竞赛训练数论篇

从来都没有真正的天才，天才都是勤奋努力的结果。竞赛训练数论篇 姓名：小学数学中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆以及与其它知识的结合知识回顾整除的性质：性质一：加减性如果a，b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除 即，得：性质二：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a 即，得：，性质三：如果b，c都能整除a，且b与c互质，那么b与c的积能整除a 即，且，得：性质四：传递性如果c能整除b，b能整除a，则c能整除a 即，得：整除的特征：1、 除数为2：末位数字为偶数，即末位数字为0、2、4、6、82、 除数为5：末位数字为0、53、 除数为4（25）：末两位数字所表示的数能被4（25）整除4、 除数为8（125）：末三位数字所表示的数能被8（125）整除5、 除数为3：各位数字之和能被3整除6、 除数为9：各位数字之和能被9整除7、 除数为11：奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除8、 除数为7、11、13：末三位数字所表示的数与末三位之前的数字所表示的数的差（大减小）能被7（或11、13）整除（）质数与合数 一个数除了l和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数比如2，3，7，37，一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数比如4，8，14，48，特别的：1既不是质数也不是合数1. 质因数与分解质因数（算术基本定理）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数比如：把42分解质因数应该是，其中2，3，7是42的质因数又如： ，其中2和3都是54的质因数2. 利用分解质因数求约数的个数一般地，如果分解质因数有下列形式：其中是互不相同的质因数，而是指数，即对应A包含各个质因数的个数那么A的所有约数的个数为。比如：，那么300的所有约数共有个约数与倍数1. 求最大公约数的方法：1) 短除2) 分解质因数3) 辗转相除法求最大公约数2. 最大公约数与最小公倍数性质1) 分数的计算 ； 2) 约倍关系 余数1）一个数除以2（5）的余数，看个位除以2（5）的余数；2）一个数除以4（25）的余数，看末两位除以4（25）的余数；3）一个数除以8（125）的余数，看末三位除以8（125）的余数；4）一个数除以3（9）的余数，看数字和除以3（9）的余数5）一个数除以11的余数，奇数位数字和减去偶数位数字和的差即为余数，如果奇数位数字和比偶数位数字和小，加上11的倍数再减去偶数位数字和。6）多个数的乘积除以某一个数的余数等于每一个数除以这个数的余数的乘积。（积的余数等于余数的积）例题精讲一、 整除问题例1. 某个六位数是9的倍数，求M的值。例2. 某个七位数能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数依次是多少？例3. 形如，且能被11整除的最小自然数中的等于几？例4. 两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B二、 质数与合数例5. 从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12例6. ，A能否被6188整除？三、 约数与倍数例7. 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？四、 余数问题例8. 1）1234567被9除的余数为_。2）1234567被11除的余数为_；3）654321被11除的余数为_。例9. 1）一个两位数被3除余1，被5除余1，那么这个数最小为_;它被15除的余数为_.2）一个三位数被3除余2，被7除余6，那么这个数最小为_;它被21除的余数为_.例10. 结果的末两位数字是多少？例11. 幼儿园的老师给班里的孩子送来157个桔子，234个苹果，432个梨，平均分发完毕还剩100个水果，问这班里共有多少位小朋友？课后作业作业1. （）A，B，C为三个质数，且，求这三个质数作业2. （）三个自然数的乘积为84，其中两个数的和等于另一个数求这三个数作业3. （），要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？作业4. 除以9的余数是多少？作业5. （）把1到29这29个自然数乘到一起，结果的末尾有多少个0？作业6. （）三个质数的乘积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数作业7. （）分母为2008的所有最简真分数之和为多少？作业8. （）三个连续自然数的最小公倍数是9828，那么这三个自然数的和等于多少？作业9. （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲甲=乙+乙=丙135那么甲最小是_。作业10. （）在1100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？作业11. （）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题作业12. （）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数那么，这样的三个质数可以是 、 、 作业13. （）如果11！，122！，1233！12399100100！那么1！+2！+3！+100！的个位数字是多少？7