注册电气工程师高等数学考试点归纳

第一篇：高等数学一：函数的几种特性 有界性、单调性、奇偶性、周期性在函数的几种特性这里还是可能出到考题的1：有界性：（1）：概念 （2）：函数，原函数导函数有界性的判断问题。函数在定义域内有界，导函数和原函数不一定有界，可以用找特殊函数的办法来思考2：单调性（1）：判断方法，利用一阶导数判断（2）：函数、原函数、导函数单调性的关系 （3）：单调性和区间相关3：奇偶性（1）：定义 （2）：判断：首先是定义域关于原点对称，要是定义域都不关于原点对称的话，肯定不是奇偶函数 （3）：判断时不能简单的利用定义式子，还有可能进行数学等式的变化。这里才是考试的重点 （4）：组合问题：即奇函数和偶函数组合出来的函数是什么函数等等一系列的问题。用定义去解决，注册工程师的考试顶多也就考到这种程度了。（5）：函数、原函数、导函数的奇偶性问题：还是利用定义去完成推断。4：周期性 （1）：定义 （2）：最小正周期的概念 （3）：注意：某周期函数的原函数不一定是周期函数，利用基本积分原理即可解决该问题。二：函数的极限问题（一）：求极限的方法 （1）：四则运算方法：加减乘除 （2）：洛必达法则 （上下同时趋于零或者趋无穷大），即不定式的极限 （3）：等价无穷小当x0时，sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx，1-cosx(1/2)*（x2）（ax）-1x*lna （ex）-1x ln(1+x)x，(1+x)1/n-1（1/n）*x，loga(1+x)x/lna。注意等价无穷小替换只能用在乘除中，且只能是自变量也趋于零时使用，还有就是等价无穷小也可以有自己的变种。（4）：法则：有界函数乘以等价无穷小，那么其极限是无穷小。（5）：特殊类型的函数求极限：1：0的0型，或者0的正无穷型：不管形式怎么样，其实质都是利用复合函数求极限的方法。将函数用自然数进行换底。2：其他复合函数的极限，一层一层的求 3：利用极限存在准则求极限：夹逼准则和单调有界函数必有极限定理4：变上限积分函数求极限：这可看做是和积分知识点的结合。5：带绝对值的求极限6：抽象函数的极限 7：利用导数的定义求极限，和导数相综合的题型。8：导函数求极限（6）：公式法求极限：即当自变量趋于正无穷大时，函数是分式，且上下都是关于自变量的高次方：同时除以高次方即可得出结论。（7）：需要首先进行处理下函数表达式才可以求极限的情况：常见情况有三种：（1）两个函数相减（通分） （2）：两个函数相乘 （3）：裂开函数表达式（8）：利用极限的定义求极限的方法：有的函数可能极限并不存在，那么需要用极限定义的方法去求极限才行的。需要分别求出左极限和右极限。这种题型要特别注意在临界点的极限的求法，还有就是带有绝对值的求极限多半会用到定义来求。（9）：上述方法的综合，要快速的求出函数的极限，需要综合利用上述的方法。2：极限的定义：左右极限都存在且相等3：极限的用途：除了求极限外，还可以利用极限，来反推未知的参数。这也是一种题型（二）：极限的定义判断：左右极限都存在其相等（三）：特殊类型的极限：无穷大和无穷小 1：无穷大和无效小的定义 2：无穷大和无穷小点的作用：可以等价无穷小来简化求极限 3：无穷大和无穷小的比较：等价、高阶、低阶、同阶等等情况（四）：极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性（可用于极大极小值的判断）和数列极限的关系性三：函数的连续性考点（一）1：函数连续性的定义：即函数的图形呈现出光滑的不间断的情况。2：函数连续性的判断：必须的利用定义进行判断 （1）：函数在某点有定义（没定义肯定就不连续了）（2）：除了函数在某点有定义外，函数在该点的极限必须存在，即左极限等于右极限，且等于函数在该点的函数值。注意，函数连续和极限存在时不一样的。3：有函数在某点连续的概念可以立即反推出函数的间断点的知识点（1）：在某处没定义肯定间断 （2）：即使在某处有定义也未必连续，还得考察函数在此点的极限状态。分为第一类间断点和第二类剪短点。第一类间断点是左右极限都存在的情况：可具体分为两小类：可去间断点和跳跃间断点。除开第一类间断点，其余的统称为第二类间断点。这里多半会有判断间断点的题型。4：函数连续的作用：可以反推出函数中某未知的参数，这个知识体系和极限存在的体系一样。5：函数连续性这里常遇见的函数类型：分段函数以及带绝对值的函数。（二）；连续性的性质 1：初等函数必连续 2：有界性 3：必有最大值和最小值 4：零点定理 5：介值定理注意1：关于函数连续性的性质应该通过图形去理解才好。2：函数的连续性这里还是有可能出现考试题的。3：注意：函数的上述连续性的性质是在闭区间内得出的，若不是闭区间则有可能结论发生变化。一定要注意这个知识点才行。虽然说这里在大刚上是要求到了解即可，但是，还是有可能出选择题的。 3：这里补充一个题型：即关于函数定义法则的题型，这种题型可能和前面的极限、连续性相结合出题的。即要首先求出函数的定义法则，才可以解题的。二：导数一：导数的定义 1：关于导数的定义有两种定义式子，这两种式子必须掌握，不管是在注册工程师的考试中，还是在考研中都会用到的。要么是用导数的定义求导数，要么是利用导数的定义式子推导一些其他的结论。注册工程师考试中有此类考题的。这种题型一般是已知函数在某点的导数存在，让你求一种极限。甚至于考难点，考察到二阶可导，且是用定义考察 2：导数：若在某点有定义，且那种极限存在，则称在改点可导。一定要注意，即使极限存在也未必可导，还必须有定义才行的。（考概念题）二：可导和连续的关系：在某点可导一定在该点连续，在该点连续，不一定推出在这点可导。因为从导数的定义式子可以推出这个结论。三：求导的方法： （1）：用导数的定义求导数，考研中有此类例题。用定义求导数的情况如下 1：分段函数的分界点（在分段函数分界点两边，函数表达式不同，那么当然不能利用导数公式求，只能利用定义求导）、2：含绝对值的函数、3：抽象函数求导（即只告诉函数在某点可导，并没说在整个定义域上可导，让你求在另一点的导数，或者说只告诉函数是连续的，并没有说函数在整个定义域上可导，那么就应该用导数的定义求导数。）4：用求导公式太复杂，比如说。，一个函数的表达式极其复杂，那么可能用定义求还要简单点 （2）：四则运算法则：加减乘除 （3）：反函数求导（4）：复合函数求导 （5）：特殊函数的求导：参数方程的求导（参数方程的求导还可以和隐函数相结合，即参数方程本身又是隐函数）、隐函数的求导（隐函数求导这里还是需要注意一下，首先可能需要求解出函数值，即Y的值，然后在求导）、幂指函数的求导、带有根号的函数的求导，变上限积分函数的求导（和积分相结合，和积分中的换元法相结合）。抽象函数的求导、积分函数的求导（积分本来是一个函数，当然可以求导的。）（6）：高阶函数的求导。这里在注册电气工程师的考试中应该是了解的考点。即使要考，也应该是非常简单的考题了。但是要记忆住公式的。 1：二阶导数： 阶导数： 2.高阶导数的基本公式： （ 任意数） 、 简记为 、 ， 、 阶可导， 四：导数的几何意义：斜率；考题的话应该是出关于切线或者关于法线的题目，注意法线方程求法。在求切线或者求法线的时候，肯定要求导，既然要求导，那么就把很多题型给结合起来了，例如给出参数方程，让你求参数方程在某点处的导数。意思就是既然求导的办法或者情况有很多，那么可以把求导数和切线或者法线这里结合起来考察。五：可导的定义：左导数=右导数。六：导数的另外一种题型：和连续一样，反推出位未知的参数。利用可导的定义求解。七：综合题型：同时判断、极限存在、连续性和可导性，注意：不要把判断规则弄混了。极限存在：左右极限都存在且相等。连续：有定义+极限存在+等于函数值 。可导：左导数等于右导数。三个的判断规则是完全不同的，不能混淆的。八：某函数导数的连续性判断问题：也就是说先把某函数的导函数求出来，然后把这个导函数看做是一个函数，还可以对它进行很多的判断：连续、可导等等方面.导函数本身也是函数，既然是函数，当然可以进行求极限，求导数，判断连续性，以及求极大值等等。这是知识点的综合分析。九：微分及其运用1：微分的概念2：函数在某点可微分的充要条件是在该点可导。3：微分的基本求法：和导数一样的。 三：中值定理与导数的运用一：中值定理洛尔中值定理和拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理（注册工程师的考试中，不考柯西中值定理）。洛尔中值定理和拉格朗日中值定理是要求掌握的内容1：洛尔中值定理：函数在某闭区间上连续，在开区间上可导，且两端函数值相等，则至少存在一个点，使得该点导数为零，即斜率为零。画图理解2：拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则在该区间内，至少存在一点，该点的斜率和两端点连线的斜率相等。注意：（1）这两大定理在考研中一般是考到证明题中的，但是在注册工程师的考试中只可能考选择题，也就是说要对定理熟悉，会简单的运用即可。 （2）：罗尔中值定理可以看做是拉格朗日中值定理的特例。 （3）：具体的在注册工程师的考试中，怎样考中值定理？查真题。考查方式之一时：要注意定义使用的条件：即在闭区间上连续，在开区间上可导才可以用的。因为在开区间上可导，只可以保证在开区间上连续，不能保证在闭区间上连续。（可导必连续）。考察方式之二：洛尔中值定理和拉格朗日中值定理只是充分条件，不是必要条件。考察方式三：查题二：用罗比达法则求不定式的极限三：导数的运用（一） ：判断单调性： 题型1：最基本的判断 题型2：抽象的考察：例如：单调函数的原函数是否是单调函数，或者单调函数的导函数是否是单调函数等等。破解办法：列举法。 题型3：用导数判断单调性只是充分条件，不是必要条件。（二） ：判断函数的极值1：极值包括极大极小2：是局部性的概念，要和最大最小值区分开来定理一：必要条件：函数在某点导数为零不一定是表明该点是极值。（该点可能是驻点）函数在某点取到极值，也不一定表明该点导数为零。（有可能导数不存在）。只有在函数可导的情况下，函数在该点取值，那么该点极值才为零。定理二和三：充分条件1：一阶判断条件：从画图来理解，即；两旁的一阶导数异号。则为极值，不异号，则不为极值2：二阶判断条件：在某点一阶导数为零，二阶导数不为零，二阶段导数大于零，极小值，二阶导数小于零，极大值。注意：二阶判断条件只是充分条件，这并不是说一阶导数为零，二阶导数也为零，那么函数在该点就不是极值了。只是说你通过二阶条件可以这样判断，这并不是说不满足这种条件就不是极值了。（三） ：函数的最值求解最值得方法：先求出所有的驻点（不用判断是否极值点），再比较端点的函数值。（四） ：判断函数的凹凸性和拐点1：若函数在某闭区间上连续，在开区间可导，且一阶导数和二阶导数存在，二阶导数0.则凹，小于零则凸。2：拐点：若函数在某点的二阶导数为零（或者弩存在），且左右两边的二阶导数异号，则该点为函数的一个拐点。若两旁的二阶导数同号，则不是拐点关于这一块知识点常见题型的总结：1：求极值的题型 （1）：最简单的直接求极值，即已知函数的表达式，然后求极值 （2）：利用极值的定义来判断： 1：利用极限的保号性。在保号性这里，在求极限的表达式里要么是关于函数本身的，要么是关于函数的导数的式子。这里边有三种题型了。函数本身的，函数一阶导数、二阶导数 2：利用微分方程。即给出关于微分方程的表达式，让判断极值的问题。 3：反推法：利用已知某点为极值，反推未知参数，主要是利用极值的必要定理。 （3）：特殊函数求极值：变上限积分函数、简单的积分函数，参数方程函数求极值，导函数求极值吗，原函数求极值，奇偶函数求极值、组合函数求极值 等等，只要是函数的，都可以求极值。2：判断凹凸性和拐点的题型 （1）：最简单的直接函数篮球拐点和凹凸性的 （2）：需要抽象的判断拐点和凹凸性的。和求极值一样的知识点，利用极限保号性、微分方程等等一系列知识点。3：关于函数性态的题型 （1）：综合单调性、凹凸性、拐点等等一系列问题考察函数的性态。 （2）：利用多阶导数来判断函数的性态。这种题型的破题点在于：从低阶开始分析，高一阶的导数就是来考察低一阶导数的单调性，然后高二阶的导数可以考察低二阶导数的最大值最小值。即本质在于，将导函数也看做是函数来进行分析问题即可。意思就是若二阶导数大于零，则一阶导函数是递增的函数。三阶导数大于零，则二阶导函数是单调递增的函数 （3）：利用图形来考察函数的性态。根据图形判断。即图形题 （4）：函数的渐近线；竖直渐近线、水平渐近线、斜渐近线+求极限。 （5）：关于不等式的题型，可能在选择题中出现比较大小的题型，那么比较大小的话，可以借助单调性来实现 四：偏导数和全微分一：多元函数偏导数1：偏导数的概念2：偏导数的求法归纳 （1）：具体的函数求偏导数，这个很简单。可以直接利用偏导数的方法来求。 （2）：简单求法：可以一次性的求出全微分，然后根据全微分的组成来反推出偏导数。 （3）：多元复合函数求偏导数：这个是重点题型 一：复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理 如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算： 二： 中间变量不是一元函数而是多元函数的情形 定理 设，复合而得复合函数 如果及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算： =+, =+ （4） ：隐函数的求导法则：这里倒是不用记忆这个法则，当在多元函数中出现隐函数时，有多种方法可以解决：1： 可以直接先关于变量求偏导数即可。2：可以同时求全微分（5） ：高阶偏导数 1：高阶偏导数在求解时，不要弄混淆步骤 2：二阶混合偏导和求导次序无关（可以反推未知参数） 3：注意一个非常重要的知识点：一阶偏导数仍是关于两个中间变量的函数，这个知识点在求高阶导数时非常的重要。在注册工程师的考试中还是有可能出现混合高阶偏导数的考题的。虽然说以前没有出现过这种题（6） ：抽象函数的偏导数以及高阶偏导数的求法：最简答的办法还是直接求全微分即可（7） 不管函数形式怎么样，在 多元函数求偏导数这里，直接求全微分是最简单的方式，即对于方程组两边直接求微分，把每个变量都当做是自变量，直接求全微分最简单。（8） 综合题型：先想办法求解出偏导数，然后再利用求解出的偏导数和其他知识点结合起来考察（9） ：先想办法求解出函数的表达式，然后依据求解出的表达式求解偏导数（10） ：关于多元函数对应法则的考题。和一元函数一样的求法。可能会涉及到换元法等等方法。 二：全微分 1：全微分概念：这里关于全微分概念还是可能有考题的，比如说把全微分给你，让求偏微分等等题型 2：全微分的求法：1：先求出偏微分，再根据全微分公式求全微分 2：更加简单的求法：方程直接关于变量求导。可以直接得出全微分。（全微分形式的不变性） 3：对于在某点的全微分：最好用直接关于变量求导的方法求解全微分，这样做可以节约大量的时间。来自考研的经验。三：多元函数连续、可偏导、可微分的关系1：对于一元函数来说：函数可导，则必然连续。且可导和可微是等价的。2：但是对于多元函数来说，结论就不一样了： 在可微、可偏导、连续、具有连续偏导数这四种关系中：只存在下列成立的式子 （1）：可微分、偏导必然存在 （2）：可微分，多元函数必连续。 （3）：具有连续偏导数，必然可微 （4）：具有连续偏导数，可偏导。其余的关系式均不一定成立。考法：要么是抽象的考察概念，要么是具体的把函数给你。四：偏导数的运用：求解空间曲线的切线与法平面以及切平面与法线、 这里只需要记住公式即可（公式在天大P38）五：多元函数的极值和最值知识点（掌握的要求）（一） ：多元函数极值的求法： 1：根据极值的定义求解 2：根据二元函数极值的充分条件判断： AC-B2大于0时，是极值。A小于零。极大值。A大于零，则是极小值 AC-B2小于0时，不是极值 AC-B2等于0时，是否为极值还需另作讨论，可能是，也可能不是极值 3:关于极值的必要性的知识点 若在某点是极值，且偏导数存在，那么两个偏导数必然为零。这个知识点和一元函数的那个必要性一样的道理，都是必要性的条件，都可以用来反推出未知的参数。 4：条件极值：拉格朗日法 5：最值的求法：还是和一元函数的最值的求法一样，先求出所有的驻点，再把驻点的函数值和边界条件的函数值作出比较，谁最大就是最大值，谁最小就是最小值。而且在这里也没有必要判断驻点是否为极值点。（二） ：关于多元函数极值的题型 1：直接函数求极值 2：抽象函数求极值 3：运用问题，需要先列出函数表达式，然后才求极值 4：对于必要性的考察：分两种类型：1：反推未知参数 2：对概念的考察：极值存在，偏导不一定等于零，偏导等于零，极值不一定存在。 5：条件极值问题：注意：条件极值下教材上只是讲到了驻点是可能极值点，但是没有讲解怎么判断，因此求解条件极值时，注册工程师中不会考到怎么再来具体的判断的。只是考察到怎么求解条件极值下的驻点的。这个点就是可能极值点。 6：最值问题：如果是选择题，则可以用代入法求解，小技巧。 积分学（不定积分）整个积分学是完全和微分学相反的东西，很多知识点都是相反的。 一：关于不定积分的题型1：原函数、导函数的概念的考察；这里有很多的题型，最核心的知识点就是原函数和导函数的关系问题。依据这个核心知识点有大量的题型。2：求不定积分 （1）不定积分的求解有三种主要的方法：1：凑微分法 2：换元法（三角换元、倒代换元、根号换元以及Ex换元法、反三角换元等等）3：分部积分法 （2）求解不定积分有几种题型：（1）具体的函数、（2）抽象的函数（抽象函数求积分也是个重要的考题）、（3）特殊函数求不定积分：有理函数的积分、三角有理式的积分、无理函数的积分。（4）：已知一个积分，求另一个积分：这种题型有两种西路：1：先有已知积分求解出被积函数，然后再求另外的积分。2：两个积分之间具有某种联系，不一定非得把被积函数的表达式求解出来才可以求另外的未知积分。 （3）：求解不定积分的几种技巧：上下同时加一个数，上下同时乘除一个数等等技巧，以及利用回归法求解不定积分（回归法主要使用在分部积分中），还有一种重要的技巧是以分母分解法（这种方法主要使用在被积函数是分式，且上下都是关于同样的式子，只是具体的系数不同而已，这时可以利用依分母分解的办法进行求解不定积分）3：把不定积分求出来后的题型：即把不定积分求解出来，然后和其他的知识点相结合，比如说再求导数、再求极值、再求最值、再求极限等等。因为不定积分求解出来后本身也是个函数，而可以对函数进行很多的考察了。 定积分一：关于定积分的题型 1：直接求定积分