2022年高三数学一轮复习 第5篇 第3节 等比数列课时训练 理

2022年高三数学一轮复习 第5篇 第3节 等比数列课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定及证明3、15等比数列的基本运算4、6、8、11等比数列的性质1、2、7、10等比、等差数列的综合5、9、12等比数列与其他知识综合5、13、14、16基础过关一、选择题1.公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于(A)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:a3a11=16,数列an的各项都是正数,所以a7=4,又a7=a522,所以a5=1.2.(xx高考重庆卷)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是(D)(A)a1,a3,a9成等比数列(B)a2,a3,a6成等比数列(C)a2,a4,a8成等比数列(D)a3,a6,a9成等比数列解析:由等比数列的定义知选D.3.已知数列an的前n项和Sn=3n+k(k为常数),那么下述结论正确的是(B)(A)k为任意实数时,an是等比数列(B)k=-1时,an是等比数列(C)k=0时,an是等比数列(D)an不可能是等比数列解析:Sn=3n+k(k为常数),a1=S1=3+k,n2时,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=23n-1,当k=-1时,a1=2满足an=23n-1,an是等比数列,当k=0时,a1=3不满足an=23n-1,an不是等比数列.4.已知等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn.若S3=,则S6等于(B)(A)(B)(C)63(D)解析:由=q3,即=8,得S6=.5.已知an为等差数列,bn为等比数列,其公比q1且bi0(i=1,2,),若a1=b1,a11=b11,则(A)(A)a6b6(B)a6=b6(C)a6b6(D)a6b6解析:数列an是等差数列,数列bn是等比数列,a1=b1,a11=b11,a1+a11=b1+b11,又bi0(i=1,2,)2a6=b1+b112=2b6,又q1,且bi0(i=1,2,),b1b11,a6b6.二、填空题6.已知等比数列an的公比为正数,且a2a6=9a4,a2=1,则a1=.解析:由a2a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2,解得q2=9,所以q=3或q=-3(舍去),所以由a2=a1q,得a1=.答案:7.(xx高考广东卷)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20=.解析:ln a1+ln a2+ln a20=ln a1a2a20,而a1a20=a2a19=a9a12=a10a11=e5,所以ln a1a2a20=ln=50.答案:508.(xx高考辽宁卷)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和,若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.解析:依题意a1+a3=5,a1a3=4,又数列an为递增数列,解得a1=1,a3=4,q2=4,q=2,S6=63.答案:639.(xx高考安徽卷)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.解析:设等差数列an的公差为d,由题意,(a3+3)2=(a1+1)(a5+5),即(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),化简可解得,d=-1,所以公比q=1.答案:110.等比数列an的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则an的通项公式an=.解析:=,=-,S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,q5=-,q=-,则an=-1(-)n-1=-(-)n-1.答案:-(-)n-1三、解答题11.(xx高考四川卷)在等比数列an中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列an的首项、公比及前n项和.解:设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列an的前n项和Sn=.12.已知等比数列an的前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,且S4=.(1)求数列an的通项公式;(2)求证Sn.(1)解:设等比数列an的公比为q.S1,2S2,3S3成等差数列4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),a2=3a3,q=.又S4=,即=,解得a1=1,an=()n-1.(2)证明:由(1)得Sn=1-()n.能力提升13.已知定义在R上的函数f(x)=ax(0a0时,S3=1+q+1+2=3,当q0时,S3=1-(-q-)1-2=-1.S3(-,-13,+).故选D.15.(xx高考陕西卷)设Sn表示数列an的前n项和.(1)若an是等差数列,推导Sn的计算公式;(2)若a1=1,q0,且对所有正整数n,有Sn=.判断an是否为等比数列,并证明你的结论.解:(1)设an的公差为d,则Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,2Sn=n(a1+an),Sn=.(2)当n=1时,S1=1.当n=2时,S2=1+q,a1+a2=1+q,a2=q.当n=3时,S3=1+q+q2,a1+a2+a3=1+q+q2,a3=q2;初步断定数列an为等比数列.证明如下:Sn=,an+1=Sn+1-Sn=-=qn.a1=1,q0,当n1时,有=q,因此,an是首项为1且公比为q的等比数列.探究创新16.(xx广东十校联考)如图给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(ij,i,jN*),则a53=,amn=(m3).,解析:由题意可知第一列首项为,公差d=-=,从第三行起每一行的公比q=,所以a51=+4=,a53=a51q2=()2=.m3时,am1=+(m-1)=,amn=()n-1=.答案: