第一章数学美学

数学文化教案第一章 数学美学 第一章 数学美学第一章概述：许多人的许多行为是出于审美动机。这里说了两个“许多”，准确地说，所有正常的人都有审美活动。越广泛的审美活动，使人越热爱生活；越深入的审美活动，使人有越强烈的追求和理想，越充满生命活力。人们在与数学接触的过程中，也有审美活动吗?当然，我们盼望有。因为，如果在这一过程中有广泛的审美活动，那就会使我们更加热爱数学；如果这种活动不断深入，甚至会使我们产生充满活力的数学理想，进而有所成就。没有可能让所有的人成为数学家，现实生活中也不可能有很多的数学家。但是，应该而且可能盼望几乎所有的人愿意跟数学打交道，盼望有更多的人从数学那里获益，也盼望中国有更多一些数学家。中国古代曾是个数学水平很高的国家，历史证明，中国人是擅长数学的。新的世纪里，曾有人预言中国将成为数学大国。“一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量”(AN拉奥(Rao)语)，繁荣昌盛的中国需要数学。利益的考虑是一个方面，然而仅仅只有利益的考虑，又不可能有大批杰出的数学家出现。如果你感到它是过于严肃的，甚至感到它是单调的、冷酷的、无情的，你会深入地接近它吗?亲切、激情在美感消失的时候都会消失，因而，创造性的数学活动也难以出现。自觉的审美需要是一种较高级的心理活动，数学活动中产生这种心理需要也要有一个过程。我们能否考虑这样两个目标呢?一是使中学高年级学生以及必须继续学习数学的大学生们都多少能从审美的角度看待数学；二是数学教师们，无论是哪一类学校的数学教师们，都具有一定的数学美学修养。没有第二个目标就不可能有第一个目标的实现。更基本的问题是，数学真的是值得人们去欣赏的吗?数学有美可言吗?如果对这个问题不做回答，前面的问题都没有意义了。进一步的问题，如“数学审美对人的一般审美能力的提高甚至对人的一般发展也有作用吗”这一类问题也以这个更基本的问题为基础。因此有必要先讨论这个更基本的问题。第一节 对正整数的美学审视一、教学目标：1、了解完美数、默森数、回文素数、孪生素数的奇异与美妙；2、由素数的分布的若干特点体会人类对审美的追求；3、感受正整数中的美学价值。二、教学重点、难点： 对正整数的美学感受。三、教学过程： 每个人最初接触的都是正整数。那么，我们每个人就可以首先问自己：对正整数的感觉如何？很多的人可能说“没有什么感觉”。然而，正整数曾引起过无数人的兴趣和喜好，而且是一个长盛不衰的论题。1、完美数很早很早，人们就思索正整数的分解，看一个正整数是几个正整数的乘积，也就是一个正整数能被哪些正整数整除的问题。除了1和它自己而外的任何正整数都不能整除它时，称它为素数或质数。例如，2是最小的素数，也是惟一的偶素数，在奇数当中，最小的素数是3，此外，5，7，U，13等都是素数，但整数中很多不是素数。若m整除n，称m为n的一个因数，1和n是两个很特殊的因数。现在考虑n的一切因数之和，假若n是一个素数，那么n的因数之和是n +1，反过来也对，若n的因数之和是n +1；则n是素数。有人问：你喜欢哪个数，许多人未曾思索过，一时答不上。稍加思考，也觉得1，2，3，4，好像没有什么差别。当然，根据我们汉语的发音，有人喜欢8，因为那似乎意味着“发”；也有人喜欢6，因为那意味着顺利。但这并不是出自对数本身性质的原因而产生的喜好。数有许多不同的性质，人们可能不会因其有某种性质而一定喜欢它，但是一些奇妙的性质则很可能引起人们的兴趣。奇妙的性质也不少，人们对数的兴趣也可能各不相同，也可能有多方面的兴趣。6这个数的因数有1，2，3，6(暂约定1和6自身亦算其因数)，其和恰为12，6的两倍；如果不计6自身，则其因数之和恰是它自己。28也具有这样的性质，其因数1，2，4，7，14之和恰等于28。这是第二个具有这种性质的正整数。496，仔细看看，1，2，4，8，16，31，62，124，248是它的因数，它们的和也正等于496。第四个具有这种性质的数稍难找一些，它是8 128。可是，一千八百多年之前就知道8 128具有其各因数之和恰为它自己(不计它自己)的性质。人们把这种数称之为完美数，即各因数之和为它的两倍或不计它自己时恰等于它的那种数叫完美数。6，28，496，8128便是很久以前知道的4个最小的完美数。看来，完美数不多，已可初步看到，前八千多个正整数中才4个！物以稀为贵，完美数希罕。完美数，人们用美来形容数。顺便看一下汉语里以“美”字组词的情况。美好，把美与善联系在一起；美妙，把美与奇异联系在一起；美满，把美与情感联系在一起；美言、美谈、美味、用美来形容一些行为和感觉。又有壮美、俊美、秀美、完美、对不同性质的美的区分。汉语有关美的丰富词汇本身反映了在我们文化中对美的多方面的准确理解。用完美来形容6、28、496、这一类数也很恰当。这种数的完美，一方面表现在它稀罕、奇妙，一方面表现在它的完满，各因数和不多不少等于它自己。第五个完美数在哪里?很不容易寻找。在距离发现第四个完美数之后一千多年，于公元1538，年才发现第五个完美数33 550 336。又过了50年，才发现第六个是： 8 589 869 056寻找这种数那么难，却还是有人去寻找，到现在为止也还只发现二十多个。为什么去寻找呢?是因为这种数在现实生活中有什么特别的用途吗?目前确实还没有发现，是它的奇异和美丽吸引了许多的人。2、默森数在探寻完美数时，欧几里得就已发现它可能是形如的数。容易验证，当n =2时，正是；当n =3时，即有还可看到； 正好，、是最小的4个完美数。也难怪第五、第六个完美数的发现要困难一些，、都不是完美数，而33 550 336= 8 589 869 056，才是第六个完美数。对这6个完美数的观察可以发现，n = 2，3，5，7，13，17都是素数，此外，还可发现都是素数。欧几里得当时就想到过，如果n和同时是素数的时候是完美数。后来，在18世纪有一位数学家证明了偶完美数确实是形如的数，其中n与为素数。这样，形如的素数就与完美数有十分密切的关系了。只要确定了是素数，就很容易确定相应的完美数了。形如的素数被称为默森素数，并记为。默森本人只确证了当n =2，3，5，7，13，17，19，31时是素数，也就是说他本人只发现了8个默森素数，事实上，这8个之中的前6个是前人发现的。这都是距今350多年前的事了，然而默森素数一直被人研究着。除了已提到的8个外，另外还有20个形如的默森数，其中n = 61，89，107，127，521，607，1 279，2 203，2281，3 217，4 253， 4423，9 689，9941，11 213，19937，21 701，23 209，44497，86243第28个默森素数2 86 243 1已是一个非常大的数，这个数写出来共有两万五千多位。仅写下这个数就要花几个小时，用二三十页纸，至于要判断它是否素数，那就难上加难了。你只要试试判断641，811，977这样的3位数是否素数，就能体会到有一定的难度，更不要说对十位数、百位数是否素数判断时的难度，对于像2 86 243 1这样大的数，如果没有计算机帮忙来判断是难以想象的。默森数的研究在代数编码等应用学科中能派上用场。但是，长久以来，对这种素数的研究并非由应用而推动的。应用中也有美，应用美。然而，关于整数的许多奇特性质的研究常常出自人们对自然美的欣赏与追求，人类的智慧光芒也在其中闪烁，人也在这种追求中显示自己的价值。3、回文素数古人诗作中有一种“回文诗”，这种诗完全反过来念也成一首诗，如晚秋即景：烟霞映水碧迢迢，暮色秋色一雁遥。前岭落晖残照晚，边城古树冷萧萧。把这首诗从最后一个字“萧”起倒过来念，即成了萧萧冷树古城边，晚照残晖落岭前。遥雁一色秋色暮，迢迢碧水映霞烟。数学中也有“回文质数”(参见吴振奎等著数学中的美)。回文质数是指那样的素数，将它的各位数码完全倒过来写，却仍是素数。例如，19是素数，若倒过写便是91，它不是素数(91=713)，所以19虽是素数，但不是回文素数。不是回文素数的素数很多。但是，如13这样的素数，倒过来写是31，31则是素数，所以13是回文素数(13与3l互为素数)。此外，17与71、113与311、347与743、769与967等都是回文素数。人们以像作诗的那样的兴趣去计算和研究回文素数。回文素数是一对对的，2位数回文素数有4对；3位数的回文素数共13对；4位数的有102对；5位数的有684对；究竟有多少对回文素数，至今还不清楚。314 159是一个素数，951 413也是个素数。人们浮想联翩，竟发现，的前六位数字是一个回文素数。更容易看到，的前两位数字31也是一个回文素数。是一个无限不循环小数，其各位数字似乎是毫无规律的，可是人们也发现了它许多奇妙而有趣的性质。这仅是一例。19世纪下半叶，不仅证明了是无理数，而且还证明了它不是代数无理数，即证明了它是超越数。我们对此稍加解释。是一个无理数，但它是代数方程的根；也是一个无理数，但它是方程的根。，等一类无理数称为代数无理数。虽是无理数，但它不是任何有理系数多项式的零点或相应方程的根。因此，是超越无理数。证明为一超越数是一项很艰难的工作，完成这一证明也是对的认识的一个飞跃。几千年前，人们就在思考圆周长与其直径之比，称为圆周率，两百多年前才用这样一个希腊字母表示它，一百多年前才证明它不仅是无理数，还是一个超越数。对的这种深入认识，主要体现了人类探索真理的一种精神。现实生活里，10个人中知道是无理数的可能有9人，而不知道它是超越数的，10个人之中也可能有9个；记得的前4位小数的，10人之中至少有9位，记得的前7位小数的，10人之中至多有9位，记得的前10位小数的，10人之中未必有一位。事实上，般人记得前4位就够了；即使是土木工程师，记得7位也够用了；如果要计算地球周界并要求精确到一英寸之内，也只需要用到的10位小数。如果讲实用，人们用不着计算冗的更多位小数了，可是，我国南北朝时期的祖冲之就已算到了的7位小数；16世纪时欧洲人算到35位。近代有了计算机之后，能够算到更多位了，1958年已算到了的一万位小数；1987年则算到了一亿位以上；1995年算到了40多亿位。没有计算机，这一结果是难以想象的，如果将这40多亿位数字打印出来，需用厚厚的一万本书！ 关于，还可注意到这样一个有趣的事实：它的小数点后的前三位数字141的和1+4+1=6是第一个完美数；前七位数字1 415 926之和 1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28恰是第二个完美数28真是不可思议。4、孪生素数大于2的素数必然是奇数，连续的两个奇数都是素数的情形引起人们很大的兴趣。例如，3与5这样两个连着的奇数同是素数；5与7，11与13也是连着的成对出现的素数。称这种相连出现的一对素数为孪生素数，它们像“孪生兄弟”一样。用比较数学化的说法便是：当与+2同为素数时，称与+2为一对孪生素数。孪生素数在数的群体之中，就像“孪生兄弟”在人的群体中特别被人关注一样。接下去，我们还容易立即看到几对孪生素数：17，19；29，31；41，43；59，61；71，73；101，103；107，109；137，139； 更大的，4位数的孪生素数，如 3 389，3 391；4967，4969；找出10位数以上的孪生素数就十分不容易了，如99 999 999 959，99 999 999 961；1 000 000 009 649，1 000 000 009 651；70年代末发现了更大的孪生素数：2972546 l，2972546 + 1随之又发现1 159 142 98522 304 1， 1 159 142 98522 304 +1已经知道，十万以内的孪生素数有一千多对，一亿以内的孪生素数有十万对以上。究竟有多少对孪生素数呢?德国数学家兰道猜想有无穷多对！顺便指出，德国、英国、法国、美国等都是在关于数的理论研究方面水平较高的国家。美国被认为是十分讲究实用的国家，可是，诸如数的理论这样一些并不以应用为主要目的的研究的水平却极高。应当怎样解释这种现象呢?美学能解释吗?是数学美学的吸引力吗?人们还发现所谓四生素数并研究它，这4个素数的尾数为1、3、7、9，且它们在n10与(n +1)10之间，下面是几组四生素数的例子：11， 13， 17， 19；101， 103， 107， 109；191， 193， 197， 199；821， 823， 827， 829；1 481，1 483，1 487，1 489；人们又进一步研究了由素数组成的等差数列(又称算术数列，等比数列则称几何数列)。例如，3，5，7就形成了一个公差为2的等差素数列。47，53，59则构成了一个公差等于6的算术素数数列。后来人们找到了达10项之多的算术素数列，其首项是199，公差是210：199， 409， 619， 829，1 039，1 249， 1 459， 1 669， 1 879， 2 0891977年发现了有17项的算术素数列。1978年发现了有18项的算术素数列。1984年，康奈尔大学教授Pritchard发现了有19项的算术素数列，其首项与公差分别是：8 297 644 387，4 180 566 3905、素数的分布的若干特点素数的分布状况是人们研究的重要问题之一。孪生素数、四生素数、算术素数列的状况在一定程度上也反映了素数分布的某种特点。它的分布看似没有规律，可是人们总是力图从“万里晴空”中看出点什么来。(1) 素数怎样分布?在1至100之间有25个素数，在100至200之间有21个素数，在200至300之间有16个，在300至400之间也是16个，在400至500之间有17个，在500至600之间则只有14个素数了，600至700之间又有16个，700至800之间是14个，800至900之间是15个，900至1 000之间是14个。这样看来，在每100个连续的整数中，素数的个数似乎在逐渐减少，但有起伏，看不出什么规律。细心观察(也可以说细心欣赏)的人们不会就此罢休，还会继续观察下去的。再看看，在1至100之间的100个整数中，有25个素数，素数占14；在1至1 000之间的1 000个整数中，有168个素数，大约只占16了；在1至10000之间的10000个整数之中，有1 229个素数，素数不到18了；在1至100 000的十万个整数之中，有素数9 592个，不到110了。这种观察，似乎可明显地看到，素数渐渐地比较稀疏了。可是，这并不算看出了很明确的变化规律。还有一种不同角度的观察。在2与4之间有素数3，在3与6之间有素数5，在4与8之间有素数7，在5与10之间有素数7，在6与12之间有素数7、11，在7与14之间有素数11、13，在8与16之间有素数11、13，。有一位先生一直观察到600 000，发现在一个正整数n和它的两倍2 n之间至少有一个素数，于是他猜想，虽然，素数是越来越分布得稀疏了，但在任何n与2 n之间至少有一个素数，亦即，即令稀疏，也不至于在一个整数横跨到这一整数两倍的区段内没有一个素数。如果这个猜想成立，那也表明，分布越来越稀疏的素数，其分布还是有一定规律的。在那位先生提出这个猜想之后9年，一位俄国数学家证明了他的猜想是对的，即当n 2时，对一切n，在，n与2 n之间必有一素数。其实，当n 4时，对一切n ，在n与2 n，之间就必定至少有一素数。 (2) 素数有多少个?由上面发现的规律，立即可知素数有无穷多个。因为，2与22=2 2之间有一个素数； 2 2与22 2 =2 3之间也有一个素数，这两个素数肯定不相同；尔后，我们又知道，2 3与24 之间至少有一素数；一般来说，对任何，n，2 n与2 n1之间至少有一素数，这就表明素数有无穷多个(证明这一点已有多种办法)。证明对任何n在n与2 n之间至少有一素数，这是19世纪的事。然而，在公元前，就用反证法证明了素数有无穷多个。假定素数只有有限个，记为S个，所有的S个素数记为P1，P2，Ps。我们马上可以考察下面这样一个数： P = P1 + P2 + + Ps + 1，P显然是比P1，P2，Ps都大的一个正整数，看看它是素数还是合数(非素数)? 欲对此作出判断，须了解这样一个很容易理解的命题：任何合数至少能被一素数整除。现在又容易看出，P不能被P1，P2，Ps整除。按假设，即P不能被任何素数整除，所以P不是合数，而是素数。此外，也显然可知P Pi，(i =1，2，S)。这样，我们就在所有素数P1，P2，Ps之外又找出一个素数P来了。这证明，素数不可能是有限个。素数分布比较稀疏，却有无限个。人们对此结论显然还很不满意，仅只知道有无限多个还不够。我们已经知道，当n = 10时，不超过10的素数是4个。我们把不超过的素数个数记为，那么，而且，马上可写出：,于是，人们开始注意比值，这个比值既从一个重要的侧面反映了素数分布，又将进一步回答“素数有多少个”的问题。这是通过素数个数与相应的整数个数的比较来探讨这个问题，在比较中看素数的多少。虽然，我们已知整数有无穷多个，素数也有无穷多个，看来，这两个无穷多是有所不同的。对比值的考察与对比值的考察，本质上没有什么差别。看看下面的一个表：10 100 1 000 10 000 100 000 500 0002.5 4 5.95 8.14 10.42 12.052.3 4.6 6.9 9.2 11.5 13.1与这两个数似乎是越来越靠近了。人们又在猜测这两个数的关系。会不会当越来越大的时候与几乎一样呢？用极限的表达方式，那就是以下等式或（当）是否成立？1800年，一位德国数学家和一位法国数学家猜测这一等式是成立的。经过了96年之后，两位法国数学家同时独立地证明了这一猜想成立。顺便指出，数学在法国具有崇高的地位，而法国在数学世界也具有崇高地位。法国视数学为“国学”，就像某个国家把某种花视为“国花”一样。用比较普通的语言说，素数究竟有多少呢?我们曾知道，在前10个正整数中，素数是整数的或；在前100个正整数中，素数占；在前1000个中素数约占；在前10000个正整数中，素数约占；现在，我们可以很准确地说，当充分大时，前个正整数中的素数约有个，或约占。奇怪的是，人们怎么把素数的个数问题与一个对数值联系起来了的？是猎奇吗？是审美追求吗？事实上，猎奇与审美有相通之处。在似乎是杂乱无章的素数分布上，人们看到了许多奇特的规律，这也就像在万树丛中听到了鸟语，闻到了花香一样。9