2022年高三数学 专题7 平面向量练习

2022年高三数学 专题7 平面向量练习一、前测训练1 (1)已知向量a(0，2)，|b|2，则|ab|的取值范围是 (2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则b的取值范围是 答案：(1)0,4(2)1,1ABCDE2(1)在ABC中，BAC120，AB2，AC1，点D是边BC上一点，DC2BD，E为BC边上的点，且0则 ； (2)如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为CD中点，则 (3)已知OAOB2，0，点C在线段AB上，且AOC60，则_答案：(1),(2)1(3)84二、方法联想1向量的运算方法1 用向量的代数运算方法2 结合向量表示的几何图形2向量的应用方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决三、例题分析第一层次例1 （1）若向量a(2，3)，b(x，6)，且ab，则实数x （2）已知a，b都是单位向量，ab，则|ab| （3）已知向量a（3，2），b（1，0），且向量ab与a2b垂直，则实数的值是 （4）若平面向量a，b满足ab1，ab平行于y轴，a(2，1)，则b 答案：（1）4；（2）；（3）；（4）（2，2）或（2，0）教学建议一、主要问题归类与方法：1两个非零向量共线的充要条件（坐标形式和非坐标形式）2单位向量与数量积的概念，求模长的基本方法3向量垂直的充要条件（坐标形式和非坐标形式）4坐标形式下向量模长的计算公式二、方法选择与优化建议：1第（2）小题，方法1：将所求模长平方，转化为向量的数量积；方法2可以画图，通过解三角形求解；本题给出了两个向量的模长及数量积，因此方法1求解较为简单2第（4）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解本题可以抓住向量ab的两要素，先求出向量ab的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质例2 （1）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3，BD1，则 （2）在平面直角坐标系xOy中，已知(3，1)，(0，2)若0，则实数的值为 （3）已知A（3，0），B（0，），O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC60，则实数的值是 （4）在ABC中，已知BC2，1，则ABC面积的最大值是 答案：（1）；（2）2；（3）；（4）教学建议一、主要问题归类与方法：1解（1）小题可以是基底法（以和为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法2解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解理解向量共线的意义3平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解4平面向量数量积的概念，建立目标函数利用基本不等式求最值5解（4）小题还可以用坐标法，得出点A的轨迹方程，利用图形的直观性求解二、方法选择与优化建议：1解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知2解（4）小题由于建立目标函数有些难度，所以用坐标法求解来得简单易懂例3 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab（，R），则 ABCDEFP（2）如图，正六边形ABCDEF中，P是CDE内（包括边界）的动点设（、R），则的取值范围是 答案：（1）4；（2）3，4教学建议一、主要问题归类与方法：1问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解2解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法二、方法选择与优化建议：1解决这两题用坐标法优于基底法2选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易 第二层次例1 （1）已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c （2）已知向量a(2，1)，ab10，ab5，则b 变式：平面向量a与b的夹角为60，a(2，0)，|b|1，则|a2b| （3）若平面向量a，b满足ab1，ab平行于y轴，a(2，1)，则b （4）在菱形ABCD中，若AC4，则 答案：（1）（ ， ）；（2）5；变式：2（3）（2，2）或（2，0）；（4）8教学建议一、主要问题归类与方法：1坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件2向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积3第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系二、方法选择与优化建议：1第（2）小题，方法1：设向量b的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(ab)的模长平方求出答案相对而言，方法2比较简单2第（3）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解本题可以抓住向量ab的两要素，先求出向量ab的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质3第（4）小题解法1：基底法，选择和与垂直的为基底；解法2：以AC、BD为；两坐标轴建立直角坐标系例2 （1）已知正ABC的边长为1，73，则 （2）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12（1，2R），则12的值为_。（3）如图，在ABC中，BAC90，AB6，D在斜边BC上，且CD2DB，则的值为 ABDC（4）已知a，b是单位向量，ab0若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是 答案：（1）2；（2）；（3）24；（4）1，1教学建议一、主要问题归类与方法：1三角形中研究边所在向量的数量积时，关注向量夹角的定义2将所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、减法的三角形法则，突出平面向量基本定理3可以关注一下向量数量积的几何意义（投影）4（4）求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法二、方法选择与优化建议：1第（3）小题的求解，坐标法优于基底法从图形的结构上发现便于建系2由于向量a，b是两个相互垂直的单位向量，用坐标法解题通俗易懂例3 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab（，R），则 EBACD（2）如图，在ABC中，ABAC，BC2，若，则 答案：（1）4；（2）教学建议一、主要问题归类与方法：1一个向量用两个基底向量来表示，平面向量基本定理2解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法二、方法选择与优化建议：1第（1）小题由于不容易用基底来表示，所以用坐标法优于基底法2第（2）小题不容易选择基底，而且运算过程复杂，建系则比较单一，所以用坐标法优于基底法第三层次例1 （1）设a、b、c是单位向量，且abc，则ac的值为 （2）若向量a，b满足|a|3，|b|1，|a2b|，则向量a，b的夹角是 xyABO1（3）函数ytan(x)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1则() （4）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x ，y 答案：（1）；（2）；（3）6；（4）1和教学建议一、主要问题归类与方法：1单位向量的概念以及数量积的定义可以画图结合图形研究，也可以通过计算，将条件变为bca，两边平方即得答案2向量的夹角公式设法求出向量a，b的数量积3坐标形式下向量数量积的运算求出点A、B的坐标4平面向量基本定理，向量分解，解三角形求解例2 （1）如图，在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D是边BC上一点，2，则 （2）如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若（，R），则的值为 （3）在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()等于 变式：在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P是AM上一动点，则()的最小值等于 DCAB如图（4）如图，在四边形ABCD中，|4，|4，0，则()的值为 答案：（1）；（2）6；（3）；变式：（4）4教学建议一、主要问题归类与方法：1基底法求解很显然是以、为基底2平面向量基本定理，把、看作一组基底，将非正交分解通过解三角形求出答案3平面几何性质；向量加法的平行四边形法则；建立目标函数求最值4结合平面几何性质，突出向量数量积的定义5突出了“数形结合”和“整体代换”等数学思想二、方法选择与优化建议：1解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法。不容易找到基底或者表示起来较为复杂，计算量大，往往就用坐标法，建立适当的坐标系是难点ABCEFMN图1例3 图1，等腰ABC中，ABAC1，A120，E、F分别是边AB、AC上的点，且m，n，其中m、n（0，1），且m4n1.若EF、BC的中点分别为M、N，则|的最小值为 答案：.教学建议一、主要问题归类与方法：1基底法求解很显然是以、为基底通过构造AMN，利用向量的加减法法则设法把向量用、表示出来，将平方之后建立目标函数，通过消元研究关于m或n的二次函数的最小值2坐标法求解以BC边所在直线为x轴，BC边的高所在直线为y轴，建立直角坐标系设法将M、N两点的坐标表示出来，利用向量坐标形式下模长公式建立起目标函数进行求解3基底法的难点是：要学会通过构造AMN，利用向量的加减法法则设法把向量用、表示出来4坐标法的难点是：首先要利用条件将E、F两点的坐标表示出来5关注对目标函数消元变形的理性思维，达到简化运算的目的二、方法选择与优化建议：1解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法本题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点2基底法难点是用基底、来表示，构造三角形AMN，将向量放在AMN中研究，这种方法最为简洁，这种做法是基于M、N分别为EF、BC的中点，有一个向量公式，很容易将和用基底向量来表示()( mn)，()在接下来对目标函数进行消元变形的过程中，关注计算的理性化3坐标法的难点是如何利用条件将E、F两点的坐标表示出来需要结合平面几何中平行线分线段成比例的等一些基本性质四、反馈练习