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第三节等比数列及其前n项和考纲传真1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(5)当q1时，数列Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列1“G2ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件2若q0，q1，则Snkkqn(k0)是数列an成等比数列的充要条件，此时k.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)等比数列an中，a312，a418，则a6等于()A27 B36CD54C公比q，则a6a4q218.3(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_27,81设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.4在单调递减的等比数列an中，若a31，a2a4，则a1_.4由题意知消去a1得q，解得q或q2.又0q1，故q，此时a14.5在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，解得n6.等比数列基本量的运算1(2019太原模拟)已知公比q1的等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S33a3，则S5()A1 B5CDD由S33a3得a1a22a3，1q2q2，解得q或q1(舍)S5，故选D2(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_.32设an的首项为a1，公比为q，则解得所以a8272532.3(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.规律方法解决等比数列有关问题的两种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解.分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn(1qn)(q1)或Sn(qn1)(q1).等比数列的判定与证明【例1】(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.规律方法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后两种方法常用于选择题、填空题中的判定 (2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.等比数列性质的应用考法1等比数列项的性质【例2】(1)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.(2)等比数列an的前n项和为Sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，则S5_.(1)50(2)31(1)因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)由等比数列的性质，得a3a5a2a664，于是由且an0，q1，得a34，a516，所以解得所以S531.考法2等比数列前n项和的性质【例3】(1)等比数列an中，前n项和为48，前2n项和为60，则其前3n项和为_(2)数列an是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式an_.(1)63(2)12(1)法一：设数列an的前n项和为Sn.因为S2n2Sn，所以q1，由前n项和公式得，得1qn，所以qn.将代入，得64.所以S3n6463.法二：设数列an的前n项和为Sn，因为an为等比数列，所以Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，所以(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即S3nS2n6063.法三：设数列an的前n项和为Sn，因为S2nSnqnSn，所以qn，所以S3nS2nq2nSn604863.(2)设此数列an的公比为q，由题意，知S奇S偶4S偶，所以S奇3S偶，所以q.又a1a2a364，即a1(a1q)(a1q2)aq364，所以a1q4.又q，所以a112，所以ana1qn112.规律方法应用等比数列性质解题时的两个关键点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用 (1)已知等比数列an的公比q0，且a5a74a，a21，则a1()A B C D2(2)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于()A40 B60 C32 D50(1)B(2)B(1)a5a7a4a，a62a4，则q22.q，从而a1，故选B(2)S12(a1a2a3)(a4a5a6)(a7a8a9)(a10a11a12)48163260.等差、等比数列的综合问题【例4】(1)已知等比数列an的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，则的值是()ABCDA设等比数列an的公比为q，由a3，a5，a4成等差数列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故q2q10，解得q或q(舍去)，由，故选A(2)(2018北京高考)设an是等差数列，且a1ln 2，a2a35ln 2.求an的通项公式；求ea1ea2ean.解设an的公差为d.因为a2a35ln 2，所以2a13d5ln 2.又a1ln 2，所以dln 2.所以ana1(n1)dnln 2.因为ea1eln 22，eanan1eln 22，所以数列ean是首项为2，公比为2的等比数列所以ea1ea2ean22(2n1)规律方法等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，就不难解决这类问题 在公差不为零的等差数列an中，a11，a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an，Tnb1b2bn，求Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，则依题意有解得d1或d0(舍去)，an1(n1)n.(2)由(1)得ann，bn2n，2，bn是首项为2，公比为2的等比数列，Tn2n12.1(2015全国卷)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1CDC法一：a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2，a2a1q2，故选C法二：a3a54(a41)，a1q2a1q44(a1q31)，将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2，a2a1q，故选C2(2014全国卷)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn()An(n1)Bn(n1)CDA由a2，a4，a8成等比数列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n22nn2nn(n1)3(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.8设等比数列an的公比为q，a1a21，a1a33，a1(1q)1，a1(1q2)3.，得1q3，q2.a11，a4a1q31(2)38.4(2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.解设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.联立和解得(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200.解得q5或q4.当q5时，由得d8，则S321.当q4时，由得d1，则S36.- 11 -
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