2022年高三数学一轮总复习 专题五 导数及其应用（含解析）

2022年高三数学一轮总复习 专题五 导数及其应用（含解析）抓住5个高考重点重点 1 导数的几何意义与运算1.常见函数的导数（1）（为常数） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）2.可导函数四则运算的求导法则（1） （2） （3）（4）3.导数的几何意义4.已知切线的斜率，求切线方程高考常考角度角度1 曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是（ C ）A. B. C. D. 解析：，故切线方程为，令，则角度2在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是_解析：设则，过点作的垂线，所以，t在上单调增，在单调减，.角度3已知函数的导函数为，且满足则（ B ）A. B. C. D. 解析：由已知，令，得角度4函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为为正整数，则的值为_解析：考查函数的切线方程、数列的通项.在点处的切线方程为：当时，解得，所以.重点 2 定积分与微积分基本定理（理）1.定积分的性质（1） （2）（3）其中2.微积分基本定理：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么 高考常考角度角度1 的值为（ C ）A. B. C. D. 解析： ，故选C角度2由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ C ）A. B. 4 C. D. 6解析：由，所求面积为，故选C角度3 从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（ B ）A. B. C. D. 解析：，故点取自阴影部分的概率为重点 3 利用导数研究函数的单调性高考常考角度角度1 函数的单调递增区间是（ D ）A. B. C. D. 解析：由由，故选D角度2设函数（）求的单调区间；（）求所有实数，使对恒成立.注：为自然对数的底数.解析：本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理能力.（）解：因为，其中， 所以 由又 由所以的增区间为，减区间为（）证明：由题意得， ，即 由（）知在内单调递增 要使对恒成立， 只要 即 角度3（xx全国新课程）已知函数.（）设是的极值点，求,并讨论的单调性；解析：（）由得，由于，所以令，所以在为增函数，且(所以必须分类为和讨论)当时，当时，,所以在上单调递减，在单调递增.重点 4 利用导数研究函数的极值与最值 高考常考角度角度1设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是（ D ） A. B. C. D. 解析：设，又为的一个极值点，即， 对于选项A、B，函数为故为函数的一个极值点，满足条件； 对于选项C，对称轴且开口向下，也满足条件；对于选项D，对称轴且开口向上，与图矛盾，故选D角度2设直线与函数的图象分别交于点，则当达到最小时的值为（ D ）A1 B C D解析：由题，不妨令，则，令解得，因时，当时，所以当时，达到最小.即.故选择D角度3设（1） 若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2） 当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值. 解：（1）已知，当时，的最大值为，令因此时，函数在上存在单调递增区间，（2）令所以在和上单调递减，在上单调递增 当时，有，所以在区间上的最大值为 又 所以在上的最小值为 从而在区间上的最大值为角度4设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围.点评：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对求导得 （）当，若则解得、随的变化如下图+00+极大值极小值所以，是极小值点，是极大值点.（）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件，知在R上恒成立，因此由此并结合，知 故的取值范围为重点 5 导数在研究不等式中的应用高考常考角度角度1已知函数 （）讨论的单调性； （）设，证明：当时，；解：（）的定义域为 （i）若则在单调递增 （ii）若则由得且当时，当时，所以单调递增，在单调递减 （）设函数则当时，而故当时， 角度2设（为常数），曲线与直线在相切.（1）求的值； （2）证明：当时，点评：本题主要考查函数的切线及恒成立问题，考查运算求解能力，是难题.解析：（1）由的图象过点，代入得 由在处的切线斜率为，得由在处的切线斜率为，有，得 （2）（证法一）由均值不等式，当时，故 记则，令，则当时，因此在内是减函数，又由，得，所以因此在内是减函数，又由，得，于是当时， 突破3个高考难点难点1 利用导数研究多元不等式问题典例 已知函数.（1）若函数在上为单调递增函数，求的取值范围；（2）设且，求证：解析：（1）由已知 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立 当时，由得 设，则，当且仅当时，即时取等号 （2）由于交换不影响不等式结构，故可设，原不等式等价于，即， 即设，由（1）可知函数在上单调递增，又， 成立， 即难点2 利用导数研究数列问题典例 已知各项均为正数的数列满足，且其中. （1）求数列的通项公式； （2）令记数列的前项积为其中，试比较与的大小，并加以证明.解析：（1）由得 所以数列是以为公比的等比数列 由，故数列的通项公式为（2），证明如下：构造函数,则，故在上递减所以，故，所以设则，相减得故 难点3 利用导数研究方程根的问题典例 已知函数（）求函数的单调区间； （）若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围.解析：() 由或，由 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为() 由()可知，函数在内单调递增，在内单调递减 若函数在区间内恰有两个零点，则有，故的取值范围为点评：利用导数解决方程根的问题，会涉及到三个根、两个根、一个根的情况，具体的等价关系需要通过数形结合进行有效分析，找出合适的控制条件.规避5个易失分点易失分点1 导数的几何意义不明典例 已知函数和点，过点作曲线的两条切线，切点分别为（1）求证：为关于的方程的两根（2）设求的表达式.解析：（1）由已知，切线方程为，又切线过点， 同理，切线也过点，可得 由可得为关于的方程 （*） 的两根（2）由（*）式知 易失分点2 导数符号与函数的单调性关系理解不透彻典例 已知函数（1）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（2）若是的极值点，求在的最小值和最大值.解析：（1）由已知，令记，当时，是增函数，故实数的取值范围是（2）由题意，由或；由又，故在上递增，在上递减， 时，有极小值于是 时，,而易失分点3 导数符号与极值关系理解不透彻典例 已知函数在处有极值，求的值.解析：由已知，由题意得且，即且，解之得或（点评：有些人以为到此就已经解决问题了，其实不然，还需要作出判断予以确认.） 当时，在附近两侧的符号相反 所以满足题意 当时，在附近两侧的符号相同 所以不满足题意，舍去. 综上，易失分点4 导数符号与极值关系理解不透彻典例 已知函数 在上为单调函数，求的取值范围解析：由已知， 若在上单调递增，则在上恒成立，即恒成立令，可得，故若在上单调递减，则在上恒成立，即恒成立令，可得，故综上可知，的取值范围是易失分点5 定积分与平面图形面积关系理解不透彻（理）典例 如图，直线分抛物线与轴所围图形为面积相等的两部分，则_解析：由已知，抛物线与轴的两个交点的横坐标为， 所以抛物线与轴围成的面积为设抛物线与直线交点的横坐标分别为，则，所以 ，又，