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.第二讲 法拉第电磁感应定律的综合应用一、电磁感应中的动力学问题F=BIL界状态v与a方向关系运动状态的分析a变化情况F=ma合外力运动导体所受的安培力感应电流确定电源E,r这类问题覆盖面广,题型也多种多样；但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态,如速度、加速度取最大值或最小值的条件等,基本思路是：例1如图所示,AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨,两导轨间的距离为L,导轨平面与水平面的夹角为,在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场,磁感应强度为B,在导轨的 AC端连接一个阻值为 R的电阻,一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab,从静止开始沿导轨下滑,求此过程中ab棒的最大速度。已知ab与导轨间的动摩擦因数为,导轨和金属棒的电阻都不计。解析ab沿导轨下滑过程中受四个力作用,即重力mg,支持力FN 、摩擦力Ff和安培力F安,如图所示,ab由静止开始下滑后,将是为增大符号,所以这是个变加速过程,当加速度减到a=0时,其速度即增到最大v=vm,此时必将处于平衡状态,以后将以vm匀速下滑ab下滑时因切割磁感线,要产生感应电动势,根据电磁感应定律： E=BLv 闭合电路ACba中将产生感应电流,根据闭合电路欧姆定律： I=E/R 据右手定则可判定感应电流方向为aAC ba,再据左手定则判断它受的安培力F安方向如图示,其大小为：F安=BIL取平行和垂直导轨的两个方向对ab所受的力进行正交分解,应有：FN = mgcos Ff= mgcos由可得以ab为研究对象,根据牛顿第二定律应有：mgsinmgcos-=maab做加速度减小的变加速运动,当a=0时速度达最大因此,ab达到vm时应有：mgsinmgcos-=0由式可解得例2如图,两根足够长的金属导轨ab、cd竖直放置,导轨间距离为L,电阻不计。在导轨上端并接两个额定功率均为P、电阻均为R的小灯泡。整个系统置于匀强磁场中,磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。现将一质量为m、电阻可以忽略的金属棒MN从图示位置由静止开始释放。金属棒下落过程中保持水平,且与导轨接触良好。已知某时刻后两灯泡保持正常发光。重力加速度为g。求： 1磁感应强度的大小； 2灯泡正常发光时导体棒的运动速率。解析1设小灯泡的额定电流为I0,有由题意,在金属棒沿导轨竖直下落的某时刻后,小灯泡保持正常发光,流经MN的电流为此时金属棒MN所受的重力和安培力相等,下落的速度达到最大值,有联立式得 2设灯泡正常发光时,导体棒的速率为v,由电磁感应定律与欧姆定律得联立式得答案12例3如图所示,长平行导轨PQ、MN光滑,相距m,处在同一水平面中,磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面横跨在导轨上的直导线ab的质量m =0.1kg、电阻R =0.8,导轨电阻不计导轨间通过开关S将电动势E =1.5V、内电阻r =0.2的电池接在M、P两端,试计算分析：1在开关S刚闭合的初始时刻,导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？2在闭合开关S后,怎样才能使ab以恒定的速度 =7.5m/s沿导轨向右运动？解析1在S刚闭合的瞬间,导线ab速度为零,没有电磁感应现象,由a到b的电流,ab受安培力水平向右,此时瞬时加速度ab运动起来且将发生电磁感应现象ab向右运动的速度为时,感应电动势,根据右手定则,ab上的感应电动势a端电势比b端高在闭合电路中与电池电动势相反电路中的电流顺时针方向,将减小小于I0=1.5A,ab所受的向右的安培力随之减小,加速度也减小尽管加速度减小,速度还是在增大,感应电动势E随速度的增大而增大,电路中电流进一步减小,安培力、加速度也随之进一步减小,当感应电动势与电池电动势E相等时,电路中电流为零,ab所受安培力、加速度也为零,这时ab的速度达到最大值,随后则以最大速度继续向右做匀速运动设最终达到的最大速度为m,根据上述分析可知：所以m/s=3.75m/s2如果ab以恒定速度m/s向右沿导轨运动,则ab中感应电动势V=3V由于,这时闭合电路中电流方向为逆时针方向,大小为：A=1.5A直导线ab中的电流由b到a,根据左手定则,磁场对ab有水平向左的安培力作用,大小为N=0.6N所以要使ab以恒定速度m/s向右运动,必须有水平向右的恒力N作用于ab二、电磁感应中的能量问题无论是使闭合回路的磁通量发生变化,还是使闭合回路的部分导体切割磁感线,都要消耗其它形式的能量,转化为回路中的电能。这个过程不仅体现了能量的转化,而且保持守恒,使我们进一步认识包含电和磁在内的能量的转化和守恒定律的普遍性。分析问题时,应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律,分析清楚有哪些力做功,就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化,如有摩擦力做功,必然有内能出现；重力做功,就可能有机械能参与转化；安培力做负功就将其它形式能转化为电能,做正功将电能转化为其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解。例4如图所示,两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距离为l=0.5m,其电阻不计,两导轨及其构成的平面均与水平面成30角。完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置,每棒两端都与导轨始终有良好接触,已知两棒质量均为m=0.02kg,电阻均为R=0.1,整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度B=0.2T,棒ab在平行于导轨向上的力F作用下,沿导轨向上匀速运动,而棒cd恰好能够保持静止。取g=10m/s2,问：1通过棒cd的电流I是多少,方向如何？2棒ab受到的力F多大？3棒cd每产生Q=0.1J的热量,力F做的功W是多少？解析1棒cd受到的安培力棒cd在共点力作用下平衡,则由式,代入数据得I=1A根据楞次定律可知,棒cd中的电流方向由d至c2棒ab与棒cd受到的安培力大小相等Fab=Fcd对棒ab,由共点力平衡知代入数据解得F=0.2N3设在时间t内棒cd产生Q=0.1J热量,由焦耳定律知Q=I2Rt设棒ab匀速运动的速度大小为v,其产生的感应电动势E=Blv由闭合电路欧姆定律知I由运动学公式知在时间t内,棒ab沿导轨的位移x=vt力F做的功W=Fx综合上述各式,代入数据解得W=0.4J答案11A由d至c 20.2N 30.4J例5如图,在水平面上有两条平行导电导轨、,导轨间距离为,匀强磁场垂直于导轨所在的平面纸面向里,磁感应强度的大小为,两根金属杆1、2摆在导轨上,与导轨垂直,它们的质量和电阻分别为和、,两杆与导轨接触良好,与导轨间的动摩擦因数为,已知：杆1被外力拖动,以恒定的速度沿导轨运动；达到稳定状态时,杆2也以恒定速度沿导轨运动,导轨的电阻可忽略,求此时杆2克服摩擦力做功的功率。解析解法一：设杆2的运动速度为v,由于两杆运动时,两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化,产生感应电动势 感应电流 杆2作匀速运动,它受到的安培力等于它受到的摩擦力,则导体杆2克服摩擦力做功的功率 解得解法二：以F表示拖动杆1的外力,以I表示由杆1、杆2和导轨构成的回路中的电流,达到稳定时对杆1有 对杆2有 外力F的功率 以P表示杆2克服摩擦力做功的功率,则有 由以上各式得 答案三、电磁感应中的电量问题根据法拉第电磁感应定律,在电磁感应现象中,只要穿过闭合电路的磁通量发生变化,闭合电路中就会产生感应电流。设在时间内通过导线截面的电量为,则根据电流定义式及法拉第电磁感应定律,得：如果闭合电路是一个单匝线圈,则.上式中为线圈的匝数,为磁通量的变化量,R为闭合电路的总电阻。可见,在电磁感应现象中,只要穿过闭合电路的磁通量发生变化,闭合电路中就会产生感应电流,在时间内通过导线截面的电量仅由线圈的匝数、磁通量的变化量和闭合电路的电阻R决定,与发生磁通量的变化量的时间无关。因此,要快速求得通过导体横截面积的电量,关键是正确求得磁通量的变化量。磁通量的变化量是指穿过某一面积末时刻的磁通量与穿过这一面积初时刻的磁通量之差,即。在计算时,通常只取其绝对值,如果与反向,那么与的符号相反。线圈在匀强磁场中转动,产生交变电流,在一个周期内穿过线圈的磁通量的变化量=0,故通过线圈的电量q=0。穿过闭合电路磁通量变化的形式一般有下列几种情况：1闭合电路的面积在垂直于磁场方向上的分量S不变,磁感应强度B发生变化时,；2磁感应强度B不变,闭合电路的面积在垂直于磁场方向上的分量S发生变化时,；3磁感应强度B与闭合电路的面积在垂直于磁场方向的分量S均发生变化时,。下面举例说明：例6如图所示,闭合导线框的质量可以忽略不计,将它从如图所示的位置匀速拉出匀强磁场。若第一次用0.3s时间拉出,外力所做的功为,通过导线截面的电量为；第二次用时间拉出,外力所做的功为,通过导线截面的电量为,则A. B. C. D. 解析：设线框长为L1,宽为L2,第一次拉出速度为V1,第二次拉出速度为V2,则V1=3V2。匀速拉出磁场时,外力所做的功恰等于克服安培力所做的功,有,同理 ,故W1W2；又由于线框两次拉出过程中,磁通量的变化量相等,即,由,得：故正确答案为选项C。例7如图所示,空间存在垂直于纸面的均匀磁场,在半径为的圆形区域内部及外部,磁场方向相反,磁感应强度的大小均为B。一半径为,电阻为R的圆形导线环放置在纸面内,其圆心与圆形区域的中心重合。当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中,通过导线截面的电量_。解析：由题意知：,由例8如图所示,平行导轨置于磁感应强度为B的匀强磁场中方向向里,间距为L,左端电阻为R,其余电阻不计,导轨右端接一电容为C的电容器。现有一长2L的金属棒ab放在导轨上,ab以a为轴以角速度顺时针转过90的过程中,通过R的电量为多少？解析1由ab棒以a为轴旋转到b端脱离导轨的过程中,产生的感应电动势一直增大,对C不断充电,同时又与R构成闭合回路。ab产生感应电动势的平均值表示ab扫过的三角形的面积,即通过R的电量由以上三式解得在这一过程中电容器充电的总电量Q=CUmUm为ab棒在转动过程中产生的感应电动势的最大值。即联立得：2当ab棒脱离导轨后电容器对R放电,通过R的电量为 Q2,所以整个过程中通过 R的总电量为： Q=Q1Q2=四、电磁感应中的图象问题1、定性或定量地表示出所研究问题的函数关系2、在图象中E、I、B等物理量的方向是通过正负值来反映3、画图象时要注意横、纵坐标的单位长度定义或表达例9匀强磁场磁感应强度B = 0.2T,磁场宽度L = 3m,一正方形金属框边长ab = l = 1m,每边电阻r = 0.2, 金属框以v = 10m/s的速度匀速穿过磁场区,其平面始终保持与磁感线方向垂直,如图所示,求：1画出金属线框穿过磁场区的过程中,金属框内感应电流的I-t图像。2画出ab两端电压的Ut图像。解析1线框进入磁场区时,方向为逆时针,如图实线abcd所示,感应电流持续时间线框在磁场中运动时,无电流的持续时间线框穿出场区时,此电流为顺时针方向,如图虚线abcd所示。若规定电流方向逆时针为正,则I-t图线如图所示：2线框进入磁场区ab两端的电压U1 = I1r = 0.5V,线框在磁场中运动时,ab两端的电压等于感应电动势U2 = Blv = 2V, 线框出磁场时ab两端的电压,由此得U-I图线如图所示。答案如上图所示。二、变B型例9如图甲所示,在水平面上固定有长为m、宽为m的金属U型导轨,在U型导轨右侧m范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场,且磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。在时刻,质量为kg的导体棒以v0=1m/s的初速度从导轨的左端开始向右运动,导体棒与导轨之间的动摩擦因数为,导轨与导体棒单位长度的电阻均为/m,不计导体棒与导轨之间的接触电阻及地球磁场的影响取m/s2。1通过计算分析4s内导体棒的运动情况；2计算4s内回路中电流的大小,并判断电流方向；3计算4s内回路产生的焦耳热。解析1导体棒先在无磁场区域做匀减速运动,有代入数据解得,导体棒没有进入磁场区域。导体棒在1s末已停止运动,以后一直保持静止,离左端位置仍为 2前磁通量不变,回路电动势和电流分别为后回路产生的电动势为V回路的总长度为5m,因此回路的总电阻为电流为A根据楞次定律可知在回路中的电流方向是顺时针方向 3前2s电流为零,后2s有恒定电流,焦耳热为J答案1导体棒先在无磁场区域做匀减速运动,在1s末已停止运动,以后一直保持静止,离左端位置仍为0.5m； 20.2A顺时针方向 30.04J例9在竖直向上的匀强磁场中,水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈,规定线圈中感应电流的正方向如图1所示,当磁场的磁感应强度B随时间t如图2变化时,下图中正确表示线圈中感应电动势E变化的是答案A三、转动型例9如图所示,一导体圆环位于纸面内,O为圆心。环内两个圆心角为90的扇形区域内分别有匀强磁场,两磁场磁感应强度的大小相等,方向相反且均与纸面垂直。导体杆OM可绕O转动,M端通过滑动触点与圆环良好接触。在圆心和圆环间连有电阻R。杆OM以匀角速度逆时针转动,t=0时恰好在图示位置。规定从a到b流经电阻R的电流方向为正,圆环和导体杆的电阻忽略不计,则杆从t=0开始转动一周的过程中,电流随变化的图象是 解析依据右手定则,可知在0内,电流方向M到O,在在电阻R内则是由b到a,为负值,且大小为为一定值,内没有感应电流,内电流的方向相反,即沿正方向,内没有感应电流,因此C正确。答案C.
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