精讲精练第1讲函数概念与表

第1讲 函数概念与表示一、要点精讲1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域。2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，定义域含三种：自然型：限制型： 实际型： （2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。3两个函数的相等：4区间 5映射的概念6常用的函数表示法：（1）解析法：；（2）列表法：；（3）图象法：。7分段函数8复合函数：若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=fg(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。【课前练习】1.若函数的定义域是，则函数的定义域是A B C D2.设函数则的值为（ ）ABCD3.定义在上的函数满足（），则等于（ ）A2B3C6D94.函数的定义域为 二、典例解析题型1：函数概念例1（1）设函数（2）请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （x）：图象关于y轴对称；对定义域内任意不同两点, 都有答： .变式题：设（ ）A0 B1 C2 D3例2函数对于任意实数满足条件，若则_ _；题型二：判断两个函数是否相同例3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。题型三：函数定义域问题例4求下述函数的定义域：（1）； （2）例5已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) ；(2)。变式题：已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）AaB12a0C12a0Da题型四：函数值域问题例6求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。题型五：函数解析式例7（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求。题型六：函数的综合题例8. 已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；三、课外作业1.函数的定义域为A. B. C. D. 2.设定义在上的函数满足，若，则( )（） （） （） （）3.若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A B C D4.若函数的定义域为R，则实数的取值范围 。5.（1）设，其中a、b、c、d是常数。如果求；（2）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。【课前预习】1. B 2. A 3. A 4四典例解析例1 解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换， = =（2）答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如等等.首先由知f （x）为偶函数，由知f （x）在定义域内图象上凸，然后在基本初等函数中去寻找符合这两点的模型函数.变式题解：选项为C。例2解：由得，所以，则。例3解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当nN*时，2n1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。例4解：（1），解得函数定义域为.（2） ，（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），当a=0时，函数定义域为；当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为；当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为。例5 解：（1）由0x2， 得 变式题：解：由a=0或可得12a0，答案B。例6解：（1）（配方法），的值域为。改题：求函数，的值域。解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。函数，的值域为。（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。又，故，的值域为。（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为。（法二）分离变量法：，函数的值域为。（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为。注：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为。（6）数形结合法：，函数值域为。（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为。由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为。（8），当且仅当时，即时等号成立。，原函数的值域为。（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为。例7 解：（1），（或）。（2）令（），则，。（3）设，则，。（4） ，把中的换成，得 ，得，。例8.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有（II）任意且，则， 【课外作业】13DCB 4、-1,05、解：（1）构造函数则故：（2）原不等式可化为构造函数，其图象是一条线段。根据题意，只须：即解得。点评：上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题，体现了函数的工具作用。