小学奥数之第30讲几何综合（二）

第30讲 几何综合（二）内容概述 勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系与上述知识相关的几何计算问题各种具有相当难度的几何综合题典型问题 2如图30-2，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?【分析与解】 方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关设正方形CEFG的边长为x，有：又阴影部分的面积为:(平方厘米).方法二：连接FC，有FC平行与DB，则四边形BCFD为梯形 有DFB、DBC共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,DBC的面积(平方厘米) 阴影部分DFB的面积为50平方厘米4.如图30-4，A+B+C+D+E+F+G+H+I等于多少度? 【分析与解】 为了方便所述，如下图所示，标上数字，有I=1800 -(1+2),而1=1800-3, 2=1800-4,有I=3+4-1800 同理, H=4+5-1800, G=5+6-1800, F=6+7-1800, E=7+8-1800, D=8+9-1800, C=9+10-1800, B=10+11-1800, A=11+3-1800 则A+B+C+D+E+F+G+H+I=2(3+4+5+6+7+8+9+10+11)-91800 而3+4+5+6+7+8+9+10+11正是9边形的内角和为(9-2)1800=12600 所以A+B+C+D+E+F+G+H+I=212600-91800=90006长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1a2a3a4a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一 【分析与解】 我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出第一类情况：以 为特征的有7组：第二类情况：以 为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，25，5，14.5)(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12).(1,2,2.4,4.8,5),.8.如图30-8，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB,BC的中点则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米? 【分析与解】 如下图所示，连接EC，并在某些点处标上字母， 因为AE平行于DC，所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2，所以,且有,所以,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG：GD=1:2，同理FH：HD=1:2 有,而(平方厘米) 有EG:GD=,所以(平方厘米) (平方厘米)同理可得(平方厘米), (平方厘米) , (平方厘米)又=24-12=12(平方厘米) 所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)10图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG 设AEG的面积为x，显然EBG、BFG、FCG的面积均为x，则ABF的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为. 所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米)12如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1求阴影部分的面积 【分析与解】 如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等我们把左下图中的每一部分阴影称为A，右下图中的每一部分阴影称为B大半圆的面积为小圆的面积.而小圆的面积为，则，原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为14.如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积(取3.14)【分析与解】 如下图所示， 如下图所示，端点A扫过的轨迹为，端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分显然有阴影部分面积为,而直角三角形、ACD面积相等所以 即AD边扫过部分的面积为7065平方厘米