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2.1综合法学 习 目 标核 心 素 养1了解综合法的思考过程、特点(重点)2会用综合法证明数学命题(难点)1通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养2通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法2综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？提示综合法是由因导果的顺推思维1综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的()A充分条件B必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B2在ABC中，若sin Asin B0，即cos C0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了_的证明方法综合法证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法用综合法证明三角问题【例1】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求证：A的大小为60；(2)若sin Bsin C.证明：ABC为等边三角形思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A.(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明ABC60.证明(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，所以cos A，所以A60.(2)由ABC180，得BC120，由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin B(sin 120cos Bcos 120sin B)，sin Bcos B，即sin(B30)1因为0B120，所以30B300)(7)|a|b|ab|a|b|(a，bR)左边等号成立的条件是ab0，右边等号成立的条件是ab0.2使用基本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明提示使用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”；不等式的方向性；不等式的适度，如下例题已知，a，b(0，)，求证：.若直接使用基本不等式，22，而2.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：证明a0，b0，2，2，22，即.【例3】已知x0，y0，xy1，求证：9.思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明证明法一：因为x0，y0,1xy2，所以xy.所以111189.法二：因为1xy，所以52.又因为x0，y0，所以2，当且仅当xy时，取“”所以5229.1本例条件不变，求证：4.证明法一：因为x，y(0，)，且xy1，所以xy2，当且仅当xy时，取“”，所以，即xy，所以4.法二：因为x，y(0，)，所以xy20，当且仅当xy时，取“”，20，当且仅当时，取“”，所以(xy)4.又xy1，所以4.法三：因为x，y(0，)，所以1122 4，当且仅当xy时，取“”2把本例条件改为“a0，b0，c0”且abc1，求证：abbcac.证明a0，b0，c0，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac.a2b2c2abbcca.(abc)2a2b2c22ab2bc2ca3(abbcac)又abc1，abbcac.综合法的证明步骤1分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等2转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程1综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法2综合法的特点(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件(2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹(3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是由因导果的顺推证法()(2)综合法证明的依据是三段论()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件()(1)(2)(3)(1)正确由综合法的定义可知该说法正确(2)正确综合法的逻辑依据是三段论(3)正确综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件2已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则.其中正确的命题的个数是()A1B2C3D4B若l，则l，又m，所以lm，正确；若l，m，lm，与可能相交，不正确；若l，m，l与m可能平行，不正确；若l，lm，则m，又m，所以，正确3已知pa(a2)，q2a24a2(a2)，则p与q的大小关系是_pqpa22224，a24a22(a2)22，q224p.4数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1,2,3，)求证：(1)数列为等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn，而an1Sn1Sn，SnSn1Sn，Sn1Sn，2，又a11，S11，1，数列是首项为1，公比为2的等比数列(2)由(1)知的公比为2，而anSn1(n2)，4，Sn14an.- 9 -
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