2022年高三数学上学期期中试卷 文（含解析）

2022年高三数学上学期期中试卷 文（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内1已知集合A=y|y=|x|1，xR，B=x|x2，则下列结论正确的是( )A3AB3BCAB=BDAB=B考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：先求出集合A，从而找出正确选项解答：解：|x|0，|x|11；A=y|y1，又B=x|x2AB=x|x2=B故选C点评：注意描述法所表示集合的元素2已知函数f（x）=丨x2丨+1，g（x）=kx若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A（0，）B（，1）C（1，2）D（2，+）考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围解答：解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：KOA=，数形结合可得 k1，故选：B点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题3下列函数在定义域内为奇函数的是( )Ay=x+By=xsinxCy=|x|1Dy=cosx考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性的性质和定义进行判断即可解答：解：A函数f（x）的定义域为x|x0，则f（x）=x=（x+）=f（x），则函数是奇函数Bf（x）=xsin（x）=xsinx=f（x）为偶函数，Cf（x）=|x|1=|x|1=f（x）为偶函数，Df（x）=cos（x）=cosx=f（x），为偶函数故选：A点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性，比较基础4某学校xx高一、xx高二、xx高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从xx高三年级抽取的学生人数为( )A15B20C25D30考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义即可得到结论解答：解：三个年级的学生人数比例为3：3：4，按分层抽样方法，在xx高三年级应该抽取人数为人，故选：B点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件确定抽取比例是解决本题的关键，比较基础5若a=3，b=logcos60，c=log2tan30，则( )AabcBbcaCcbaDbac考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数和对数函数的性质求解解答：解：a=330=1，0=b=logcos60=1，c=log2tan30log21=0，abc故选：A点评：本题考查三个数大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数、三角函数的性质的合理运用6已知l，m，n是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是( )A若lm，ln，m，n，则lB若l，m，则lmC若lm，m，则lD若l，m，则lm考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解解答：解：若lm，ln，m，n，则当m与n相交时，l，故A错误；若l，m，则l，所以lm，故B正确；若lm，m，则l或l，故C错误；若l，m，则l与m相交、平行或异面，故D错误故选：B点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养7将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是( )A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的对称性 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后通过选项，判断函数的一个对称中心即可解答：解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin=sin（2x）；考察选项不难发现：当x=时，sin（2）=0；（，0）就是函数的一个对称中心坐标故选：A点评：本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型8已知函数f（x）=若f（a）1，则实数a的取值范围为( )ABDAx1x2Bx1+x20Cx1x2Dx12x22考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：利用函数奇偶性的定义可以判断函数f（x）=xsinx为偶函数，从而确定图象为第二个，然后利用函数单调性进行判断解答：解：因为y=x和y=sinx都是奇函数，所以函数f（x）=xsinx为偶函数，图象关于y轴对称，所以图象为第二个且当x（0，）时，函数f（x）=xsinx是增函数，当x（，0）时，函数f（x）=xsinx是减函数若x1，x2（0，），f（x1）f（x2），则有x1x2，故C不正确；若x1，x2（，0），f（x1）f（x2），此时x1x2，所以此时A，B都不正确，排除A，B因为x12，x22（0，），f（x1）f（x2），所以x12x22，成立故选D点评：点评：本题主要考查了函数图象和奇偶性与单调性的综合，利用排除法是解决本题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分在答题卷上的相应题目的答题区域内作答11命题：“xR，x2+2x+10”的否定是考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“xR，x2+2x+10”的否定是：故答案为：（写成xR，x2+2x+10也给分）点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查12等差数列an中，a3+a8=6，则=30考点：等差数列的性质；有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质；等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列an，a3+a8=6，可得a1+a10=a2+a9=a3+a8=，再利用指数幂和对数的运算法则即可得出解答：解：由等差数列an，a3+a8=6，a1+a10=a2+a9=a3+a8=，=a1+a2+a10=5（a3+a8）=56=30故答案为30点评：本题考查了等差数列的性质、指数幂和对数的运算法则，属于基础题13已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为考点：任意角的三角函数的定义 专题：计算题分析：利用正切函数的定义求得三角函数的值，再求角的最小正值解答：解：由题意，点在第四象限=角的最小正值为故答案为：点评：本题重点考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，属于基础题14已知a0，b0，且a+2b=1，则的最小值为考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出解答：解：a0，b0，且a+2b=1，=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号的最小值为故答案为：点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题15某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2考点：由三视图求面积、体积 专题：立体几何分析：由主视图知CD平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长解答：解：由主视图知CD平面ABC，设AC中点为E，则BEAC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在RtBCE中，BC=，在RtBCD中，BD=，在RtACD中，AD=2则三棱锥中最长棱的长为2故答案为：2点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力16记Sk=1k+2k+3k+nk，当k=1，2，3，时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，可以推测，AB=考点：归纳推理 专题：计算题；压轴题分析：通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；列出方程求出A，B的值，进一步得到AB解答：解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以A=，解得B=，所以AB=，故答案为：点评：本题考查通过观察、归纳猜想结论，并据猜想的结论解决问题，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Sn考点：数列的求和；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，a2，a3+1，a6成等比数列，即（2d+2）2=（1+d）（1+5d），解得d=3或d=1由已知数列an各项均为正数，d=3，故an=1+3（n1）=3n2（2），Sn=1=点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题18已知向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosxsinx，sinx），函数f（x）=（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：（）由向量的数量积运算及三角变换可得f（x）=，即可得出结论；（）由题意求得，根据正弦函数的单调性即可得出最值解答：解：（I）=，函数f（x）的最小正周期为（II）令，即，sint在上是增函数，在上是减函数，当，即，时，当或，即x=0或时，点评：本题主要考查向量的数量积运算及三角函数在定区间上求最值等知识，属于中档题19如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD（）求证：CD平面ABD；（）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）证明：CD平面ABD，只需证明ABCD；（）利用转换底面，VAMBC=VCABM=SABMCD，即可求出三棱锥AMBC的体积解答：（）证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，CDBD，ABBD=B，CD平面ABD；（）解：AB平面BCD，BD平面BCD，ABBDAB=BD=1，SABD=，M为AD中点，SABM=SABD=，CD平面ABD，VAMBC=VCABM=SABMCD=点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥AMBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键20如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里（1）求sinBDC的值；（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）由已知可得 CD=20，BDC中，根据余弦定理求得 cosBDC 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinBDC 的值（2）由已知可得BAD=60，由此可得sinABD=sin（BDC60）的值，再由正弦定理求得 AD的值，由此求得这艘游轮到达A的时间解答：解：（1）由已知可得 CD=40=20，BDC中，根据余弦定理求得 cosBDC=，sinBDC=（2）由已知可得BAD=20+40=60，sinABD=sin（BDC60）=（）=ABD中，由正弦定理可得 又BD=21，AD=15，t=22.5分钟即 这艘游轮再向前航行22.5分钟即可到达城市A点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式公式的应用，属于中档题21如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4E，F分别在线段BC和AD上，EFAB，将矩形ABEF沿EF折起记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面ECDF（）求证：NC平面MFD；（）若EC=3，求证：NDFC；（）求四面体NFEC体积的最大值考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC平面MFD；（）连接ED，设EDFC=O根据平面MNEF平面ECDF，且NEEF，可证NE平面ECDF，从而可得FCNE，进一步可证FC平面NED，利用线面垂直的判定，可得NDFC；（）先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值解答：（）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MNEFCD，MN=EF=CD所以四边形MNCD是平行四边形，所以NCMD，因为NC平面MFD，所以NC平面MFD （）证明：连接ED，设EDFC=O因为平面MNEF平面ECDF，且NEEF，所以NE平面ECDF，因为FC平面ECDF，所以FCNE 又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以 FCED 所以FC平面NED，因为ND平面NED，所以NDFC （）解：设NE=x，则EC=4x，其中0x4由（）得NE平面FEC，所以四面体NFEC的体积为 所以 当且仅当x=4x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大 点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查基本不等式的运用，掌握线面平行，线面垂直的判定方法，正确表示四面体NFEC的体积是关键22已知aR，函数（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率；（2）讨论f（x）的单调性；（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系 专题：导数的综合应用分析：由函数，得到函数的定义域，（1）代入a=1可得f（x），得到f（1），进而可得切线的斜率；（2）可得导函数为，分a0和a0两类分别求得导数的正负情况，进而可得单调性；（3）结合（1）与（2）可得出函数的单调性与极值；若使得方程f（x）=2有两个不等的实数根，只要极小值小于2即可，列出不等式，求出a的范围解答：解：（1）当a=1时，k=f（1）=0所以曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为0；（2）当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减；当.（3）存在a（0，e3），使得方程f（x）=2有两个不等的实数根理由如下：由（1）可知当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减，方程f（x）=2不可能有两个不等的实数根； 由（2）得，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根，等价于函数f（x）的极小值，即，解得0ae3所以a的取值范围是（0，e3）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及切线方程的求解，求函数的单调区间及极值，以及函数的零点个数问题，属中档题