二阶系统分析

713.3二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-6所示其中K,T为环节参数。系统闭环传递函数为.，、K,J(s)2Ts2sK化成标准形式2.n（首1型）(3-5)5(时1)(s)=22T2s22Ts1（尾1型）(3-6)匕、切n分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。二阶系统闭环特征方程为D（s）=s22nsW=0其特征特征根为，1,2=-2-1若系统阻尼比，取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。表3-3二阶系统（按阻尼比-）分类表分类特征根特征根分布模态也,2=n土切nJ：-1*过阻尼JtII1Z2XI|&=1临界阻尼7-1,2=Vn卜te01欠阻尼7-1,2=-n士jnJ1-*e-wsin=0.05Ts=Ts(k*0.01)/Tl(j)J;break;endendendendab二plot(Tb,Ts,1b-1);set(ab,LineNidth,1.5);grid;16xlabel(Tl?12)ylabelTs/Tl),过阻尼二阶系统的调节时间特性例3-3某系统闭环传递函数小（s）=，计算系统的动态性能指标。s210s161616解j(s)=z=s210s16(s2)(s8)(s1Ti)(sIT2)1T1=0.521T2=0.1258TJT2=050.125=4匕=1十*)=1.2512T1T2查图3-7可得4=3.3,计算得ts=3.3T=3.30.=51s65图3-8给出系统单位阶跃响应曲线。图3-3的计算程序:t二0:0.5；4；t=oncs(size(t):num=16;den二11016;R*,t二steptnunijderijt);plot(t3r/t.c/-h);xlabel(t/s),ylabel(h(t)；grid;图3-8例3-3图例3-4角速度随动系统结构图如图响应无超调，且调节时间ts-1s,问K应取多大?解根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短，应取阻尼比匕=1。由图3-9,令闭环特征方程s21sKTT=(s1)2=s22s1=0T1T12T1rs(Ts+J)图3-9角度通动系统姑橱田3-9所示。图中，K为开环增益，T=0.1s为伺服电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃比较系数得T1=2T=2乂0.1=0.2、K=T/l2=0.10.22=2.5查图3-7,可得系统调节时间ts=4.7511=0.95s,满足系统要求。3.3.3欠阻尼二阶系统动态性能指标计算1.欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法欠阻尼二阶系统的极点可以用如图3-10所示的两种形式表示。(1) 直角坐标表示扁,2=士j。d=缶n士j/匕切n(3-8)“极”坐标表示coS=tsin=侦1一22.欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由式(3-5),可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为(3-9)C(s)=，(s)R(s)=_1s.2、s(s，n)2(1-2)W_sns(s、)2(1-2)；系统单位阶跃响应为h(t)=1-e钠cos(1-*%nt)-.e一如*sin/-*2斜t)=1_2nt112cos.12ntsin.12，nt.1-2。一板1-2sin.T之ft1-系统单位脉冲响应为疽二2ar(3-10)k(t)=h(t)=L(s)I-L4一怡+2+(1-却：qk1-n_n2n，.netsinJ_!2nt(3-11)典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图3-11所示。响应曲线位于两条包络线J-21e7Jl2之间，如图3-12所示。包络线收敛速率取决于晶特征根实部之模)响应的阻尼振荡频率取决于1算n(特征根虚部)。响应的初始值h(0)=0，初始斜率h(0)=0,终值h(*)=1。zeta=.1.2,.3.4.5a.6.7.8,12.0图3-11二阶系统单位阶跃响应图3-11的绘制程序；t=0:0.1:12ic=;zeta=00.10.20-30.40.50.60.70.S1.02.0;fori=1:11num=l:dm=11Jct=stepc.nimi.deiLti;Plot(Lc/)-holdon:pause(l):endxlabel(Tit)：ylabel(:h(t:);title(Tzeta=0,A,234,.5,.6,.7,一&1.0,2.0),erid;图3-12的绘制程序：wn=2*5;zeta=Q4;t=0：0.05:4;tl=acos(zetai*ones(lJlength(t);al=(1/sqrt(l-seta2);hl=lal*exp*sin(wn*sqrt(1-zeta2);bu二al+exp;bl2-bu;plot(t,hl,-t,bu,1/,tfblf1,tfanesCsizeft)；k-*);grid;Klabel(wntylabel(h(t);3欠阻尼二阶系统动态性能指标计算(1)峰值时间tp：令h(t)=k(t)=0，利用式(3-11)可得sin1【)nt=0即有.1-之.，nt=0,二，2二，3二，由图3-1,并根据峰值时间定义，可得冗tp=,(3-12).1-n(2)超调量cr%:将式(3-12)代入式(3-10)整理后可得-21-h(tp)=1eh(tp)-h(二)号M-2勺00%=eK100%(3-13)可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量。只与阻尼比匚有关，两者的关系如图3-13所示。图3-13欠阻尼二阶系统a%与&的关系曲线图3T3幡制推岳P=;t=0:0J:50;ks二0:0.005:1,=5;fori二hlenslhtks),num=oran和皿den-J2*ks(Loimonmonrj,y二st郎(num,den,t)rfork=2：length(y)ify(k)=y(k-CM叩二H;break;endendplot(kEjPl,b-);ilabel(lBJStt),ylabelt蹦量ft)：title(,欠晚二阶系觥隅量与朋tt糊曲剿;grid;络线进入5%误差带的时间计算调节时间。令(3)调节时间ts：用定义求解系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按阶跃响应的包e一初e一舄1+一一-0.05廿1/J1-E2可解得-2ln0.05ln(1-)ts3.5(0.3匚=0T02;Ts2=|Tslk*0.0l:breakendendfork=5000:-l:0iKab&(y(t)l)=0_05iTs5=Ts57k*0.01ibreakendendendaa=fiffure:set(aa.Colorl11):ab=piot(Ks:Tsl1r.,:Ks:Ts5/bh):sa(3b/UneVtdthl=2):grid：4.典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系根据式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9）,可以进一步讨论系统动态性能、系统参数及闭环极点分布间的规律性。图3T5系统极点轨迹当仍n固定，增加（E减小）时，系统极点在S平面按图3-15中圆弧轨迹（I）移动，对应系统超调量汀%减小；同时由于极点远离虚轴，0增加，调节时间ts减小。图3-16（a）给出切n=1,匚改变时的系统单位阶跃响应过程。当兰固定，切n增加时，系统极点在S平面按图3-15中的射线轨迹（II）移动，对应系统超调量。%不变；由于极点远离虚轴，-On增加，调节时间ts减小。图3-16（b）给出了匚=0.5（E=60）,n变化时的系统单位阶跃响应过程。&般实际系统中，T是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益K是各环节总的图3-16程序t=O:O.12O=ones(size(t);oni=l;sg=O.l10_21O.3,O.41O.57O-6TO7,0,fori=l:8num=sgffl*sg(i)-om*om;den=1?2*sgTsg(i)*sg(iKom*om;c=sTq)(tmiTLden_t):ab=plot(trrJ.tc.b-);sab；LineVidth1.5):holdon.endxlabelCtsLlabelChtt);tid或虚部=L极点实部dabel(Xt)h):titlefks=0.5;自然频率(0一方0.5124S)h);grid;p3ii0(2)xlf:t=0:0.05:10;r=ones(size(t);sg=l;om=0.20.5,0.7,0.8T0.9,l,235ifori=lr9num=sg*sg-omil*om(i);dcD=l,2*sg,sg*gom(i)*om(i)Jc=steplnumdeat):3b=plot(trr-1.tcb-setfab/LineWidth15):lioldoilaidxlabdCt?slylabdfhft)1)：血寸实部=1：极点虚敞020.5。70&0,123;5)Xgrid;pau$e(2);|传递系数，可以调节。K增大时，系统极点在s平面按图3-15中的垂直线(III)移动，阻尼匚变小，超调量汀%会增加。图3-16(c)给出T=1,K变化时系统单位阶跃响应的过程。S)I/s（a）CCn=1，E改变时的阶跃响应；（b）=0.5,n改变时的阶跃响应；（c）T=1,K改变时的阶跃响应图3-16二阶系统单位阶跃响应综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系统的闭环极点位于E=45。线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量使其远离虚轴，以提高系统的快速性。掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析设计系统是十分重要的。例3-5控制系统结构图如图3-17所示。开环增益K=10时，求系统的动态性能指标;确定使系统阻尼比匕=0.707的K值。解(1)K=10时，系统闭环传递函数G(s)1G(s)1002s10s100s(D.k+1)-I1-图3-17控制系统结构图tp10210=0.5JI-71-0363.1-n一1-0.521022=eW=.5必皿2=16.3%ts3.53.50.5100.7：s)10K2_s10s10Kl:：n=10K_10/r10K令t=0.707得k=100*2=5410图3-1S程序t=0:0.01:2:r=ones(size(t):nl=10:dl=0.11oj;numden=doop(nldl):c=step(num:dent):xlabelCt(s)sy1abel(h(tj)；grid：例3-6系统结构图如图3-19所示。求开环增益K分别为10,0.5,0.09时系统的动态性能指标。解当K=10,K=0.5时，系统为欠阻尼状态，当K=0.09时，系统为过阻尼状态，应按相应的公式计算系统的动态指标，列表计算，见表3-4。图3-20(a),(b)分别给出了不同K值时的系统的极点分布和相应的单位阶跃响应曲线。可见，调整系统参数可以使系统动态性能有所改善，但改善的程度有限；而且，改善动态性能和改善稳态性能对K的要求相互矛盾，一般只能综合考虑，取折中方案。用后面介绍的速度反馈或比例加微分控制可以进一步提高系统的动态性能。图3-19控制系统结构图-2ro.5-1=0.09(a)图3-20K=10,0.5,0.09时系统极点的分布及单位阶跃响应表3-4例3-6的计算结果计算100.50.09卅环传递函数10Gi(s)=s(s+1)G2(s)=05-s(s+1)G3(s)=*s(s+1)闭环传递函数2、10中1(s)2.-s+s+10小，、0.5中2(s)=2s+s+0.5中3(s)=s+s+0.09特征参数&=而=3.16催1拦=0.1582X3.16E=arccost=814&=705=0.707此1化=0.7072X0.707P=arccos&=45。&=70两=0.31止=1.671.2x0.3特征根扁,2=-0.5j3.12扁2=-0.5土j0.5pj=-0.1:L=10=-0.9%2=1.11动态性能指标ttIn，一p-，et1.01er%=e一打*兰=60.4003.57/sE,兀tp-厂所一6.238o%=e=5%3.5ts=7s如n11兀=9ts=(tsT1)T=31tp=*CT%=0例3-6程序t=0).2:25;Ch=;K=100,50.09;rh=ones(size(t);for1=1:3nl=KQ);dl=110;numden=doop(nl,dl);ch=step(num.den_t):Ch=Chch:endplot(t,Ch(:Ji，LCh(:.2X?X35abel(h(t);grid;例3-7二阶系统的结构图及单位阶跃响应分别如图3-21(a),(b)所示。试确定系统参数K1,K2,a的值。3-21系统结构图及单位阶跃啊应解由系统结构图可得：(s)二K1K22sasK2由单位阶跃响应曲线有h(二)=2联立求解得K22.na-2w:n(3-15)KlK2,2K1sasK2tp二二0.75P.1-0山冲泌2OK=0.608S=5.278将式(3-17)代入式(3-15)得”K2=5.2782=27.85(nunidenht):plorftiLr-Xys,b-Xon:endxlabeKT)；ylabel(k(t)h);grid;pause(2);oclft=0:0.01:20;u=t；ks=0.10.30-50.712:omn=1;figure;fori=1：length(ks)num=ormi*omn;den=I2*ks*omnonui*omn;y=IsimCnunidaLiLt)!plot(tiLr-r人黑b);holdon;endxlabeXt或地);grid；3.3.4改善二阶系统动态性能的措施采用测速反馈和比例加微分控制方式，可以有效改善二阶系统的动态性能。例3-8在如图3-22（a）所示系统中，分别采用测速反馈和比例加微分控制，系统结构图分别如图3-22（b）和（c）所示。其中心=0.216。分别写出它们各自的开环传递函数、闭环传递函数，计算出动态性能指标（。%,ts）并进行对比分析。图3-22系统结构图解图3-22（a）、b）中的系统是典型欠阻尼二阶系统，其动态性能指标（任,ts）按式（3-13）、式（3-14）计算。而图3-22（c）表示的系统有一个闭环零点，不符合上述公式应用的条件。将各系统的性能指标的计算及比较列于表3-6中。图3-22所示的系统可以用表3-7中相应的公式（或用MATLAB）计算其动态性能指标。可以看出，采用测速反馈和比例加微分控制后，系统动态性能得到了明显改善。表3-6原系统、测速反馈和比例加微分控制方式下系统性能的计算及比较集统结构图图3-22(a)图3-22(b)图3-22(c)升环传递函数一、10Ga)(s)=s(s+1)闭环传递函数木,10中(a)(s)2s+s+1010(b)(s)-s2+(1+10Kt)s+1010(Kts+1)中(c)(s)=s十(1+10Kt)s+10系统参数0.1580.50.5与n3.163.163.16开环零点-4.63-4.63极点0,-10,-10,-1环零点-4.63极点-0.5+j3.12-1.58+j2.74-1.58+j2.74动态性能tp1.011.151.05a0060%16.3%23%ts72.22.1从物理本质上讲，图3-22(b)系统引入速度反馈，相当于增加了系统的阻尼，使系统的振荡性得到抑制，超调量减小；图3-22(c)所示系统采用了比例加微分控制，微分信号有超前性,相当于系统的调节作用提前，阻止了系统的过调。相对于原系统而言，两种方法均可以改善系统的动态性能。实际使用中，比例加微分装置一般串联在前向通道信号功率较弱的地方，需要放大器进行信号放大；而反馈则是从大功率的输出端反馈到前端信号较弱的地方，一般不需要信号放大。从效果上看，由于比例加微分环节是高通滤波器，会放大噪声，影响系统正常工作；而测速反馈不会有这样的问题。从经济角度考虑，比例加微分实现简单，费用低;测速反馈装置价格高。实际采用哪一种方法，应根据具体情况适当选择。1.加开环零点对系统动态性能的影响3-23)。显然,图3-22(b)所示系统闭环极点b)较图3-22(a)所示系统闭环极点九(a)远离虚轴(相应调节时间ts小)，且比较图3-22(a)和(b)所示两系统的开环传递函数可以看出，后者比前者多一个开环零点,因而影响了系统的闭环特征多项式，改变了闭环极点的位置(见图例3-8程序t=0:0.1:12;r=ones(size(t)5om=l:ks=0.5;numFj=10;denFa=l110:ca=step(numFa7denFa;i)inumFb=10:denFb=l3.1610;cb=siepinumFb.denFbnt)cnumFc-|2.1t(t,r:r-1上cO,hm-h上cab-h上k-1Xseffab/LmeWidliiJ5)=制abdq*ts),ylabd(h(t)paused),园成，同时附加闭环零极点的影响Lgrid；60