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第十三节导数与函数的综合问题导数与不等式考法1证明不等式【例1】已知函数f(x)xaex(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x0，a1时，证明：x2(a1)xxf(x)解(1)由f(x)xaex可得f(x)1aex.当a0时，f(x)0，则函数f(x)在(，)上为增函数当a0时，由f(x)0可得xln，由f(x)0可得xln，所以函数f(x)在上为增函数，在上为减函数(2)证明：设F(x)x2(a1)xxf(x)x2axaxexx(xaaex)设H(x)xaaex，则H(x)1aex.x0，0ex1，又a1，1aex1ex0.H(x)在(，0)上为增函数，则H(x)H(0)0，即xaaex0.由x0可得F(x)x(xaaex)0，所以x2(a1)xxf(x)考法2解决不等式恒成立(存在性)问题【例2】设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.令g(x)0得x0，或x，令g(x)0得0x，又x0,2，所以g(x)在区间上是减少的，在区间上是增加的，所以g(x)ming，又g(0)3，g(2)1，所以g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max，由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，令m(x)xln x，由m(x)ln x10得x.即m(x)xln x在上是增函数，可知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x1时，h(x)0.即函数h(x)xx2ln x在区间上递增，在区间(1,2)上递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，)规律方法1.利用导数证明含“x”不等式方法，证明：f(x)g(x)法一：移项，f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x)，转化证明F(x)min0，利用导数研究F(x)单调性，用上定义域的端点值法二：转化证明：f(x)ming(x)max.法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二2利用导数解决不等式的恒成立问题的策略(1)首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题3“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值应特别关注等号是否成立问题 (2018全国卷节选)已知函数f(x)aexln x1.证明：当a时，f(x)0.解证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.利用导数研究函数的零点问题【例3】(2019黄山模拟)设函数f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.因为f(0)c，f(0)b，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为ybxc.(2)当ab4时，f(x)x34x24xc，所以f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc所以，当c0且c0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知，当且仅当c时，函数f(x)x34x24xc有三个不同零点规律方法利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等(2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置(3)可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现 设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点解(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的递减区间是(0，)，递增区间是(，)，f(x)在x处取得极小值f()，无极大值(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke，当ke时，f(x)在区间(1，)上递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1，)上递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点利用导数研究生活中的优化问题【例4】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路分别为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米以l2，l1所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于点P，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为，设公路l交x轴，y轴分别为A，B两点，如图所示，又y，则直线l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5,20设g(t)t2，t5,20，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t5,10)时，g(t)0，g(t)是减函数；当t(10，20时，g(t)0，g(t)是增函数所以当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.故当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米规律方法利用导数解决生活中的实际应用问题的4步骤 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为1 60元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意知200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.1(2018全国卷)已知函数f(x).(1)求曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程；(2)证明：当a1时，f(x)e0.解(1)f(x)，f(0)2.因此曲线yf(x)在(0，1)处的切线方程是2xy10.(2)当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1.当x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)递增所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.2(2015全国卷)设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0)当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；当a0时，设u(x)e2x，v(x)，因为u(x)e2x在(0，)上是增加的，v(x)在(0，)上是增加的，所以f(x)在(0，)上是增加的又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上是减少的，在(x0，)上是增加的，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln .故当a0时，f(x)2aaln .- 9 -
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