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第二节等差数列及其前n项和考纲传真1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n和a2n1也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(7)等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.1等差数列前n项和的最值在等差数列an中，若a10，d0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a10，d0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小2两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则有.3等差数列an的前n项和为Sn，则数列也是等差数列基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)等差数列11,8,5，中49是它的第几项()A第19项B第20项C第21项D第22项C由题意知an11(n1)(3)3n14，令3n1449得n21，故选C3在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A1 B0 C1D6Ba2，a4，a6成等差数列，则a60，故选B4小于20的所有正奇数的和为_100小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S10100.5(教材改编)设Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，则a5_.1由S2S6得a3a4a5a60，即a4a50，又a41，则a51.等差数列基本量的运算1已知等差数列an的前n项和为Sn，a6a1854，S19437，则a2 018的值是()A4 039 B4 038C2 019D2 038A设等差数列an的公差为d，由题意可知解得所以a2 0185201724 039，故选A2(2019武汉模拟)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d等于()A1 B2 C3 D4C由题意知解得故选C3张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布则该女子最后一天织布的尺数为()A18 B20 C21 D25C用an表示第n天织布的尺数，由题意知，数列an是首项为5，项数为30的等差数列所以390，即390，解得a3021，故选C4设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.72设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得S16163(1)72.规律方法等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题等差数列的判定与证明【例1】已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由解(1)证明：因为an2(n2，nN*)，bn(nN*)，所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)知bnn，则an11.设f(x)1，则f(x)在区间和上为减函数所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.拓展探究本例中，若将条件变为a1，nan1(n1)ann(n1)，试求数列an的通项公式解由已知可得1，即1，又a1，是以为首项，1为公差的等差数列，(n1)1n，ann2n.规律方法等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列 (2019贵州模拟)已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式解(1)由已知，得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以数列是首项为1，公差d2的等差数列则12(n1)2n1，所以an2n2n.等差数列性质的应用考法1等差数列项的性质的应用【例2】(1)(2019长沙模拟)数列an满足2anan1an1(n2)，且a2a4a612，则a3a4a5等于()A9 B10C11D12(2)(2019银川模拟)已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m的值为()A8 B12 C6 D4(1)D(2)A(1)数列an满足2anan1an1(n2)，则数列an是等差数列，利用等差数列的性质可知，a3a4a5a2a4a612.(2)由a3a6a10a1332得4a832，即a88.又d0，所以等差数列an是单调数列，由am8，知m8，故选A考法2等差数列前n项和的性质【例3】(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27(2)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 019_.(1)B(2)8 076(1)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，即a7a8a945，故选B(2)由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为d，则6d6，d1.故2 018d2 0142 0184，S2 0198 076.规律方法应用等差数列的性质应注意两点(1)在等差数列an中，若mnpq2k(m、n、p、q、kN*)，则amanapaq2ak是常用的性质(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.(2)等差数列an的前n项和为Sn，若am10，S2m1110，则m_.(3)等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则_.(1)60(2)6(3)(1)由题意知，S10，S20S10，S30S20成等差数列则2(S20S10)S10(S30S20)，即4010(S3030)，解得S3060.(2)S2m1110，解得m6.(3).等差数列的前n项和及其最值【例4】(1)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A5 B6 C7 D8C(1)法一：由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n7时，Sn最大法二：由S3S11，可得3a13d11a155d，把a113代入，得d2，故Sn13nn(n1)n214n.根据二次函数的性质，知当n7时Sn最大法三：根据a113，S3S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n7时，Sn取得最大值(2)已知等差数列an的前三项和为3，前三项的积为8.求等差数列an的通项公式；若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得，an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列3n7的前n项和为Sn，则Snn2n.当n2时，Tn|a1|a2|an|(a1a2an)n2n，当n3时，Tn|a1|a2|a3|an|(a1a2)(a3a4an)Sn2S2n2n10，综上知：Tn规律方法求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. (1)在等差数列an中，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A21 B20 C19 D18(2)设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.(1)B(2)130(1)因为a1a3a53a3105，a2a4a63a499，所以a335，a433，所以d2，a139.由ana1(n1)d392(n1)412n0，解得n，所以当n20时Sn达到最大值，故选B(2)由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100得n5，所以n5时，an0，当n5时，an0，所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4a5)(a6a15)S152S5130.1(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2C4D8C设an的公差为d，则由得解得d4.故选C2(2015全国卷)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10()A B C10 D12B公差为1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.故选B3(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5 B7 C9 D11Aa1a3a53a33a31，S55a35.4(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.- 10 -
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