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11.3导数的几何意义明目标、知重点1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程1.割线斜率与切线斜率设函数yf(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x，f(x0x)的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线于是，当x0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即kf(x0) .2导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)情境导学如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容探究点一导数的几何意义思考1如图，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？答当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线思考2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况解我们用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况(1)当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降(2)当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0.所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(t)在tt1附近单调递减(3)当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0(即切线的斜率大于零)，则函数yf(x)在xx0附近的图象是上升的；若f(x0)0，所以，在tt3，tt4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快(2)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()答案A解析依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足探究点二求切线的方程思考1怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程？答根据导数的几何意义，求出函数yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程思考2曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点例2已知曲线yx2，求：(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)曲线过点P(3,5)的切线方程解(1)设切点为(x0，y0)，y|xx0 2x0，斜率k2.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)点P(3,5)不在曲线yx2上，设切点为(x0，y0)由(1)知，k2x0，切线方程为yy02x0(xx0)，由P(3,5)在所求直线上得5y02x0(3x0)再由A(x0，y0)在曲线yx2上得y0x联立，得，x01或x05.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02，此时切线方程为y12(x1)，即2xy10，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010，此时切线方程为y2510(x5)，即10xy250.综上所述，过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程为2xy10或10xy250.反思与感悟求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标跟踪训练2已知直线l：y4xa和曲线C：yf(x)x32x23相切，求a的值及切点坐标解设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，f(x) 3x24x，kf(x0)3x4x0.由题意可知k4，即3x4x04，解得x0或x02，切点的坐标为(，)或(2,3)当切点为(，)时，有4()a，解得a.当切点为(2,3)时，有342a，解得a5.当a时，切点坐标为(，)；当a5时，切点坐标为(2,3)1已知曲线f(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A4 B16 C8 D2答案C解析f(2) (82x)8，即k8.2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析由题意，知k 1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选A.3已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_答案(3,30)解析设点P(x0,2x4x0)，则f(x0) 4x04，令4x0416得x03，P(3,30)呈重点、现规律1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点6
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