2022年高三上学期期中考试数学（理）试题 含答案(III)

2022年高三上学期期中考试数学（理）试题 含答案(III)座位号（考试时间：120分钟 满分：150分 ）班级 姓名 班级学号 考试学号 题号填空题113选择题1418解 答 题总分19题20题21题22题23题应得分39分15分6分8分106分16分100分实得分一、填空题（56分）1. 若全集，集合，则 .答: 2方程 的解是 3函数的最小正周期 .4. 满足的锐角的集合为 .5. 函数的反函数是 .6. 满足不等式的实数的集合为 .7在的二项展开式中，常数项等于 .8. 函数的单调递增区间为 .9设等比数列的公比,且则 . 210. 若的函数值总为正实数，则实数的取值范围为 .11.函数的值域为 . 12.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）. 答: 13.函数的最小值为 .14 设若时均有，则_二、选择题（20分）15. 要得到函数的图像，须把的图像（ ）向左平移个单位 向右平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位16. 若函数为上的奇函数，且当时，则当时，有（ ） 17. 对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不小于次，又不多于次，则可以取（ B ）A. B. C. D. 18对任意两个非零的平面向量，定义,且和都在集合中.若平面向量满足，与的夹角，则（ ）A B C D三、解答题19（满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，ABCDPE是的中点，已知，求：（1）三角形的面积；（6分）（2）异面直线与所成的角的大小.（6分） 解（1）因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD， 从而CDPD. 3分 因为PD=，CD=2，ABCDPExyz 所以三角形PCD的面积为. 6分 （2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，. 8分 设与的夹角为q，则 ，q=. 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分ABCDPEF 解法二取PB中点F，连接EF、AF，则 EFBC，从而AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分北乙甲20. (满分14分)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解法一：如图，连结，2分由已知，4分，又，北甲乙是等边三角形，6分，由已知，8分在中，由余弦定理，12分因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里 14分解法二：如图，连结，2分由已知，4分，北乙甲，6分在中，由余弦定理： 8分由正弦定理：，即， 10分 在中，由已知，由余弦定理，12分乙船的速度的大小为海里/小时14分答：乙船每小时航行海里21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3, 此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,). =3； 2分 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 6分又 ， ，8分 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0). 10分 该命题是假命题. 12分 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上； 14分说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).22. （本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分12分设函数为实数).(1)若为偶函数，求实数的值； (2)设，求函数的最小值.解：(1)由已知 2分. 4分 (2)， 6分 当时， 由得，从而， 故在时单调递增，的最小值为；10分 当时， 故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为；14分 由，知的最小值为. 16分23. (本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分)已知函数的定义域是且,当时,.(1)求证:是奇函数;(2)求在区间)上的解析式;(3)是否存在正整数，使得当x时,不等式有解?证明你的结论.23. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）(1) 由得, -3分由得, -4分故是奇函数. -5分(2)当x时,，. -7分而，. -9分当xZ)时,， -11分（3）因此. 不等式即为，即. -13分令，对称轴为，因此函数在上单调递增. -15分因为，又为正整数，所以，因此在上恒成立，-17分因此不存在正整数使不等式有解. -18分