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专题4 函数的性质【典例解析】1.（必修1第44页复习参考题A组第9题）已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围.【解析】方法一：的对称轴，要使函数在上具有单调性，则或，解得的取值范围或.方法二：可逆向思考，若时，在区间上无单调性，解得：取它的补集得：的取值范围或.【反思回顾】（1）知识反思；函数单调性的概念，二次函数及其性质；（2）解题反思；本题已知区间有单调性，而对称轴不确定，即为轴动区间定问题。可先求出二次函数含有参数的对称轴方程，再根据题中条件所给的区间建立方程或不等式求出参数的范围。2.（必修1第39页习题1.3题A组第6题）已知函数 是定义域在R 上的奇函数，当 时，。画出函数的图象，并求出函数的解析式。【答案】见解析【解析】设时，则，又当时，则又是定义域在R 上的奇函数；所以则得：，可得；【反思回顾】（1）知识反思；函数奇偶性的概念，二次函数的图像；（2）解题反思；本题先利用奇函数的图象关于原点对称画出函数的图象，在利用奇函数的定义求出函数的解析式利用奇偶性求函数解析式，此类问题的一般做法是：“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内利用的奇偶性f(x) =f( x)或f(x) =f(x)要利用已知区间的解析式进行代入，从而解出f(x) 3.（必修1第39页复习参考题B组第3题）已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.【解析】在上是减函数；证明：设x1x20则-x1-x20，在（0，+）上是增函数f（-x1）f（-x2）又是偶函数f（-x1）=f（x1），f（-x2）=x2）f（x1）f（x2）在（-，0）上是减函数。【反思回顾】（1）知识反思；函数奇偶性与单调性（2）解题反思；本题为抽象函数单调性的证明，可由条件出发，遵循单调性的证明步骤（设，作差，下结论），关键需借助偶函数的性质进行替换，完成证明。同时启发我们注意函数性质之间的联系。【知识背囊】1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值3.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称4.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【变式训练】变式1.已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，解得，故选D变式2.已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】当a0时，f(x)12x5，在(，3)上是减函数；当a0时，由得0a. 综上，a的取值范围是0a.变式3.函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是( )A B C D 【答案】D【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D.变式4.已知定义域为的奇函数满足，且当时， ，则（ ）A. -2 B. C. 3 D. 【答案】D【解析】因为奇函数满足，所以，即周期为3，所以 ，故选D变式5.已知函数为奇函数，且当时， ，则_.【答案】-2 【解析】函数为奇函数,且当时, ，。变式6.若在区间上是增函数，则的取值范围是_.【答案】【解析】函数，结合复合函数的增减性，再根据在 为增函数，可得在 为增函数，解得，故答案为：.变式7.已知定义在-2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上是减函数,若f(1-m)f(m),则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】由偶函数的定义,又由f(x)在区间0,2上是减函数,所以.故答案：.变式8.已知函数为奇函数， ，若，则数列的前2018项和为 【答案】2018【解析】函数为奇函数图象关于原点对称，函数的图象关于点(,0)对称，函数的图象关于点(,1)对称，数列的前2018项之和为。反思：本题主要考查函数的奇偶性及对称性结合数列，抓住通项特征可以看出是首尾相加是定值，采用倒序相加会很快得出答案。【高考链接】1.【2015高考广东理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A B C D【答案】【解析】记，则，那么，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知、依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选2.【2017北京文5】已知函数，则为（ ）（A）是偶函数，且在R上是增函数 （B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数 （D）是奇函数，且在R上是增函数【答案】B【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选B.3.【2017课标1文9】已知函数，则（ ）A在（0，2）单调递增B在（0，2）单调递减Cy=的图像关于直线x=1对称 Dy=的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误；又（），在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C4.【2014课标理3】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A是偶函数 B 是奇函数 C. 是奇函数 D是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C反思：本题主要考查了函数的奇偶性，在研究函数的奇偶性时，一定要注意的奇偶性，只有具备奇偶性，函数才是偶函数，否者不成立.5.【2014高考陕西版理第7题】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）（A） （B） （C）（D）【答案】【解析】选项：由，得，所以错误；选项：由，得，所以错误；选项：函数是定义在上减函数，所以错误；选项：由，得；又函数是定义在上增函数，所以正确；故选.6.【2017山东，文10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是A . B. C. D. 【答案】A【解析】由A,令,则在R上单调递增,具有M性质,故选A.7.【2017课标II文8】函数 的单调递增区间是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .故选D.8.【 2014湖南3】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( )A. B. C. 1 D. 3【答案】C【解析】分别令和可得和,因为函数分别是定义在上的偶函数和奇函数,所以,即,则,故选C.9.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ）（A）2 （B）1 （C）0 （D）2【答案】D【解析】当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.10【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足若，则 ( )A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选C.反思：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解11【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，选D.12. 【2015高考新课标1理13】若函数f(x)=为偶函数，则a= 【答案】1【解析】由题知是奇函数，所以 =，解得=1.13.【2017课标II文14】已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 _. 【答案】12【解析】.14. 【2014新课标，理15】已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是_.【答案】【解析】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.15.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，则= .【答案】-2【解析】：因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以，所以，即，所以.16.【2017山东文14】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 时,则f(919)= .【答案】【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.17. 【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a足，则a的取值范围是_.【答案】【解析】由题意在上递减，又是偶函数，则不等式或化为，则，解得，即答案为 10
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