资源描述
第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲传真1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角(2)范围：0AOB180.(3)向量垂直：AOB90时，a与b垂直，记作ab.规定：零向量可与任一向量垂直2平面向量的数量积(1)射影的定义设是a与b的夹角，则|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos 叫作向量a在b方向上的射影(2)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为，把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab.(3)数量积的几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积3平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.4平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|1两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线2平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2.(2)(ab)2a22abb2.(3)(ab)2a22abb2.3当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，向量与的夹角为B()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(4)abac(a0)，则bc()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)设a(5，7)，b(6，t)，若ab2，则t的值为()A4 B4CDAab5(6)7t2，解得t4，故选A3(教材改编)已知|a|2，|b|6，ab6，则a与b的夹角为()A B C DDcos ，又0，则，故选D4已知向量a(2,3)，b(3，m)，且ab，则m_.2由ab得ab0，即63m0，解得m2.5(教材改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_2由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.平面向量数量积的运算1(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3C2D0B因为|a|1，ab1，所以a(2ab)2|a|2ab212(1)3，故选B2已知(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为 ()AB3CD3C因为点C(1,0)，D(4,5)，所以CD(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影为|cos，故选C3已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B C DB如图所示，.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE2EF，所以，所以.又，则()2222.又|1，BAC60，故11.故选B规律方法平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos a，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解平面向量数量积的应用考法1求向量的模【例1】(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC中点，则|等于()A2 B4 C6 D8(2)(2019广州模拟)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|a2b|2，则|b|等于()A4 B2 C D1(1)A(2)D(1)因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)44，则|2.(2)由|a2b|2，得(a2b)2|a|24ab4|b|24，即|a|24|a|b|cos 604|b|24，即|b|2|b|0，解得|b|0(舍去)或|b|1，故选D考法2求向量的夹角【例2】(1)已知向量a，b满足(a2b)(5a4b)0，且|a|b|1，则a与b的夹角为()ABCD(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_(1)C(2)(1)(a2b)(5a4b)0，5a26ab8b20.又|a|b|1，ab，cos .又0，故选C(2)因为2a3b与c的夹角为钝角，所以(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，所以4k660，所以k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，即2a3b与c反向综上，k的取值范围为.考法3平面向量的垂直问题【例3】(1)已知向量a(1，1)，b(6，4)若a(tab)，则实数t的值为_(2)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_(1)5(2)(1)a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4)又a(tab)，则a(tab)0，即t6t40，解得t5.(2)由得0，即()()0，(1)220，即3(1)940.解得.规律方法平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|. (1)(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.(2)(2017山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_(1)2(2)(1)法一：|a2b|2.法二：(数形结合法)由|a|2b|2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.(2)由题意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos 60，解得.平面向量与三角函数的综合【例4】(2017江苏高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2 xcos2 x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.规律方法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.1(2016全国卷)已知向量，则ABC()A30 B45C60D120A因为，所以.又因为|cosABC11cosABC，所以cosABC.又0ABC180，所以ABC30.故选A2(2015全国卷)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0 C1 D2C法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C3(2014全国卷)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5A|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左右两边分别相减，得4ab4，ab1.4(2017全国卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.7a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab与a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.- 10 -
展开阅读全文