a4a525.(2)b1b2，bn10an，a1a2，d0，由(1)知an2n1，bn10an10(2n1)112n，Sn10nn2(n5)225.当n5时，Sn取得最大值，最大值为25.12(xx沈阳质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a64，S55.(1)求数列an的通项公式；(2)若Tn|a1|a2|a3|an|，求T5的值和Tn的表达式解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意知解得故an2n7(nN*)(2)由an2n70，得n，即n3，所以当n3时，an2n70.由(1)知Snn26n，所以当n3时，TnSn6nn2；当n4时，TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18.故T513，Tn13已知数列an中，a14，anan12n13(n2，nN*)(1)证明数列an2n是等差数列，并求an的通项公式；(2)设bn，求bn的前n项和Sn.解：(1)证明：当n2时，anan12n13an12n2n13，an2n(an12n1)3.又a14，a122，故数列an2n是以2为首项，3为公差的等差数列，an2n2(n1)33n1，an2n3n1.(2)bn1，Snn，令Tn， 则Tn， 得，Tn1，13，Snn5.已知数列an的前n项和为Sn，a13，an12an2n11(nN*)(1)求a2，a3；(2)求实数使为等差数列，并由此求出an与Sn；(3)求n的所有取值，使N*，说明你的理由解：(1)a13，an12an2n11，a2232219，a32923125.(2)a13，an12an2n11，an112(an1)2n1，1，故1时，数列成等差数列，且首项为1，公差d1.n，即ann2n1.Sn(12222323n2n)n，设Tn12222323n2n，则2Tn122223324n2n1，得，Tn222232nn2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12，SnTnn(n1)2n12n.(3)2，结合y2x及yx的图象可知2n恒成立，2n1n，即n2n10，0且an为递增数列，Sn0且Snan，1，即12，当n2时， N*.综上可得n1.