数学中考压轴题旋转问题(经典)

数学中考压轴题旋转问题（经典）B顺3,则P A:【旋转 一、选择题1.（广东）如图，把一个斜边长为2且含有300角的 直角三角板绕直角顶点 C顺时针旋转900到2 iBC, 则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是A.兀 B . V3C . +342D. L +超1242 .（湖北）如图，。是正内一点，3, 4, 5,将线段以点B为旋转中心逆时针旋转 60。得到线段，下列结论： A可以由绕点B逆时针旋转60得到；点。与O的距离为4;/150 ;s四边形AOBO =6+36；SVAOC Svaob 6+述.其中正确的结论是【】4A.B . C .D.3 .（四川）如图，P是等腰直角外一点，把绕点时针旋转90至广，已知/ 135 , P A: P 1:A. 1:婢 B .1:2 C.73:2 D .1:734 .（贵州）点P是正方形边上一点（不与 A B重合）， 连接弁将线段绕点P顺时针旋转90 ,得线段，连接，则 /等于【】A. 75B . 60 C . 45D . 305 .（广西）如图，等边的周长为 6兀，半径是1的00从与相切于点D的位置出发，在外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与相切于点D的位置，则00自转了：【】A. 2周周B. 3周C. 4周D. 5二、填空题6 .（四川）如图，四边形中，/ 900，若四边形的面积是242.则长是 D是边上一点，连60得到,连接.若7 .（江西南昌）如图，正方形与正三角形的顶点 A重合，将绕顶点 A旋转，在旋转过程中，当时，/的大小可以是 8.（吉林省）如图，在等边中, 接.将绕点 B逆时针旋转 10, 9,则的周长是 .三、解答题9 .（北京市）在4ABC中，BA=BC , BAC , M是的中点，P是线段上的动点,将线段绕点P顺时针旋转2得到线段。（1）若 且点P与点M重合（如图1）,线段的延长线交射线于点D,请补全图形,弁写出/的度数;因1(2)在图2中，点P不与点B, M重合，线段的延长线与射线交于点大小（用含的代数式表示），并加以证明;D,猜想/的（3）对于适当大小的 ，当点P在线段上运动到某一位置（不与点 B, M重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点 D,且，请直接写出 的范围10 .(福建)在平面直角坐标系中，矩形如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为(色1) (m 0),将此矩形绕 O点逆时针旋转90 ,得到矩 形Bf C.(1)写出点A A、C的坐标；(2)设过点A A、C的抛物线解析式为2,求此抛物线的解析式；(a、b、c可用含m的式子表示)(3)试探究：当m的值改变时，点B关于点。的对称点D是否可能落在(2) 中的抛物线上？若能，求出此时 m的值.11 .(江苏)(1)如图1,在中，D, E是边上的两点，且满足/ 二/(02V/V ；/)。以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转/,得到AC点C与点A重合，点E到点E处)，连接。求证：.222(2)如图2,在中，/ 90 , D, E是边上的两点，且满足/ 1/(0 v/v45 ).求证:12 .（四川德阳）在平面直角坐标中，（如图）正方形的边长为4,边在x轴的正半轴上，边在y轴的正半轴上，点 D是的中点，交x轴于点E.求经过点D B、E的抛物线的解析式；将/绕点B旋转一定的角度后，边交线段于点F,边交y轴于点G,交中的抛物线于M （不与点B重合），如果点M的横坐标为12 ,那么结论工能成立吗？ 52请说明理由.过中的点F的直线交射线于点P,交中的抛物线在第一象限的部分 于点Q且使为等腰三角形，求 Q点的坐标.13 .（辽宁）（1）如图，在和中，/ 90 .当点D在上时，如图1,线段、有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图1中的绕点A顺时针旋转a角(0 V a V 90 ),如图2,线段、 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.(2)当和满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段、在(1)中的位置关系仍然成立？不必说明理由.甲：1, /中 90 ; 乙：中 1, / 90 ;丙：* 1, / / * 9014 .(辽宁本溪)已知，在中，。过 A点的直线a从与边重合的位置开始 绕点A按顺时针方向旋转角，直线a交边于点P (点P不与点B、点C重合),的边始终在直线 a上(点M在点N的上方)，且，连接。(1)当/ 90 时，如图a,当=45时，/的度数为；如图b,当 中450时，中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图c,当/中90时，请直接写出/与/之间的数量关系，不必证 明。16、(襄阳)如图1,点A是线段上一点，和都是等边三角形.(1)连结，求证：；(2)如图2,将绕点A顺时针旋转得到 D.当旋转角为 60度时,边落在上；在的条件下，延长交于点 巳连接，.当线段、满足什么数量关系 时，与全等？弁给予证明.15 .（山东德州）已知正方形中，E为对角线上一点，过 E点作，交于F,连接，G为中点, 连接，.（1）求证：；（2）将图中绕B点逆时针旋转45o,如图所示，取中点 G,连 接，.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由.（3）将图中绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不 要求证明）第15题图17.(鸡西)如图1,在正方形中，点 M N分别在、上，若/ 45 ,易证(1)如图2,在梯形中，/,点 M N分别在、上，若/1/,试探究线2段、有怎样的数量关系？请写出猜想，弁给予证明.(2)如图3,在四边形中，/ 180 ,点 M N分别在、的延长线上，若/ L/,试探究线段、又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证2明.B C5 cs cmi登1、【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形1、和4计算即可:在中，/ 90 , /30 , 2, .11, /90 /60.AC AB2 BC2 73。Sabc 2 BC AC 争 设点B扫过的路线与的交点为D,连接， 是等边三角形。二. 1。点D是的中点。. SACD Is ABC 丁叵叵S。2224 . ABC扫过的面积S扇形aca 1 S扇形BCD S ACD90(%326012 v3 3 J311% 33603604464124故选Do2【分析】二.正/ 600线段以点B为旋转中心逆时针旋转 60。得到线段，/O 6000./O 60/。:AAo/A 可以由绕点B逆时针旋转60得到。故结论正确。O 60 0,是等边三角形。4。故结论正确。.在中，三边长为O 5, 4,3,是一组勾股数,是直角三角形。O =90 0+600=150S四边形AOBOS AOO S OBO13 4+1423226+4/3。故结论错误。如图所示，将绕点A逆时针旋转60,使得与重合,点O旋转至O点.易知是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5直角三角形贝U S AOC S AOB SAocoS COO S AOO3 39 33 4+ 3 =6+故结论正确。综上所述，正确的结论为:24。故选3、【分析】如图，连接二.绕点B顺时针旋转oi故结论正确。A。90/ =90 o又.是等腰直角三角形，,() Co 二尸 A: P 1: 3, . .3? A连接，则是等腰直角三角形。./45。PP V 2PB oO135 ,135 -45 =90 , ：.是直角三角形。设 P,则3x,在 中，PP，AP2 PA2 J 3x 2 x2 2/2x o 在 中,. j2pb=2J2x ,解得 2x。.P A: : 21: 2。 故选 Bo4【分析】过点E作，交的延长线于点 F,则/90 ,四边形为正方形，/ 90。/90 由旋转可得：，/ 90 ,./ 90 。在和中，/,/ F,应()。：，。又丁, ，即。又/90 , 为等腰直角三角形。二/ 45 又./90 ,/45。故选 Co【答案】Co5【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数：O0 在三边运动时自转周数:6兀+2兀=3: 00绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数: 360 ,即一周。.OO 自转了 3+1=4周。故选Co6【分析】如图，将旋转至处，则的面积 和四边形的面积一样多为 242,这时三角形为 等腰直角三角形，作边上的高，则 p 二. SA 4 /。. 2a 180 2aa,.45 V aV60 。10【答案】解：(1)二.四边形是矩形，点 B的坐标为(m, 1) (m0), A(m 0) , 0(0, 1).矩形B 0由矩形旋转 90而成，A ( 0,成，C (1, 0)。(2)设过点A A、C的抛物线解析式为2+c, A (m0),A(0,m,C(1,0),2am bm c 0a 1c m,解得b m 1。.二此抛物线的解析式为：- x2+ (m-1) x +a b c 0c m(3)二点B与点D关于原点对称，B (日1) , 点D的坐标为：(一m,一 1),假设点D( m 1)在(2)中的抛物线上，0=- (- m 2+ (mH 1) X (m) +1,即 2m 2m+ 1=0,= ( 2) 2 4X2X2= 4V0, 此方程无解。.点 D不在(2)中的抛物 线上。【分析】(1)先根据四边形是矩形，点 B的坐标为(mi 1) (m 0),求出 点A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出A、C的坐标即可。(2)设过点A、A、C的抛物线解析式为 2,把A、A、C三点 的坐标代入即可得出的值，进而得出其抛物线的解析式。(3)根据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出D点坐标，把D点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可。11【答案】证明：(1) A是按逆时针方向旋转/得到).,/ E /。一/ 工/, ./ + /= 1/。 22/ + / E，=；/,即/ E，/。/E /。在 E和中，/EE，9、()。.。(2)以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋、转/90 ,得到 A (点C与点A重合，点Eb c到点E处)，连接 由(1)知。由旋转的性质，知 E , / E /。又 :，/ 90 , . ./ 45。./E /E +/90。在 A 中，22 A 2 , : 222。【分析】(1)由旋转的性质易得，/ E /,由已知/ 1/经等量代换可得2/E /,从而可由得 E得至(2)由(1)的启示，作如(1)的辅助图形，即可得到直角三角形A,根据勾股定理即可证得结论。12【答案】解：(1)二交x轴于点E,是正方形，/。在与中，.一/ 90 ,，/ ,应 ()。二.是正方形，4, D是的中点，A (4, 0) , B (4, 4) , C (0, 4) , D (0, 2) , E (6, 0).设过点D (0, 2) , B (4, 4) , E (6, 0)的抛物线解析式为2,则有：c 216a 4b c 4 ,解得5 a1213 b6c 2经过点D B E的抛物线的解析式为:结论2能成立.理由如下：由题意,y=5 2 13 x +x+212当/绕点 B旋转一定的角度后，同36a 6b c 0理可证得应，:。: 巴“二Exm2+xm+2必。M (W)5126555设直线的解析式为，: M(收空)，B (4, 4), 5512 24 1 . 5kb 5 ,解得 k 2。.二6。. G (0, 6)。4k+b=4b=62.2, 4。/.2, 2, F (2, 0) o / 2, 4, 结论1 成立。2(3)如图，为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下：若。:d,与平行线之间距离为 4,此时P点位于射线上。丁 F(2, 0) ,.P(2, 4)。此时直线L轴。来.=2。yQ=汉2理Xq+2W，Qi （2,匕）。若。 3如图所示，2,为等腰三角形。此时点P、Q与点B重合。.Q 2 （4, 4）若。4,与平行线之间距离为 4, 此时P点位于射线上。丁 E（ 6, 0）, .P (6, 4)。设直线的解析式为，: F ( 2, 0) , P (6, 4) ,2k+b=,解得k=1。6k+b=4b= 22。.Q点既在直线上，也在抛物线上，Ax2Tx+2=x 2,化简得 5x2-14x-48=0,解得Xi=X2= - 2 （不合题意，舍去）。.二2 52=24 2 手（丝 14）5，5综上所述,Q点的坐标为Q (2, 14)或Q (4, 4)或Q (仝，14) 355（1）由正方形的性质和应求得 E点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式。（2）求出M点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式，令 0,求得G点坐标，从而得到线段、的长度；由应,可得，从而求得的长度.比 较与的长度，它们满足1的关系，所以结论成立；（3）分、和三种情况，逐一讨论弁求解。13【答案】解：（1）结论：，o结论：，O理由如下:/90即/。在与中，:，/应（）。：。延长交于F,交于H。在与中，./, /,/ 90。（2）结论：乙.：，/ 90。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。【分析】（1），根据全等三角形的判定定理 推知应,然后由全等三角形的对应边相等证得、对应角相等/;然后在 和中，由三角形内角和定理可以求得/ 90 ,即，1o根据全等三角形的判定定理推知应,然后由全等三角形的对应边相等证得、对应角相等/;作辅助线（延长交于F,交于HD构建对顶角/,再根据三角形内角和定理证得/ 90。（2）根据结论、的证明过程知，/ （或/90。）时，该结论成立了，所以本条件中的/子90不合适。14【答案】解：（1）45。不变。理由如下过 B、C分别作，于点 D, 于点 E。./ =90 ,./ + / 90。./ =90 。./ + / 90 。 :/。又:，/=/ 90 ,应 （）。.，。二是等腰直角三角形斜边上的身，/ 45 o.，即0./ =90 / =45 。（ 3） / =90 1 /。2【分析】（1）/ 90 ,45。又/45 , ./。又.，应 () 。./45过B、C分别作，于点D, 于点Eo通过证明应从而证明是等腰直角三角形即可。(2)如图，由已知得：/ e =180-2Z-Z 1 (.)=180一/2/ 6一/I(/,)=(180 - Z 2 一 /1) 一 / 6=/ 3+Z4+ Z5-Z6 (三角形内角和定理)=/ 6+ / 5 / 6=/ 5 (/ 3+ / 4=/ / 6)。点A、B、M C四点共圆。/ =/ 90 1/。215解：(1)证明：在中，.G为的中点，二. 1. 1分同理，在中，2L 2分2. . 3 分(2) (1)中结论仍然成立，即.4分证法一：连接，过 G点作，于M与的延长线交于 N点.来源：学#科#网在与中，二5分D在与中,ZZZZ在矩形中，.A证法二：延长至M使，连接，在 与中，二，/ /,CM分EF MF .在与中，: ，白.MEF CEB ./ = / + / = / + /= 90 .7 分图 为直角三角形.=,.,-.2二 EG CG. 8分(3) (1)中的结论仍然成立，即.其他的结论还有L.10分16、解(1)证明：二.和都是等边三角形.答：, ZZ 60,/./,即/,在和中，亚二AD，/BAE=/DAC,() ,；.AE 二 AC(2)解：.一/ 60,/ 180602=60,二.边 落在上,旋转角=/60;当2时，与4全等.理由如下：由旋转可知，与重合，四边形 是菱形，./ =/ =2/1 60 =30 , / , 2 2是等边三角形，/ 60, 2, 2；.=/ =1/1 60 =30 ,又. / ,2 2.Z =/ =/ / =/ =/ 30,在与 中，/DBD:/PCD，BD=Ct/, ，().Nbd d二Npd c故答案为：60.17解答：解：(1).理由如下：如图， / , 梯形是等腰梯形， / 180 ,把绕点B顺时针旋转90到,则应,M ./ +/180 , 点M、C、M三点共线， /M / M/ / 1/, 2 / / M ,BM BM在和 N 中，: MBN M BN , BN BN:N () , ： N,又(2) .理由如下：如图，作/=/交于点M ,180 ,/ 360 -180 =180 ,又/ 180 ,，/ / ,CBM ABM在和中，: AB BC , C BAM应(),:,一/1/2/M / (/ ) =/ (/) =/ 1/,2BM BM. / / M ,在和 M M MBN M BN , BN BN. 里 M (),N,. M ； 点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角 互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把、通过等量转化到两 个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求