小学四年级奥数教程——第十二讲

会计学1小学四年级奥数教程小学四年级奥数教程第十二讲第十二讲第1页/共20页 他们经过多长时是相遇？他们经过多长时是相遇？ 5 5分钟时，他们还相距多少米？分钟时，他们还相距多少米？ 1515分钟时他们相距多少米分钟时他们相距多少米小秋家小秋家小冬家小冬家每分每分40米米每分每分50米米相遇处相遇处810米米分析：如图，小秋和小冬家相距分析：如图，小秋和小冬家相距810810米，称为总路程。小米，称为总路程。小秋每分走秋每分走4040米，小冬每分走米，小冬每分走5050米，可知小秋和小冬同时走米，可知小秋和小冬同时走1 1分钟共行路程是分钟共行路程是40+50=9040+50=90（米），我们把它称为速度和。（米），我们把它称为速度和。810810米里有几个米里有几个9090米就是走了几分钟。米就是走了几分钟。解：解：810810（40+5040+50）=810 =810 90=990=9（分）（分） 这个时间既是小秋到相遇处时用的时间，也是这个时间既是小秋到相遇处时用的时间，也是小冬到相遇处时用的时间，我们称它为相遇时间。小冬到相遇处时用的时间，我们称它为相遇时间。第2页/共20页 他们经过多长时是相遇？他们经过多长时是相遇？ 5 5分钟时，他们还相距多少米？分钟时，他们还相距多少米？ 1515分钟时他们相距多少米分钟时他们相距多少米小秋家小秋家小冬家小冬家每分每分40米米每分每分50米米相遇处相遇处810米米分析：根据题意，小秋和小冬每分钟共行分析：根据题意，小秋和小冬每分钟共行40+50=9040+50=90（米），（米），5 5分钟可以行分钟可以行90905=4505=450（米），用总路程减去两人行了的路程（米），用总路程减去两人行了的路程就是还没有行的路程，也就是他们还相距多少米。就是还没有行的路程，也就是他们还相距多少米。解：解：810-810-（40+5040+50）5=81090 5=81090 5 =810-450=3605 =810-450=360（米（米）第3页/共20页 他们经过多长时是相遇？他们经过多长时是相遇？ 5 5分钟时，他们还相距多少米？分钟时，他们还相距多少米？ 1515分钟时他们相距多少米分钟时他们相距多少米小秋家小秋家小冬家小冬家每分每分40米米每分每分50米米相遇处相遇处810米米分析：根据题意，分析：根据题意，1515分钟时他们相距多少米，就是他们相向分钟时他们相距多少米，就是他们相向走了走了9 9分钟相遇，这时他们相距为分钟相遇，这时他们相距为0 0，然后相背（反向）而行，然后相背（反向）而行，又走了又走了15-9=615-9=6（分），这时两人反向相离的路程。（分），这时两人反向相离的路程。解：（解：（40+5040+50）（15-915-9）=90=906=5406=540（米）（米）第4页/共20页第5页/共20页分析：此题根据数量关系就能直接求出，求分析：此题根据数量关系就能直接求出，求A A、B B两两地的距离就用速度和地的距离就用速度和相遇时间相遇时间= =总路程。总路程。解：（解：（200+220200+220） 15=420 15=420 15=630015=6300（米）（米）第6页/共20页分析：两车在相距分析：两车在相距630630千米的两地相向而行，距离逐渐缩短千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距，在相遇前某一时刻两车相距105105千米，这时两车共行的路千米，这时两车共行的路程是程是630-105=525630-105=525（千米），然后根据总路程（千米），然后根据总路程速度和速度和= =相相遇时间，便可求出所用的时间。遇时间，便可求出所用的时间。 另外，还有一种情况，当两车相遇后继续行驶时，两另外，还有一种情况，当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离会从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次车之间的距离会从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距相距105105千米。这时两车共行的路程为千米。这时两车共行的路程为630+105=735630+105=735（千米（千米），同样，利用总路程），同样，利用总路程速度和速度和= =相遇时间，便可求出所用相遇时间，便可求出所用的时间。的时间。解：第一种，两车相遇前的情况。解：第一种，两车相遇前的情况。（630-105630-105） （50+ 5550+ 55）=525 =525 105=5105=5（小时）（小时） 第二种，两车相遇后的情况。第二种，两车相遇后的情况。（630+105630+105） （50+ 5550+ 55）=735 =735 105=7105=7（小时）（小时）第7页/共20页分析：如图，慢车开出分析：如图，慢车开出1 1小时后，离甲地小时后，离甲地4040千米，说明慢车的千米，说明慢车的速度为每小时速度为每小时4040千米。也说明慢车比快车先出发千米。也说明慢车比快车先出发1 1小时，行了小时，行了4040千米后，快车才出发。那么快车用了千米后，快车才出发。那么快车用了3 3小时与慢车相遇，这小时与慢车相遇，这个个3 3小时是两车共同用的时间。共同行的路程为小时是两车共同用的时间。共同行的路程为340-40=300340-40=300（千米），然后用共同路程千米），然后用共同路程相遇时间相遇时间- -一个速度一个速度= =另一个速度，另一个速度，从而求出快车的速度。从而求出快车的速度。解法一：（解法一：（340-40340-40）3-40=3003-40=3003-40=100-40=603-40=100-40=60（千米）（千米）解法二：解法二：340-40340-40（3+13+1） 3=340-40 3=340-40 4 4 3 3 = 340-160 = 340-160 3=180 3=180 3=603=60（千米）（千米）慢车慢车快车快车每时每时40千米千米每时？千米每时？千米相遇处相遇处340千米千米 甲地甲地乙地乙地3小时小时3小时小时第8页/共20页分析：如图，甲车先出发分析：如图，甲车先出发2 2小时，所行的路程是小时，所行的路程是41412=822=82（千（千米），这时乙车才出发，那么甲、乙同时相向而行的路程是米），这时乙车才出发，那么甲、乙同时相向而行的路程是770-82=688770-82=688（千米），然后用共同路程（千米），然后用共同路程速度和速度和= =相遇时间，相遇时间，便可求出快车的时间。便可求出快车的时间。解：（解：（770-41 770-41 2）（41+4541+45） = =（770-82770-82）86 86 =688 =688 86 86 =8 =8（小时）（小时）每时每时41千米千米每时每时45千米千米相遇处相遇处770千米千米 甲车甲车乙车乙车2小时小时？小时？小时？小时？小时第9页/共20页分析一：从图可知，两辆车开始时是同向行走，第二辆车开得快，分析一：从图可知，两辆车开始时是同向行走，第二辆车开得快，当第二辆车从甲到乙后，所用的时间是当第二辆车从甲到乙后，所用的时间是84084042=2042=20（小时），当第（小时），当第二辆车从乙城返回时，与第一辆车的运动方向变成了同时相对而行二辆车从乙城返回时，与第一辆车的运动方向变成了同时相对而行，只要求出第二辆车返回时与第一辆车相遇用的时间，然后与，只要求出第二辆车返回时与第一辆车相遇用的时间，然后与2020相相加，便可得出所求问题。加，便可得出所求问题。解：第二辆车到达乙城所用的时间：解：第二辆车到达乙城所用的时间：84084042=2042=20（小时）（小时） 第一辆车用第一辆车用2020小时所行的路程是：小时所行的路程是：282820=56020=560（千米）（千米） 第一辆车和第二辆车相对而行的路程是：第一辆车和第二辆车相对而行的路程是：840-560=280840-560=280（千米）（千米） 第一辆车和第二辆车相对而行的时间是第一辆车和第二辆车相对而行的时间是280280（42+2842+28）=4=4（小（小时）时） 从出发点到相遇时用的时间是：从出发点到相遇时用的时间是：20+4=2420+4=24（小时）（小时）每一辆车每一辆车840千米千米 甲甲乙乙第二辆车第二辆车相遇处相遇处第10页/共20页分析二：我们用转化的思想，让第二辆车由与第一辆车同向而行变分析二：我们用转化的思想，让第二辆车由与第一辆车同向而行变成从另一城丙出发，与第一辆车相向而行，那么两车从开出到相遇成从另一城丙出发，与第一辆车相向而行，那么两车从开出到相遇所行的路程，正好是两城间公路长的所行的路程，正好是两城间公路长的2 2倍，因此，两车从开出到相倍，因此，两车从开出到相遇所用的时间相当于两车从相距遇所用的时间相当于两车从相距8408402=16802=1680（千米）的两地同时（千米）的两地同时出发，相向而行，直到相遇所用的时间。如图出发，相向而行，直到相遇所用的时间。如图解：第一辆车和第二辆车共行的路程是：解：第一辆车和第二辆车共行的路程是：8408402=16802=1680（千米）（千米） 两辆车从出发到相遇所用的时间：两辆车从出发到相遇所用的时间：16801680（42+2842+28） =1680=16807070 =24 =24（小时）（小时） 每一辆车每一辆车相遇处相遇处840千米千米 甲甲乙乙第二辆车第二辆车840千米千米 丙丙第11页/共20页分析：从图上可以看出，两人相遇的地点距离中点分析：从图上可以看出，两人相遇的地点距离中点5050米，也就是小米，也就是小陈走了全程的一半后又走了陈走了全程的一半后又走了5050米，小王走了全程的一半减米，小王走了全程的一半减5050米的地米的地方，小陈比小王多走了方，小陈比小王多走了50+50=10050+50=100（米）。已知小陈每分钟行（米）。已知小陈每分钟行320320米米，小王每分钟行，小王每分钟行310310米，小陈每分钟比小王多行米，小陈每分钟比小王多行320-310=10320-310=10（米）。（米）。多少分钟小陈比小王多行多少分钟小陈比小王多行100100米？用米？用10010010=1010=10（分），这就是相遇（分），这就是相遇 的时间，再速度和的时间，再速度和相遇时间相遇时间= =总路程。总路程。解：相遇时小陈比小王多行的路程是：解：相遇时小陈比小王多行的路程是： 50+50=10050+50=100（米）（米） 相遇时间：相遇时间：100100（320-310320-310）=10=10（分钟）（分钟） 全程：全程：（320+310320+310）10=630010=6300（米）（米） 相遇处相遇处小陈小陈50米米 小王小王中点中点第12页/共20页分析一：这道题与例分析一：这道题与例7 7的运动方向是相同的，只是把条件和问的运动方向是相同的，只是把条件和问题换了换。可以用以下思路来解决问题。要求甲队超过中点题换了换。可以用以下思路来解决问题。要求甲队超过中点多少米，只要求出甲队修的米数，再减去小渠的一半便可得多少米，只要求出甲队修的米数，再减去小渠的一半便可得出。要求甲队修的米数，必须知道甲队的速度和甲队用的时出。要求甲队修的米数，必须知道甲队的速度和甲队用的时间，速度已知是每天修间，速度已知是每天修8080米，时间就是两队相遇的时间，用米，时间就是两队相遇的时间，用总路程除以速度和便可以求出。总路程除以速度和便可以求出。解：解：相遇时间：相遇时间： 29002900（80+6580+65）=2900=2900145=20145=20（天）（天） 甲队修的米数：甲队修的米数：8080 20=1600 20=1600（米）（米） 甲队超过中点的米数：甲队超过中点的米数：1600-29001600-29002=1600-1450=1502=1600-1450=150（米）米）第13页/共20页分析二：甲队超过中点的米数，也是乙队距中点的米数。用分析二：甲队超过中点的米数，也是乙队距中点的米数。用甲队修的米数减去乙队修的米数再除以甲队修的米数减去乙队修的米数再除以2 2，就求出甲队超过中，就求出甲队超过中点的米数。所以用第一种思路先求出相遇时间，再分别求出点的米数。所以用第一种思路先求出相遇时间，再分别求出甲队和乙队修的米数。甲队和乙队修的米数。解：解：相遇时间：相遇时间： 29002900（80+6580+65）=2900=2900145=20145=20（天）（天） 甲队修的米数：甲队修的米数：8080 20=1600 20=1600（米）（米） 乙队修的米数：乙队修的米数：6565 20=1300 20=1300（米）（米） 甲队超过中点的米数：（甲队超过中点的米数：（1600-13001600-1300）2=3002=3002=1502=150（米）（米）第14页/共20页分析：从图中可以看出，分析：从图中可以看出，A A、B B两车从出发到第一次相遇经过的总路两车从出发到第一次相遇经过的总路程是甲、乙两站的长程是甲、乙两站的长82508250米。米。A A、B B两车从出发到第二次相遇经过的两车从出发到第二次相遇经过的总路程是甲、乙两站总路程是甲、乙两站82508250米的米的3 3倍，也就是第一次相遇到第二次相倍，也就是第一次相遇到第二次相遇时，两车经过的总路程是遇时，两车经过的总路程是82508250米的米的2 2倍。又已知两车的速度，可倍。又已知两车的速度，可求得两车行这两个全程共用的时间，最后加上停站时间，就求出了求得两车行这两个全程共用的时间，最后加上停站时间，就求出了最后结果。最后结果。解：从第一次相遇到第二次相遇经过的总路程：解：从第一次相遇到第二次相遇经过的总路程： 850085002=165002=16500（米）（米） 从第一次相遇到第二次相遇所用的时间：从第一次相遇到第二次相遇所用的时间： 1650016500（280+270280+270）=30=30（分钟）（分钟） 30+5=3530+5=35（分钟）（分钟） 第一次相遇第一次相遇甲甲8250米米 乙乙A A车车B B车车停留停留5 5分分钟钟停留停留5 5分分钟钟第二次相遇第二次相遇第15页/共20页分析：从图上看，小春和小夏运行的情况与例分析：从图上看，小春和小夏运行的情况与例9 9题两辆汽车运行的题两辆汽车运行的情况相似，只是小春、小夏到对方出发点时没有停，返回即走，那情况相似，只是小春、小夏到对方出发点时没有停，返回即走，那么我们可以用例么我们可以用例9 9思路来想：小春、小夏第一次相遇时，合行的路思路来想：小春、小夏第一次相遇时，合行的路程是程是A A、B B之间的距离，此时，小春行了之间的距离，此时，小春行了5050米。从图中可以看出，他米。从图中可以看出，他们到第二次相遇时共行了们到第二次相遇时共行了A A、B B之间的距离的之间的距离的3 3倍，也就是小春和小倍，也就是小春和小夏各行了从出发到第一次相遇时自己所行路程的夏各行了从出发到第一次相遇时自己所行路程的3 3倍，即小春共行倍，即小春共行了了3 3个个5050米。用小春共行的路减去他返回时又行的米。用小春共行的路减去他返回时又行的2525米，就得到米，就得到A A、B B两地间的距离。两地间的距离。解：解： 50503-25=150-25=1253-25=150-25=125（米）（米） 第一次相遇第一次相遇AB小春小春小夏小夏5050米米第二次相遇第二次相遇2525米米第16页/共20页分析：从图上看出，乙、丙相遇时，甲、乙相差的路程正好是丙再分析：从图上看出，乙、丙相遇时，甲、乙相差的路程正好是丙再行行2 2分钟与甲相遇时，甲、丙分钟与甲相遇时，甲、丙2 2分钟共走的路程。这个路程可以求出分钟共走的路程。这个路程可以求出：（：（40+6040+60）2=2002=200（米）。即乙比甲多行了（米）。即乙比甲多行了200200米。而乙每分钟米。而乙每分钟比甲每分钟快比甲每分钟快50-40=1050-40=10（米），那么（米），那么200200米里有几个米里有几个1010米就是在几米就是在几分钟内行出来的，用分钟内行出来的，用20020010=2010=20（分），这个时间是乙与丙相遇时（分），这个时间是乙与丙相遇时，甲、乙、丙各用的时间，也可以看成是乙、丙相遇的时间，用乙，甲、乙、丙各用的时间，也可以看成是乙、丙相遇的时间，用乙、丙速度和、丙速度和相遇时间相遇时间= =总路程，便可求出总路程，便可求出A A、B B两地相距多远。两地相距多远。解：解： 乙、丙相遇时，甲、乙的路程差乙、丙相遇时，甲、乙的路程差：（40+6040+60）2=2002=200（米）（米） 乙、丙的相遇时间乙、丙的相遇时间：200200（50-4050-40）=20=20（分）（分） A A、B B两地的距离：（两地的距离：（5050+60+60）20=220020=2200（米）（米） AB丙丙丙丙甲甲乙乙甲甲2分分2分分第17页/共20页例例1212：丁丁和带着小狗的冬冬同时分别从相距：丁丁和带着小狗的冬冬同时分别从相距14001400米的两地相向而行，丁丁米的两地相向而行，丁丁每分钟行每分钟行6565米，冬冬每分钟行米，冬冬每分钟行7575米，小狗每分钟跑米，小狗每分钟跑200200米。冬冬的小狗遇到米。冬冬的小狗遇到丁丁后立即返回向冬冬这边跑，遇到冬冬后再向丁丁这边跑丁丁后立即返回向冬冬这边跑，遇到冬冬后再向丁丁这边跑当丁丁和冬当丁丁和冬冬相遇时，小狗一共跑了冬相遇时，小狗一共跑了 多少米？多少米？A地B地返回第18页/共20页分析：按照常规，要求狗一共走了多少米？就得把狗与甲相遇走的分析：按照常规，要求狗一共走了多少米？就得把狗与甲相遇走的路程，与乙相遇走的路程，再与甲相遇走的路程路程，与乙相遇走的路程，再与甲相遇走的路程都求出，然后都求出，然后再相加，算出结果。但是，仔细想来，狗在甲、乙之间要跑多少个再相加，算出结果。但是，仔细想来，狗在甲、乙之间要跑多少个来回，每次来回所用的时间是多少，这些量我们都无法求出。来回，每次来回所用的时间是多少，这些量我们都无法求出。解：解： 甲、乙两人相遇所用的时间是：甲、乙两人相遇所用的时间是： 1400 1400 （80+6080+60）=10=10（分）（分） 狗共跑的路程是：狗共跑的路程是： 180 180 10=1800 10=1800（米）（米） 再转换一下思路想：抓住题中不变的量或不变的关系来分析。再转换一下思路想：抓住题中不变的量或不变的关系来分析。不论狗在甲、乙两人之间跑了多少个来回，狗所走的路程所用的总不论狗在甲、乙两人之间跑了多少个来回，狗所走的路程所用的总时间等于甲、乙两人相遇所用的时间，这是不变的关系，所以，只时间等于甲、乙两人相遇所用的时间，这是不变的关系，所以，只要求出狗跑的时间，也就是求出甲、乙两人相遇所用的时间，就可要求出狗跑的时间，也就是求出甲、乙两人相遇所用的时间，就可以求出狗所跑的路程。这样原问题就转化为求甲、乙两人相遇时间以求出狗所跑的路程。这样原问题就转化为求甲、乙两人相遇时间的问题。已知两地间的距离是的问题。已知两地间的距离是1400米，甲的速度是每分钟米，甲的速度是每分钟80米，米，乙的速度是每分钟乙的速度是每分钟60米，用总路程米，用总路程速度和，便可求出相遇时间速度和，便可求出相遇时间。第19页/共20页