2022年高三数学12月月考试题 理（含解析）新人教A版

2022年高三数学12月月考试题 理（含解析）新人教A版【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。【题文】一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）【题文】1已知集合A=1,3,4,6,7,8，B=1,2,4,5,6则集合AB有（ ）个子集 A.3 B.4 C.7 D.8【知识点】集合运算；子集的概念. A1 【答案】【解析】D 解析： AB=1,4,6，AB有个子集，故选D.【思路点拨】求得AB，再用公式求其子集个数. 【题文】2设向量满足，则（ ） A.1 B.2 C.3 D.5 【知识点】向量的模与与向量数量积的关系. F1 F3 【答案】【解析】A 解析：因为，所以两式相减得:44，所以1，故选A. 【思路点拨】将向量的模平方，转化为向量数量积运算，再相减得结论. 【题文】3已知a,b为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件；必要条件的判定. A2 【答案】【解析】B 解析：当a=2,b=1时，但不成立；当时，则成立，所以选B. 【思路点拨】只需判断命题：“若甲则乙”与“若乙则甲”的真假. 【题文】4已知变量满足约束条件，则的最大值为( ) A.8 B.11 C.9 D.12【知识点】简单的线性规划. E5 【答案】【解析】B 解析：画出可行域，平移目标函数得最优解为直线y=2与x-y=1的交点（3,2）所以的最大值为11，故选B. 【思路点拨】画出可行域，平移目标函数确定最优解即可. 【题文】5已知且，则=（） A.-6或-2 B.-6 C.2或-6 D.2【知识点】两个集合交集是空集的条件. A1 【答案】【解析】A 解析：若，则或，解得a= -6或a= -2,故选A. 【思路点拨】要使，需使：缺少点（2，3）的直线y-3=3(x-2)与直线ax+2y+a=0平行，或者直线ax+2y+a=0过点（2，3），但不与直线y-3=3(x-2)重合即可. 【题文】6已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为( ) A. B. C. D. 不存在【知识点】等比数列的性质；基本不等式 D3 E6【答案】【解析】A 解析：设等比数列的首项为，公比为q, ,则若，故选A【思路点拨】根据条件求出等比数列的公比，再结合，求出m,n的和，再结合基本不等式，即可得到答案.【题文】7设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.【知识点】直线与圆锥曲线 H8【答案】【解析】C 解析：两个交点的横坐标为-c,c，所以两个交点分别为，代入椭圆，两边乘以则，故选C.【思路点拨】先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，再解有关于a与c的关系式即可.【题文】8若（），则在中，正数的个数是（ ） A. 882 B. 756 C.750 D. 378 【知识点】三角函数的性质 C3【答案】【解析】B 解析：由题意可知，由三角函数值与三角函数的周期性可知前16个值中有6个正数，分别为，16个值为一组呈现周期性，xx为，所以正数的个数为，故选B【思路点拨】由三角函数值与三角函数的周期性可知前16个值为一个周期，其16个值中有6个正数，分别为，类推可得结果.【题文】9已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，,B为轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在轴上的投影为，则的值为（ ） A. B C. D.【知识点】三角函数的图象与性质 C4【答案】【解析】D 解析：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（x+ ）（0，0一个周期内的图象上的五个点，如图所示，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T=4（）=，所以=2，因为，所以0=sin（+ ），0，=故选D【思路点拨】通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出，利用A的坐标求出的值即可【题文】10.如图，已知B、C是以原点O为圆心，半径为1的圆与轴的交点，点A在劣弧PQ（包括端点）上运动，其中，OPOQ，作AHBC于H。若记，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【知识点】平面向量的基本定理及其意义 F1【答案】【解析】B 解析：由题意，B（1，0），C（1，0），由三角函数定义，可设A（cos，sin），则H（cos，0），由，可得，由，知xy，故选：B【思路点拨】由三角函数定义，可设A（cos，sin），则H（cos，0），利用，求出x，y，表示出xy，即可求出其取值范围. 【题文】二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分）【题文】11设复数，则_【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】 解析： 故答案为。【思路点拨】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求模【题文】12若命题“”为假命题，则实数的取值范围是_【知识点】命题的真假判断与应用A2【答案】【解析】 解析：“”是假命题“”的否定“xR，”为真命题令，y表示数轴上的点x到数2及-1的距离，所以y的最小值为3，故答案为。【思路点拨】利用已知判断出否命题为真命题；构造函数，利用绝对值的几何意义求出函数的最小值，令最小值大于2，求出a的范围【题文】13已知是定义在R上的奇函数。当时，则不等式的解集为_【知识点】二次函数的性质B5【答案】【解析】-5，05，+） 解析：f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0设x0，则-x0，f（-x）=x2+4x，又f（-x）=x2+4x=-f（x），f（x）=-x2-4x，x0当x0时，由f（x）x得x2-4xx，即x2-5x0，解得x5或x0（舍去），此时x5当x=0时，f（0）0成立当x0时，由f（x）x得-x2-4xx，即x2+5x0，解得-5x0（舍去），此时-5x0综上-5x0或x5故答案为：-5，05，+）【思路点拨】根据函数的奇偶性求出函数f（x）的表达式，然后解不等式即可【题文】14.有两个零点，则_【知识点】函数的图像.B10【答案】【解析】 解析：因为有两个零点，即有两个根,令,即两个函数的图像有两个交点，结合图像可知，故【思路点拨】利用数形结合法即可。【题文】15.点P（-1,0）在动直线上的射影为M，已知点N（3,3），则线段MN长度的最大值是_【知识点】等差数列的性质；与直线关于点、直线对称的直线方程D2H2【答案】【解析】 解析：易知动直线恒过定A点，则动点M的轨迹为以AP为直径的圆B上，MN长度的最大值为。故答案为。【思路点拨】先求出直线恒过的定点坐标，然后求出动点M的轨迹，再计算最大值即可。【题文】三、解答题（本大题共6小题，16，17，18题每题13分，19，20，21题每题12分.）【题文】16已知函数。(1) 求函数的最小正周期和值域；(2) 若为第二象限角，且，求的值。【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；的性质；同角三角函数关系；三角函数的求值与化简. C6 C5 C4 C2 C7【答案】【解析】（1）函数f(x)的最小正周期为2，值域为-1,3；（2）. 解析：（1），函数f(x)的最小正周期为2，值域为-1,3.(2)，即，又是第二象限角，.=原式=【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数公式把函数f(x)化为：，再确定其周期和值域；（2）由（1）及已知得，.然后把所求化简得，所求=，从而得所求值. 【题文】17.设正项等差数列， 恰好是等比数列的前三项，。（1）求数列、的通项公式；（2）记数列的前n项和为,若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围。【知识点】等差数列；等比数列 D2 D3【答案】【解析】 (1) (2) 解析：设公差为d，则有 ，又因为，() ， 对恒成立， 对恒成立，令，当时，当时，【思路点拨】根据等差、等比数列的概念可列出关系求出公差与公比，再写出通项公式，第二问，可变形为与k有关的不等式，再利用通项的性质进行证明.18.已知函数（为常数）。（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）当0a2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的 存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围。【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性B12【答案】【解析】（1）3；（2）f（x）在（0，+）上是增函数；（3）（，log2e。 解析：依题意（1）由已知得：f（1）=0，1+2a=0，a=3（3分）（2）当0a2时，f（x）=因为0a2，所以，而x0，即，故f（x）在（0，+）上是增函数（8分）（3）当a（1，2）时，由（2）知，f（x）在1，2上的最小值为f（1）=1a，故问题等价于：对任意的a（1，2），不等式1amlna恒成立即恒成立记，（1a2），则，（10分）令M（a）=alna1+a，则M（a）=lna0所以M（a），所以M（a）M（1）=0（12分）故g（a）0，所以在a（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值范围为（，log2e（14分）【思路点拨】（1）求导数，利用极值的 定义，即可求a的值；当0a2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a（1，2），不等式1amlna恒成立即恒成立【题文】19.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，且，1，b2。(1)求C和边c；(2)若,且点P为BMN内切圆上一点，求的最大值。【知识点】二倍角公式；诱导公式；余弦定理；坐标法求最值. C2 C6 C8 H9【答案】【解析】（1）C ，c=；(2) 最大值 解析：(1)2sin2cos 2C1，cos 2C12sin2cos(AB)cos C， 2cos2Ccos C10，cos C或cos C1，C(0，)，cos C，C由余弦定理得c（2） 建立坐标系，由（1）A，由,知，BMN的内切圆方程为：，设，则令 【思路点拨】（1）根据二倍角公式，诱导公式及三角形内角范围，求得 C，再由余弦定理求边c的长；（2）由(1)知ABC 是B=90，C=60的直角三角形，故可以以B为原点，直线BA为x轴，直线BC 为y轴建立直角坐标系，从而得BMN的内切圆的参数方程，进一步得所求关于的函数，求此函数最大值即可. 【题文】20.已知点,椭圆E:的离心率为；F是椭圆E的下焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点。（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线与E 相交于M,N两点，当的面积最大时，求的直线方程。【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线 H5 H8【答案】【解析】(1) (2) 解析：设椭圆的下焦点坐标为，所以AF的斜率，；（2） 依题直线的斜率存在。设联立方程消去得：， 设，则当且仅当时取等号，此时的直线方程为。【思路点拨】根据已知条件可求出椭圆的几何量a,b,c,再列出椭圆方程，根据直线与圆锥曲线的关系可联立方程，找出所用条件求解.【题文】21已知数列中， （1）设，求数列的通项公式；（2）求使不等式成立的的取值范围。【知识点】数列递推式；数学归纳法D1 M3【答案】【解析】（1）（2）（2， 解析：（1），即bn+1=4bn+2，a1=1，故所以是首项为，公比为4的等比数列，（）a1=1，a2=c1，由a2a1得c2用数学归纳法证明：当c2时anan+1（）当n=1时，a2=ca1，命题成立；（ii）设当n=k时，akak+1，则当n=k+1时，故由（i）（ii）知当c2时，anan+1当c2时，令=，由当2c时，an3当c时，3且1an于是当n因此c不符合要求所以c的取值范围是（2，【思路点拨】（1）令c=代入到an+1=c中整理并令bn=进行替换，得到关系式bn+1=4bn+2，进而可得到是首项为，公比为4的等比数列，先得到的通项公式，即可得到数列bn的通项公式（2）先求出n=1，2时的c的范围，然后用数学归纳法分3步进行证明当c2时anan+1，然后当c2时，令=，根据由可发现c时不能满足条件，进而可确定c的范围二、填空题11. 12. 13. 14. 15. 15. 15.易知动直线恒过定A点，则动点M的轨迹为以AP为直径的圆B上，MN长度的最大值为。三、 解答题16【解析】(1)因为f(x)1cos xsin x12cos，17.() ， 对恒成立， 对恒成立，令，当时，当时，18.19.解：(1)2sin2cos 2C1，cos 2C12sin2cos(AB)cos C，2cos2Ccos C10，cos C或cos C1，C(0，)，cos C，C由余弦定理得c（3） 建立坐标系，由（1）A，由,知，BMN的内切圆方程为：，设，则令20.（1）；（3） 依题直线的斜率存在。设联立方程消去得：，设，则当且仅当时取等号，此时的直线方程为。21.