2022年高二数学上学期竞赛期中试题理

2022年高二数学上学期竞赛期中试题理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1、设集合，若，则 （ ）A B. C. D. 2、设，则“是“”的 （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C D. 4、将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）A. B. C. D. 5、设点是所在平面内一点，且，则等于（ ）A. B. C. D. 6设，若是的等比中项，则的最小值为（ ）A. 8 B. C. 4 D. 17、若，则（ ）A. B. C. 1 D. 8、下面程序执行后输出的结果是（ ）A. 4 B. C. D. 9、在棱长为的正方体中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为()A. B. C. D. 10、若偶函数在上单调递增， ，则满足（ ）A. B. C. D. 11、已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A B C. D. 12、数列满足，则数列的前60项和为（ ）A 3690 B 3660 C 1845 D 1830二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、已知是夹角为的两个单位向量，若，则的值为 。14、已知实数 满足，则的最小值为_。15、在中，内角的对边分别为，且满足，则的取值范围为_。16、已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_。三、解答题（共70分）17、（本小题12分）已知.（1）求的单调递增区间；（2）在中， ， ，若的最大值为，求的面积.18、（本小题10分）已知函数，.（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围。19、（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面，已知AE=DE=2，为线段的中点（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积20、（本小题12分）数列的前项和为，已知， ，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。21、（本小题12分）已知函数（1）判断函数的奇偶性并给出证明；（2）对于，恒成立，求实数的取值范围。22、（本小题12分）已知圆C：，一动直线过A(1，0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，直线与直线：相交于N.(1)求证：当与垂直时，必过圆心C；(2)当PQ2时，求直线的方程；(3)探索是否与直线的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由高二数学（理科）竞赛答案选择题：CDBBA、C DAAC、BD填空题：13、 14、 15、 16、17、试题解析：（1） ，当时，得的单调递增区间为， （2），由正弦定理得，的最大值为， ， 又在中，由余弦定理得: 的面积18、(1) (2)19、1）连结BD和AC交于，连结，ABCD为正方形，为中点，为中点，平面，平面ACF平面（2）四棱锥的体积20、（1） （2）21、（1）奇函数（2）22、(1)证明：l与m垂直，且km，kl3.又kAC3，所以当l与m垂直时，l的方程为y3(x1)，l必过圆心C.(2)解：当直线l与x轴垂直时，易知x1符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.因为PQ2，所以CM1，则由CM1，得k，直线l：4x3y40.从而所求的直线l的方程为x1或4x3y40.(3)解：CMMN，().当l与x轴垂直时，易得N，则.又(1，3)，5；当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，则由得N，则.5.综上，与直线l的斜率无关，且5.另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知ACm，又CMl，四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得|AM|AN|AC|AB|5.