本科高等数学教学大纲

本科高等数学教学大纲适用层次：本科适用专业：工科各专业适用学时：160-190学时本课程教学大纲是根据我校2000年以来的教学计划而制定的。一、课程的性质、目的和任务高等数学是高等院校理工科各专业必修的一门很重要的公共基础课，是为培养适应社会现代化建设的新型技术人才服务的。通过本课程的教学，使学生在高中的基础上较系统地获得高等数学方面的知识，为学习专业技术和后继课程奠定必要的坚实的数学基础。在教学过程中培养学生的逻辑推理能力，空间想象能力，抽象思维与创造性思维的能力，以及熟练的运算能力，特别是综合应用所学数学知识和方法去分析和解决实际问题的能力，增强学生的数学素养，使其成为掌握现代科学技术的有用之材。二、课程的基本要求要求考生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、分析归纳能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。三、课程的教学内容（一）函数、极限、连续函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性,复合函数、反函数、分段函数和隐函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数简单应用问题的函数关系的建立.数列极限与函数极限的定义以及它们的性质,函数的左极限与右极限,无穷小和无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较.极限的四则运算,极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则,两个重要极限：.函数连续的概念,函数间断点的类型,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质.（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。（二）一元函数微分学导数和微分的概念,导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系.平面曲线的切线和法线.基本初等函数的导数,导数和微分的四则运算,复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法,高阶导数的概念,某些简单函数的n阶导数.一阶微分形式的不变性,微分在近似计算中的应用,罗尔（ROll）定理,拉格朗日（lagrange）中值定理,柯西（Cauchy）中值定理,泰勒（Taylor）定理,洛必达（LHospital）法则.函数的极值及其求法,函数单调性,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线,函数图形的描绘.函数最大值和最小值的求法及简单应用.弧微分曲率的概念,曲率半径。（三）一元函数积分学原函数和不定积分的概念,不定积分的基本性质,基本积分公式,定积分的概念和基本性质,定积分中值定理,变上限定积分定义的函数及其导数.牛顿一莱布尼茨（NewtonLeibniz）公式,不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法,有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.广义积分的概念和计算.定积分的应用（四）向量代数和空间解析几何向量的概念,向量的线性运算,向量的数量积和向量积的概念及运算向量的混合积.两向量垂直、平行的条件,两向量的夹角,向量的坐标表达式及其运算.单位向量,方向数与方向余弦.曲面方程和空间曲线方程的概念,平面方程、直线方程.平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角,点到平面和点到直线的距离.球面,母线平行于坐标轴的柱面,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程,常用的二次曲面方程及其图形,空间曲线的参数方程和一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.（五）多元函数微分学多元函数的概念,二元函数的几何意义,二元函数的极限和连续的概念,有界闭区域上多元连续函数的性质.多元函数偏导数和全微分的概念,全微分存在的必要条件和充分条件,全微分在近似计算中的应用.多元复合函数、隐函数的求导法,二阶偏导数方向导数和梯度的概念及其计算,空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线.多元函数极值和条件极值的概念,多元函数极值的必要条件,二元函数极值的充分条件,极值的求法,拉格朗日乘数法,多元函数的最大值、最小值及其简单应用.（六）多元函数积分学二重积分、三重积分的概念及性质,二重积分与三重积分的计算和应用.两类曲线积分的概念、性质及计算,两类曲线积分的关系,格林（Green）公式,平面曲线积分与路径无关的条件.已知全微分求原函数.两类曲面积分的概念、性质及计算,两类曲面积分的关系,高斯（Gauss）公式,斯托克斯（STOKES）公式,散度、旋度的概念及计算,曲线积分和曲面积分的应用.（七）无穷级数常数项级数的收敛与发散的概念,收敛级数的和的概念,级数的基本性质与收敛的必要条件,几何级数与p级数以及它们的收敛性.正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法.交错级数与莱布尼茨定理,任意项级数的绝对收敛与条件收敛.函数项级数的收敛域与和函数的概念,幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域,幂级数的和函数,幂级数在其收敛区间内的基本性质,简单幂级数的和函数的求法.函数可展开为泰勒级数的充分必要条件, sinx、cosx、和的麦克劳林（Maclaurin）级数展开式.幂级数在近似计算中的应用.函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dlrichlei）定理,函数在-，上的傅里叶级数,函数在，上的正弦级数和余弦级数（八）常微分方程常微分方程的概念,微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解.变量可分离的方程,齐次方程,一阶线性方程,伯努利（Bernoulli）方程,全微分方程,可用简单的变量代换求解的某些微分方程,可降阶的高阶微分方程.线性微分方程解的性质及解的结构定理,二阶常系数齐次线性微分方程,高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程,简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,微分方程的幂级数解法,微分方程（或方程组）的简单应用问题.四、教学的基本要求（一）函数、极限与连续1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形5、会建立简单应用问题中的函数关系式6、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系7、掌握极限的性质及四则运算法则8、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法9、理解无穷小无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限10、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质（二）一元函数微分学1理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用3了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数4会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数5理解并会用罗尔定理。拉格朗日中值定理和泰勒定理6了解并会用柯西中值定理7理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用8会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形9掌握用洛必达法则求未定式极限的方法10了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。（三）一元函数积分学1理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念2掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法3会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分4理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式5了解广义积分的概念并会计算广义积分6掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）（四）向量代数和空间解析几何1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。3掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。4掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交 等）解决有关问题。5理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。6了解空间曲线的参数方程和一般方程。7.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。（五）多元函数微分学1理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。4理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5掌握多元复合函数偏导数的求法。6会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。（六）多元函数积分学1理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。3理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4掌握计算两类曲线积分的方法。5掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。6了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。7了解散度与旋度的概念，并会计算。8会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。（七）无穷级数1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积 分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数， 并会由此求出某些数项级数的和。9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10掌握、sinx、cosx、和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11了解幂级数在近似计算上的简单应用。12了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在-，上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。（八）常微分方程1了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念2掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法3会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4会用降阶法解下列类型方程：5理解线性微分方程解的性质及解的结构定理6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程，7会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解8了解微分方程的幂级数解法。9会用微分方程解决一些简单的应用问题五 学时分配序号教学内容学时一函数极限连续10-14二导数与微分12-14三中值定理与导数应用12-16四不定积分8-10五定积分10-12六定积分的应用5-8七空间解析几何与向量代数12-14八多元函数微分法及其应用18九重积分14十曲线积分与曲面积分12-14十一无穷级数16-18十二微分方程16-18十三数学实验15-20总计160-190六、教学大纲的说明1、对概念、理论的要求从高到低用“理解”、“了解”二级区分。对运算、方法的要求从高到低用“掌握”、“会”二级区分。2、大纲适合我校理工科专业，可根据不同专业课和后继课程的不同需要，在内容的选取上有所择重或取舍。3、建议学时总数为160-186课时，分为上、下两学期完成。4、教材及主要参考书（1）高等数学（第五版）同济大学数学教研室编，高等教育出版社（2）高等数学上、下册，李中编，“十五”国家级规划教材（3）大学数学微积分，杜忠复编，“十五”国家规划课题研究成果（4）高等数学习题全解指南同济大学编