2022年高一下学期期末考试数学试题 含解析(I)

2022年高一下学期期末考试数学试题 含解析(I)【试卷综评】本次试卷（1）注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的意图和宗旨。让不同的考生掌握不同层次的数学，让几乎所有的考生都能感受到成功的喜悦。注重基础知识的考查，这样让所有同学对数学学习有了更强的信心。（2）注重能力考查初等数学的基础知识是学生进入高等学校继续学习的基础，也是参加社会实践的必备知识考查学生基础知识的掌握程度，是高考的重要目标之一要善于知识之间的联系，善于综合应用，支离破碎的知识是不能形成能力的考查时，既要注重综合性，又兼顾到全面，更注意突出重点一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1. 已知等差数列中， ，则其公差是（ ） A 6 B 3 C 2 D 1【知识点】等差数列的性质;等差数列的通项公式【答案解析】D解析 ：解：等差数列an中，即,故选：D.【思路点拨】将两式，作差，根据等差数列的性质建立公差的等式，解之即可2. 已知直线，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【知识点】两直线垂直的充要条件.【答案解析】A解析 ：解：因为，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【思路点拨】利用两直线垂直的充要条件解方程可得或，然后判断即可.3.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在10,50)（单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，则的值为（ ）A100 B120 C130 D390【知识点】频率分布直方图【答案解析】A解析 ：解：位于1020、2030的小矩形的面积分别为S1=0.0110=0.1，S2=0.02310=0.23，位于1020、2030的据的频率分别为0.1、0.23可得位于1030的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33由此可得位于3050数据的频率之和为1-0.33=0.67支出在30，50）的同学有67人，即位于3050的频数为67，根据频率计算公式，可得=0.67，解之得n=100故选：A【思路点拨】根据小矩形的面积之和，算出位于1030的2组数的频率之和为0.33，从而得到位于3050的数据的频率之和为1-0.33=0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量n的值4.(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（ ） A B. C. D. 【知识点】古典概型及其概率计算公式【答案解析】C解析 ：解：从5个球中随机抽取两个球，共有6种抽法满足两球编号之和大于5的情况有（2，4），（3，4）共2种取法所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为【思路点拨】由组合知识求出从4个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解【典型总结】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式5.如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填（ ） A. i10 B. i11 C. i11 D. i12【知识点】程序框图【答案解析】B解析 ：解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于1211=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10,由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选B【思路点拨】由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i-2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案6.圆与直线相切于第三象限，则的值是（ ）A B C D【知识点】圆的标准方程；点到直线的距离公式.【答案解析】C解析 ：解：由圆，得到圆心（a，0），半径r=1，根据题意得：圆心到直线的距离d=r，即解得：，圆与直线相切于第三象限，a0即.故选C【思路点拨】由圆方程找出圆心坐标与半径，根据题意得到圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值7.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【知识点】简单的线性规划.【答案解析】B解析 ：解：画可行域如图，画直线，平移直线过点A（0，1）时z有最大值1；平移直线过点B（2，0）时z有最小值-2；则的取值范围是-2，1故选B.【思路点拨】根据步骤：画可行域z为目标函数纵截距画直线0=y-x，平移可得直线过A或B时z有最值即可解决【典型总结】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值8.设是公比为的等比数列，令，若数列的连续四项在集合中，则等于( )ABC或D或【知识点】递推公式的应用；等比数列的性质【答案解析】C解析 ：解：bn有连续四项在-53，-23，19，37，82中且bn=an+1 an=bn-1则an有连续四项在-54，-24，18，36，81中an是等比数列，等比数列中有负数项则q0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，-24，36，-54，81相邻两项相除则可得，-24，36，-54，81是an中连续的四项，此时q= ,同理可求q= q=或 q= .故选B【思路点拨】根据bn=an+1可知 an=bn-1，依据bn有连续四项在-53，-23，19，37，82中，则可推知则an有连续四项在-54，-24，18，36，81中，按绝对值的顺序排列上述数值，可求an中连续的四项，求得q.9.已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为（ ）A1 B C2 D 【知识点】点到直线的距离公式;直线的方程;圆的方程;直线与圆的位置关系.【答案解析】A解析 ：解：圆C的方程为x2+y2=-2y+3，化成标准方程，可得x2+（y+1）2=4， 由此可得圆的圆心为C（0，-1）、半径为2直线x-y+1=0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），直线l的斜率为k=-1，可得直线l的方程为y=-（x-1），即x+y-1=0因此，圆心C到直线l的距离直线l被圆C截得的弦长，又坐标原点O到AB的距离为OAB的面积为故选：A【思路点拨】将圆C化成标准方程，得到圆心为C（0，-1）、半径为2由垂直的两直线斜率的关系算出直线l的斜率为1，可得l的方程为x+y-1=0，进而算出圆心C到l的距离，再根据垂径定理算出l被圆C截得的弦长|AB|= 最后由点到直线的距离公式算出原点O到AB的距离，根据三角形的面积公式即可算出OAB的面积10. (原创) 设集合, , 若，则实数m的取值范围是（ ）A B. C. D. 【知识点】直线与圆的位置关系.【答案解析】D解析 ：解：因为，则或，（1）当时，必有，解得，满足题意.（2）当必有m2，解可得，此时集合A表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B表示与x+y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合为空集，圆环与直线系无交点.此时，满足题意；当时，有则有又由，则，可得，满足题意；当时，有解可得：又由，则m的范围是：综合可得m的范围是故答案为【思路点拨】根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围第卷(非选择题，共100分)11. 在中，角所对的边分别为，已知，则= .【知识点】余弦定理;特殊角的三角函数值.【答案解析】解析 ：解：，由余弦定理得：，则b=故答案为：【思路点拨】利用余弦定理列出关系式，将a，c及cosB代入计算即可求出b的值12.在区间内随机地取出一个数，使得的概率为 【知识点】几何概型【答案解析】0.3解析 ：解：由题意，故有，解得,由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为10，随机地取出一个数a，使得这个事件的测度为3故区间内随机地取出一个数a，使得的概率为0.3故答案为0.3【思路点拨】由代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率【典型总结】本题考查几何概率模型，求解本题的关键是正确理解的意义，即得到参数a所满足的不等式，从中解出事件所对应的概率.13.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 【知识点】直线和圆的方程的应用;圆的对称性;利用基本不等式求最值.【答案解析】解析 ：解：可化为：圆的圆心是（2，1）,直线平分圆的周长，所以直线恒过圆心（2，1）,把（2，1）代入直线，得a0，b0，故答案为：.【思路点拨】先求出圆的圆心坐标，由于直线平分圆的周长，所以直线恒过圆心，从而有，再将表示为，利用基本不等式可求14. (原创)给出下列四个命题：某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；一组有六个数的数据是1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，则；其中正确的命题有 （请填上所有正确命题的序号） 【知识点】命题的真假判断与应用；众数、中位数、平均数；线性回归方程【答案解析】解析 ：解：对于，由系统抽样的原理知抽样的间隔为524=13，故抽取的样本的编号分别为7，7+13，7+132，7+133，即7号、20号、33号、46号，是假命题；对于，数据1，2，3，3，4，5的平均数为（1+2+3+3+4+5）=3，中位数为3，众数为3，都相同，是真命题；对于，回归直线方程为y=ax+2的直线过点，把（1，3）代入回归直线方程y=ax+2得a=1是真命题；故答案为：，【思路点拨】利用系统抽样的特点可求得该次系统抽样的编号，从而可判断其正误；利用平均数、众数、中位数的概念，可求得数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数，从而可知其正误；利用回归直线过点，即可求得a的值，从而可知其正误.15. (原创) 数列满足,则的最小值是 【知识点】构造新数列；等差数列的性质.【答案解析】解析 ：解：因为，整理得：，两边同时除以可得：，则数列是公差为1的等差数列，所以，即，当时，当时，故的最小值是.故答案为：.【思路点拨】先把原式变形构造新数列进而判断即可.三、解答题 ：(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).16.（本小题满分13分）在等比数列中，且，成等差数列.（1）求； （2）令，求数列的前项和.【知识点】等差、等比数列的通项与性质；等差数列的前n项和公式；对数的运算法则.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）设的公比为，由，成等差数列，得.又，则，解得. （ ）. （2），是首项为0，公差为1的等差数列，它的前项和. 【思路点拨】（1）设an的公比为q，根据等比数列的通项公式与等差中项的定义，建立关于q的等式解出q=2，即可求出an的通项公式（2）根据（I）中求出的an的通项公式，利用对数的运算法则算出bn=n-1，从而证出bn是首项为0、公差为1的等差数列，再利用等差数列的前n项和公式加以计算，可得数列bn的前n项和Sn的表达式17. （本小题满分13分）在中，角对的边分别为，且(1)求的值；(2)若，求的面积【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式；同角三角函数基本关系.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）,由正弦定理及合比定理可得：（2）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，又a+b=ab，所以（ab）2-3ab-4=0，解得ab=4或ab=-1（舍去）所以【思路点拨】（1）根据正弦定理以及合比定理即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案18. （本小题满分13分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示已知甲、乙两组数据的平均数都为10.（1）求m，n的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率（注：方差，为数据x1，x2，xn的平均数）【知识点】古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差【答案解析】（1）m=3,n=8 (2) 乙组更稳定些（3）解析 ：解：（1）m=3,n=8 (2), ,所以两组技工水平基本相当，乙组更稳定些。（3）基本事件总数有25个，事件A的对立事件含5个基本事件，故P（A）【思路点拨】（1）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值(2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些（3）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率19. （本小题满分12分） (原创)已知函数f (x) =（a、b为常数）.（1）若，解不等式；（2）若,当x，2时， 恒成立，求b的取值范围.【知识点】分类讨论的思想方法；分式不等式的解法；不等式恒成立的问题.【答案解析】（1）当，即时，不等式的解集为： 当，即时，不等式的解集为： 当，即时，不等式的解集为： （2）b1解析 ：解：（1）当，即时，不等式的解集为： 当，即时，不等式的解集为： 当，即时，不等式的解集为： （2） （）且，不等式恒成立，则；又当x=1时，不等式（）显然成立；当时，故b1.综上所述，b1【思路点拨】（1）转化为分式不等式后再利用分类讨论的思想求出解集；（2）转化为关于x，b的不等式后，再利用基本不等式即可.20. （本小题满分12分）(原创)已知圆M： ，直线：xy11, 上一点A的横坐标为a , 过点A作圆M的两条切线 , , 切点分别为B ,C. （1）当a0时，求直线 , 的方程； （2）当直线 , 互相垂直时，求a 的值；（3）是否存在点A，使得？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由.【知识点】直线方程的求法；点到直线的距离公式；向量的数量积公式.【答案解析】（1）（2）a5（3）点A不存在.解析 ：解：（1）圆M： ,圆心M(0 , 1) , 半径r=5,A(0, 11) , 设切线的方程为yk x11, 圆心距, ,所求直线l1 , l2的方程为 （2）当l1 l2时，四边形MCAB为正方形， 设A(a , 11a), M(0 , 1) 则， a5（3）设，则，又，故，又圆心M到直线的距离是 ，故点A不存在【思路点拨】（1）设出直线方程的斜截式，利用点到直线的距离公式可求斜率，进而求出直线方程（2）l1 l2时，四边形MCAB为正方形，解方程即可；（3）计算与已知矛盾，故不存在.21. （本小题满分12分）已知数列满足：（1）若数列是以常数为首项，公差也为的等差数列，求的值；（2）若，求证：对任意都成立；（3）若，求证：对任意都成立；【知识点】数列递推式;数列与不等式的结合;放缩法.【答案解析】（1）（2）见解析（3）见解析解析：解：（1）由题意，又由得，即对一切成立，所以 （2）由得，两边同除以得（3），将代入，得 由得，所以，所以从而又由得所以，从而，综上，【思路点拨】（1）由得：，从而可求的求得a1=0；（2）由得，两边同除以可得结论（3）由（2）可知，再进行放缩,可证得结论