2022年高三数学12月月考试题 文（含解析）

2022年高三数学12月月考试题 文（含解析）【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、圆锥曲线、程序框图、充分、必要条件、复数等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第卷【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1已知是虚数单位，则= （ ） A B C D【知识点】复数的代数运算L4【答案】【解析】B 解析：因为，所以选B.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，熟练掌握复数的除法运算是本题解题的关键.【题文】2已知，则“”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件A2【答案】【解析】A 解析：若x+y=1，当x,y异号或有一个为0时，显然有，当x,y同号时，则x,y只能都为正数，此时1=x+y,得，所以对于满足x+y=1的任意实数x,y都有，则充分性成立，若，不妨取x=4,y=0.001,此时x+y=1不成立，所以必要性不成立，综上可知选A.【思路点拨】一般判断充分、必要条件时，可先分清命题的条件与结论，若从条件能推出结论，则充分性满足，若从结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3. 在区间上随机取一个数，则事件：“”的概率为（ ）A B C D 【知识点】几何概型K3【答案】【解析】C 解析：对于, ，由cosx0，得x,所以所求的概率为，则选C.【思路点拨】先判断出是几何概型，归纳为所求概率为长度之比，即可解答.【题文】4已知函数 ，若 是 的导函数，则函数 在原点附近的图象大致是（ ）【知识点】导数的计算，函数的图像B8 B11【答案】【解析】A 解析：因为，所以函数在R上单调递增，则选A.【思路点拨】一般判断函数的图像，可结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断.【题文】5某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为 （ ）A B C D （第5题）【知识点】三视图 椭圆的性质G2 H5【答案】【解析】D 解析：设正视图中正方形的边长为2b，由三视图可知，俯视图中的矩形一边长为2b，另一边长为圆锥底面直径，即为正视图中的对角线长，计算得，所以,则选D.【思路点拨】由三视图解答几何问题，注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系，求椭圆的离心率，抓住其定义寻求a,b,c关系即可解答.【题文】6在中，内角的对边分别为且，则 的值为（ ）A B C D 【知识点】解三角形C8【答案】【解析】A 解析：由得,又A为三角形内角，所以A=120,则，所以选A.【思路点拨】在解三角形中，若遇到边角混合条件，通常先利用正弦定理或余弦定理转化为单一的角的关系或单一的边的关系，再进行解答.【题文】7设等比数列an的前n项和为Sn，若S10:S51:2，则 ( ) A. B. C. D. 【知识点】等比数列D3【答案】【解析】B 解析：因为S10:S51:2，所以,由等比数列的性质得成等比数列，所以,得,所以,则选B.【思路点拨】在等比数列中，若遇到等距的和时，可考虑利用等比数列的性质成等比数列进行解答.【题文】8已知x，y满足则的取值范围是 ( )A B C D【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】C 解析：不等式组表示的平面区域如图,因为，而为区域内的点与点(4，2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0，点(-3,-4)与点(4，2)连线的斜率最大为，所以的取值范围为，则选C.【思路点拨】一般遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题，通常利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行解答.【题文】9已知椭圆C:，点为其长轴的6等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆C于，则直线这10条直线的斜率乘积为（ ）A B C D【知识点】椭圆的标准方程 椭圆的性质H5【答案】【解析】B 解析：由椭圆的性质可得，由椭圆的对称性可得,同理可得,则直线这10条直线的斜率乘积为,所以选B.【思路点拨】抓住椭圆上的点与长轴端点的连线的斜率为定值是本题的关键.【题文】10. 用表示非空集合中的元素个数，定义若，设，则等于（ ）A1B4 C3D2【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】B 解析：x2-ax-14=0对应的判别式=a2-4（-14）=a2+560，n（A）=2，A*B=1，n（B）=1或n（B）=3由|x2+bx+xx|=xx，解得x2+bx+1=0或x2+bx+4027=0，若集合B是单元素集合，则方程有两相等实根，无实数根，b=2或-2若集合B是三元素集合，则方程有两不相等实根，有两个相等且异于的实数根，即=b2-44027=0，且b2，解得，综上所述b=2或，设S=b|A*B=1=，n（S）=4故选B【思路点拨】根据所给的定义，判断两个集合根的个数，由方程根的个数求b值.第卷【题文】二填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）【题文】11. 已知的值为_.【知识点】指数与对数的互化 对数的运算B6 B7【答案】【解析】3 解析：由得，所以.【思路点拨】由已知条件先把x,y化成同底的对数，再利用对数的运算法则进行计算.【题文】12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为（第12题）【知识点】程序框图L1【答案】【解析】 解析：第一次执行循环体得s=1,i=2; 第二次执行循环体得s=,i=3; 第三次执行循环体得s=,i=4; 第四次执行循环体得s=,i=5; 第五次执行循环体得s=,i=6; 第六次执行循环体得s= 此时不满足判断框跳出循环，所以输出的值为.【思路点拨】一般遇到循环结构的程序框图问题，当运行次数较少时就能达到目的，可依次执行循环体，直到跳出循环，若运行次数较多时，可结合数列知识进行解答.【题文】13已知函数的最大值为1， 则【知识点】三角函数的性质C3【答案】【解析】0或 解析：因为的最大值为1，所以，解得a=0或.【思路点拨】研究三角函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答，本意注意应用asinx+bcosx的最值的结论进行作答.【题文】14过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有 条。【知识点】圆的方程H3【答案】【解析】32 解析：由题意可知过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,所以共有弦长为整数有2+2(26101)=32.【思路点拨】可先求出弦长的范围，弦与点A与圆心连线垂直时弦长最短，弦过圆心时弦长为圆的直径，此时长度最大，取得最值的两个位置只有一条，中间的整数值都有两条.15.已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，且，则的值为 【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】3 解析：，而，又，即，所以I在BAP的角平分线上，由此得I是ABP的内心，过I作IHAB于H，I为圆心，IH为半径，作PAB的内切圆，如图，分别切PA,PB于E、F，在直角三角形BIH中，所以,所以选B.【思路点拨】理解向量是与向量共线同向的单位向量即可确定I的位置，再利用向量的减法及数量积计算公式进行转化求解.【题文】三解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上）【题文】16. （本小题满分12分）组距频率0.010.0775808590950.021000.040.06服务时间/小时OO某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示（）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率【知识点】用样本估计总体 古典概型I2 K2【答案】【解析】（）6人；（） 解析：（）由题意可知，参加社区服务在时间段的学生人数为（人），参加社区服务在时间段的学生人数为（人）所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 （人）（）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件由（）可知，参加社区服务在时间段的学生有4人，记为；参加社区服务在时间段的学生有2人，记为从这6人中任意选取2人有共15种情况事件包括共7种情况所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率【思路点拨】在频率分布直方图中，注意纵坐标是频率/组距，在求概率时，一般通过列举法寻求所求事件包含的基本事件的个数.【题文】17、（本小题满分12分）已知函数。 （1）若，求函数的最大值和最小值，并写出相应的x的值； （2）设的内角的对边分别为，满足且，求的值。【知识点】三角函数性质，解三角形C3 C8【答案】【解析】（1）时函数得最小值为；（2）a=1，b=2 解析：（1），因为，所以，则当时，函数得最大值为0，当时函数得最小值为；（2）因为f（C）=sin（2C-）-1=0，则sin（2C-）=1， 0C，02C2，2C-，2C-=，C=，sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a ，由余弦定理得c2=a2+b2-ab=3 ，由解得：a=1，b=2 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先利用公式把函数化成一个角的三角函数再进行解答，在解三角形时，注意利用正弦定理和余弦定理进行边角的转化和求值.【题文】18（本题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，分别为的中点.（）求证:平面平面;（）若，求三棱锥的体积.（第18题）【知识点】平行关系 棱锥的体积G4 G7【答案】【解析】（）略；（） 解析： （）证明：因为分别为中点,所以,又因为是正方形,所以,所以平面.因为分别为中点,所以,所以平面.所以平面平面. （）.【思路点拨】证明面面平行通常利用其判定定理进行证明，求棱锥体积可结合底面积与高的关系转化为与已知条件相关的棱锥的体积进行求值.【题文】19（本题满分12分）已知数列的前项和为，且（）求； （）设，求数列的前项和【知识点】数列的通项公式，数列求和D1 D4【答案】【解析】（）；（） 解析：（）时, 所以 （） .【思路点拨】一般遇到数列求和问题，通常先求出数列的通项公式，再结合通项公式特征确定求和思路.【题文】20（本题满分13分）已知椭圆：的左焦点，离心率为。（）求椭圆的标准方程；（）设，过的直线交椭圆于两点，求的值。 【知识点】椭圆，直线与椭圆位置关系H5 H8【答案】【解析】（）；（） 解析：（）,由得,椭圆方程为（）若直线斜率不存在,则=，当直线l斜率存在时设直线,由得 所以 【思路点拨】在圆锥曲线与向量的综合应用中，出现向量关系，一般把向量关系转化为坐标关系，再通过联立方程，利用韦达定理转化为系数关系进行解答. 【题文】21. （本题满分14分）已知为正数，记为“正数的对数平均数”。求函数的单调区间；，比较的“算术平均数”，“几何平均数”和“对数平均数”的大小并证明。【知识点】导数的应用 不等式的证明方法B12 E7【答案】【解析】(1) (1,+ )；(2) a=b0时，当ab时，有. 解析：(1)由题意得 ，设，所以h(x)单调递增，则h(x)h(1)=0,所以，所以函数f(x)在所给区间上单调递增，递增区间为(1,+ )；(2) 当a=b0时，当ab时，有，证明如下：，则G(1)=0,所以，又， ，令，所以H(t) H(1)=0，所以，综上得当a=b0时，当ab时，有.【思路点拨】求函数的单调区间就是求导函数大于0及小于0的解集对应的区间，证明不等式可利用比较法，同时借助所证明的函数的单调性构建函数进行证明.