解析几何与平面向量问题

解析几何与平面向量问题2_. _ _ x【例1】已知椭圆C : -2 a2、 1 (a b 0)的左，右焦点分别为F1，F2,点P是椭圆上异于长轴端点的任 b2意一点，若M是线段uuuu uuuu uur uuuPF1 上一点，且满足 MR 2PM,MF2 OP0 ,则椭圆离心率的取值范围为【举一反三】1.已知双曲线2E：x2a2 y b21(a 0,b0)的右顶点为A,抛物线C2:y 8ax的焦点为F .若在E的渐近线上存在点uuuFP ,则E的离心率的取值范围是(A.1,2d 3 .2B.1,4C.31f4D.2,2.已知圆Ci :22(x 5) y 1C2： (x 5)2 y2225 ,动圆C满足与Ci外切且C2与内切，若M为Ci上的动点，且uuuu uuuirCM C1M0,uuuv CM的最小值为(A. 2拒B. 273C. 43.过双曲线?- ?= ?(? ? ?的左焦点?(-?) (? ?)作倾余好!为卯直线？?？该双曲线右支? 一于点？若将?!以您?+廨?，且耀2?=?则双曲线的离心率为【例2】已知圆c ： x2y2 1,点P x0,y0是直线l： 3x 2y 4 0上的动点，若在圆 C上总存在不同uuu的两点A, B使得OAuuu uur OB OP ,则x0的取值范围是【举一反三】21.已知抛物线C: x2py的焦点为F，点A(1,0),直线FA与抛物线C交于点P ( P在第象限内)，与其准线交于点Q,uur 若PQ.一 uuu 2FP ,则点p到y轴距离为()B.2.2C. 372 1D. 372 22.已知A, B,P为双曲线2x2 1上不同三点，且满足 4urnPAuuurPBuuur2PO （ O为坐标原点），直线PA, PB的斜率记为2的最小值为（4B.C.D.13.双曲线2 y_ b20, b0）的左右焦点为Fi渐近线分别为11, I2,过点F1且与11垂直的直线分别交l1及l2于P ,uuur 1 uuur若满足OP - OF1 2uuu1 1OQ,则双曲线的离心率为（C. 2uuu【例3】 已知对任意平面向量 ABx, y，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量umrAP xcos ysin ,xsin ycos,叫做把点B绕点A逆时针方向旋转设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x242 ,则原来曲线C的方程是C. y222D. y x【举一反三】1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C,其左右焦点分别是 Fi,F2,已知点M的uuv uuuv坐标为（2,1），双曲线C上的点 P(X0,y0)(X0 0, y() 0)满足PF1 MF11yutiV |PF1uuuv uuuvF2F1 MF1-Fuv，则 S PMF1 S PMF2B. 4C. 1D.12.直角坐标系 如7中，已知两点4（2, D,网4, S）,点。满足也？=北方十位帚，其中猫H ER,且1 .则点。的轨迹方程为（）A. y-23f-5 b , y = x+l C. * 4 2V=9 D.0一3尸 + 你-3尸=522【例4】设F1, F2分别是椭圆C: a b1（a b 0）的左、右焦点，直线l过Fi交椭圆C于A, B两CF1F230,则椭圆的离心率为imr 3 uuur点，交y轴于C点，若满足FC - AF1且21C. 一3D.【举一反三】1.如图，椭圆的中心在坐标原点， 焦点在x轴上，Ai, A2, Bi,B2为椭圆的顶点,F2为右焦点，延长B1F2与AB2交于点P ,若 B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（5 1C.0,2D.5 1/，12.已知点F是双曲线y b21(a 0,b0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A, B两点，若 ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A,1,B,1,2C, 1,1 &D,2,22【例6】如图，椭圆c：0 1 a 2 ,圆O:x2 y2 a2 4,椭圆C的左右焦点分别为 FP F2, a 4过椭圆上一点 P和原点O作直线l交圆O于M ,N两点，若 PF1 PF26 ,则PM PN的值为c在满足（3a + -刁=0 ,均能【举一反三】1.已知E是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量使P -向三点成立，则1fc的最小值是 三.强化训练一、选择题1.已知过点 0,1的直线与圆x2y2uuv uuv4相交于A、B两点，若OA OBuuvOP ,则点P的轨迹方程是221.2, 2,A. x y -1 B. x y 1122_21_2，2C. x y -2 D. x y 1222.已知耳、弓分别为双曲线立一亡=1的左、右焦点,4-6明为双曲线右支上一点且满足 丽就二0 ,若直线M玛与双曲线的另一个交点为 加，则的面积为（）B. 122C. 24D. 24723.22F1 , F2 是双曲线一2221 aa b0,b 0的左右焦点，若双曲线上存在点uuu uuuuP 满足 PF1 PF2a2,则双曲线离心率的取值范围为（）A .V3,B.氏+C . 1, +24.已知直线l过抛物线C : y23x的焦点F ,交C于A，B两点，交C的准线于点uuvP，右 AFuuvFP，则 AB ()A. 3B. 4C. 6D, 85.已知直线1过抛物线。：尸=的焦点F ,交。于且5两点，交C的准线于点F若AF = FP,且=A. 2B. 3D. 86.已知双曲线41 （ a 0 , b 0）的左、右焦点分别为F1、F2 ,过点Fi作圆：x2 y2 b2的切线l ,切点为M ,且直线l与双曲线C的一个交点N满足NF1 NF2 2a,设O为坐标原点，若uuv uuuv uuuvQN OF1 20M ,则双曲线C的渐近线方程为()A . yX- xB. yV3xC. yX- xD. yJXx7 .已知双曲线= O.i 的左、右焦点为昂、玛，双曲线上的点?满足4|而 + 丽I皂第福I 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是()A.ICWM：B.N：C, KeD.把 W：8 .已知后，后分别是双曲线一第=1色，05= 0)的左、右焦点，过点后的直线交双曲线C的右支于产，Q两点，且(讦 + 康),而=1过双曲线。的右顶点作平行于双曲线 C的一条渐近线的直线t,若直线I交线段PQ于点M,且|QM| = 3FAf|,则双曲线C的离心率e二( -5A. 2B .串与C. 9.如图，抛物线J：好=4比，圆J：尸+ = 1,过JB, C, R若|产到 三国5|,白为坐标原点，则。( ) rr飞 A. -2B. 1C. 4. x2 y2 .4 + ,10.已知双曲线 匕 1 (a0, b0)的离心率为2, Fia buur uuuu0), N (0, b),点P为线段MN上的动点，当PF1 PF2取得最力皿S2S2,则-=() S1A. 2mB. 4C. 4石11.已知动直线l与圆x2 y2 4相交于A, B两点，且满足)3 D-2焦点严的直线从上至下依次交Q G于点A ,D. 2小F2分别是双曲线的左、右焦点，点M (-a,、值和取大值时， HFiF?的面积分别为 Si,D. 8AB 2 ,点C为直线l上一点，且满足uuv 5 uuvUILUV umvCB 5CA,若M为线段AB的中点，。为坐标原点，则 0coM的值为（）2A. 3B, 243C. 2D. -312 .已知乩瓦仃为椭圆十丁子二1上三个不同的点，。为坐标原点，若 M+OK+OC = 0,则3INC的面积二、填空题13 .正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,动点P满足丽| =今 其中m、n R，则等的最大值是2y 9 0上一动点，过点P向圆C引两条切线22.一14 .已知圆C:(x 2) (y 1)1,点P为直线xPA, PB ,其中A, B为切点，则UUA?PUU的取值范围为15.如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知点O （0,UUU UUUUH （4, 2）.线段OM上的动点A满足OA OM0), M (-4, 0), N (4, 0),P (0,-2), Q (0, 2),01;线段HN上的动点he uuruur +B满足HBHN .直线PA与直线QB交于点L ,设直线PA的斜率记为k,直线QB的斜率记为k,则k?k的值为入变化时，动点L 一定在 （填圆、椭圆、双曲线、抛物线 ”之中的一个）上.h-I3uun uuu16 .已知点Q 0,5，若P、R分别是eO:x2 y2 4和直线y 尸上的动点，则QP QR的最小值为2217 .设F为双曲线C :将y2r 1 ( a 0 , ba b0）的右焦点，过F且斜率为旦的直线l与双曲线C的b两条渐近线分别交于A, B两点，且uuur uur| AF | 2 |BF | ,则双曲线C的离心率为18 .物线x2 2py(p 0)的焦点为F ,已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足 AFB 60,过弦uuu ABAB的中点C作该抛物线准线的垂线 CD ,垂足为D ,则-uttF的最小值为CD221 (a b 0)的左，右焦点分别为Fi, F2,点P【例1】(2020 湖北高考模拟(理)已知椭圆C：与 -y2 a buuuu uuur uuur uuu是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M是线段PF1上一点，且满足 MF1 2PM ,MF2 OP 0,则椭圆离心率的取值范围为 1【答案】(-,1)2 uuuu uuuu uuur 1 uuur 【解析】试题分析：由题意得，设 P(x, y),取MF1的中点N ,由MF1 2PM，则NF1 - PN ,解得2x c y uuuruuuuuuuruur皿uur点N(,-),又MF2OP0,所以MF2OP,由三角形的中位线可知ONOP，即(x, y) (c,-) 0,整理得(x c)23333y2 c2,所以点P的轨迹为以(c,0)为圆心，以c为半径的圆上,所以使得圆与椭圆有公共点，则【方法点晴】本题的解答中设出点c( c ,)3，所以椭圆的离心率为 e ( ,1).uuiruurP的坐标，取 MF1的中点N ,可转化为 ON OP，代入点的坐标，可得点P的轨迹方程，只需使得圆与椭圆有交点即可得到a,c的关系，求解椭圆离心率的取值范围【举一反三】22 x y,一 . 2 一 1.(2020南宁模拟)已知双曲线E：-r 4 1(a 0,b 0)的右顶点为 A,抛物线C:y 8ax的焦点为 a bF .若在E的渐近线上存在点 P ,使得APFP ,则E的离心率的取值范围是A.1,2B.3.24D.2,【答案】B【解析】由题意得，A a,0 ,F 2a,0 ,设P xo,bxo ,由AP FPr,得 auur uuirAP PF2c C 202 X0a3ax0 2a2 0,因为在E的渐近线上存在点 P,则 0 ,即 9a2 42c 2 C2a 2 a22299a 8c e -83.2e ，4又因为E为双曲线，则【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用,抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将uur uuuAP FP系用代数形式表示出来，即可得到一个二次方程，若要使得二次方程有实数解,0,水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键.2. （2020四川高考模拟（理）已知圆Ci ： （x 5）2 y2 1 , C2(x 5)2 y2 225,动圆C满足与Ci外切且C2与内切，若UULU ULULfM为Ci上的动点，且CM CiMuuuv0 ,则CM的最小值为（A. 2拒B. 273C. 4D. 2屈【答案】A220【解析】圆 Ci ： x 5 y2 1,圆 C2： x 5y2 225,动圆C满足与Ci外切且C2与内切，设圆C的半径为由题意得 CCi CC2(i r) (i5 r) i6,.则C的轨迹是以（5,0 , 5,0为焦点，长轴长为16的椭圆,2 y39uuw uuuuv1,因为 CM CiM0，uuuv CMXo225 y。12_x0 10x0 25 39 12Xo6425Xo 1oxo 64 1,Q 648Xo8,uuuv CMmin21o 864 1 2乏，选 A.642.其方程为土64uuuv即CM为圆Ci的切线，要CM的最小，只要 CCi最小，设M Xo,yo ,则3. （2020江西高考模拟（理）?)过双曲线?- ?= ?(? ? ?的左焦点？(-?)(? ?)作倾斜角为? 一建勺直线？?？该双曲线右支于点？若？需2 ?（?鬻?,且?？?=?则双曲线的离心率为【解析】试题分析：因为？?=?所以？? ?由题意/ ?W 故？?？ ?= ；?於御?仔？?？）?，?效?润中点,令右焦点为 ?,则？然?勺中点,则?= ? ?=?所以？?！? . ?!_? ?= ?.? ?+ ?= ? ?在？?？冲，?+ ?= ? 即(? ?+ ?= ?所以离心率？?= v?+ ?类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】(2020 江苏省如皋中学高考模拟)已知圆C : x21 ,点 P Xo, yo 是直线 l： 3x 2y 4 0上的动点,若在圆 C上总存在不同的两点uuuA, B使得0AuuuOBuuu 一OP ,则Xo的取值范围是c 240, 一13由在圆C上总存在不同的两点uuuA, B使得0AuurOBOp可知四边形OAPB是菱形，于是AB垂直平分OP .然后分类讨论：当直线AB的斜率为0时，此时在圆C上不存在不同的两点A, B满足条件.当直线AB的斜率不存在时，可得42P(,0),此时直线 AB方程为为x ,满足条件.当直线 AB的斜率存 33在且不为0时，利用AB OP, kOPy2-,可得直线AB方程为2xx 2yy y 0 ,圆心到直线 AB的 x距离d 收y21 ,即X2 y；24,再利用3X0 2y 4 0,即可解出所求范围.【详解】.在圆C上总存在不同的两点八 _ /a/曰 uuu uuu uuuA, B 使得 OA OB OP四边形OAPB是菱形，直线AB垂直平分OP.当直线AB的斜率为0时，由直线l：3x 2y 4 0得P(0, 2),此时在圆C上不存在不同的两点 A,B满足条件.42当直线AB的斜率不存在时，由直线l ：3x 2y 4 0可得P(,0),此时直线AB的方程为x -, 33满足条件.当直线AB的斜率存在且不为 0时，AB OP, G 组，出y。直线AB的方程为yo y万yox0x ，即 2xoX 2yy2y20,由题意得圆心到直线AB的距离4,2413又 3xo 2y0 4 0,2 - 13xo 24 xo 0 ,解得 0 x0,，-24、x0的取值氾围是（0,二石）,【点睛】解答本题的关键有两个：一个是根据题意得到四边形OAPB是菱形，于是 AB垂直平分OP,进而转化为坐标运算处理.二是针对直线AB的斜率的取值情况进行分类讨论，在每种情况下判断是否满足条件，最后将问题转化为圆心到直线的距离小于半径求解.考查转化和计算能力，具有综合性和难度.【举一反三】21. （2020四川高考模拟）已知抛物线C : x 2py p 0的焦点为F，点A（1,0）,直线FA与抛物线C交于点p（ p在第一象限内），与其准线交于点 Q,若PQ V2FP,则点p到y轴距离为（）A. 2拒 1B, 272 2C. 372 1D. 372 2【答案】B【解析】【分析】过点P作抛物线准线的垂线，垂足为 .根据三角形相似可得直线 FA的倾斜角为135 ,从而斜率为1,进而可求得p 2,于是可求得点 P的纵坐标，根据点 P在曲线上可得其横坐标，即为所求.【详解】由题意得抛物线的焦点为F 04 ,准线方程为v，设准线与yF1.过点P作抛物线准线的垂线，垂足为R,则 PPJ/ FF1,IQPJ 1QP1 2 |FP| |PPPQP145 ,，直线FA的倾斜角为135又由pp/ffi得也幽上，即明JL, |QF| |FFi| .2 122 1，|PR| 2 2 ,2 14 2,2.设 P x,y ,则 y 1 4 2夜,y 3 2.2 ,x2 4 3 2 .24 .2 1又点P在第一象限,22. （2020南充模拟）已知A,B, P为双曲线x2 4x 2 J2 12拒2 ,即点P到y轴距离为2 v2 2 .故选B-urn uuiu uur1上不同三点，且满足 PA PB 2PO （。为坐标原2点），直线PA, PB的斜率记为 m,n ,则m2 L的最小值为（）4A . 8 B. 4C. 2 D. 1【答案B【解析】日上4 +产8=2育点C?为级段的中点，设乂(内亚).尸(孙以则用卜所以蜉二箓，如i4 v故最小值为4.选B.【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率白为线段AB的中点，再求出直线 PA, PB斜率的表达式，223.( 2020江西高考模拟(理)双曲线-2 -yy 1 ( a a b为li , 12 ,过点Fl且与li垂直的直线分别交li及12于P , 的离心率为()A. 72B. 33C. 2【答案】C【解析】 22【详解】-2- -y2- 1 (a0, b0)的左右焦点为 F a b. F1 ( - c, 0), F2 (c, 0),双曲线的两条渐近线方程为 y bx, y bx, aa;过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P, Q.uur 1 Luur uuurOP -OF1 OQ , 22点P是线段F1Q的中点，且PF11OP,，过F1的直线PQ的斜率kPQ b，过F1的直线PQ的方程为：y a (x+c), bni 4 Y 4-i f勺计算公式，基本不等式等.首先得出原点算出mn为定值，再由基本不等式求出最小值.0, b 0)的左右焦点为F1, F2,渐近线分别uuu 1 LILT 1 uurQ两点，若满足OP -OF1 -OQ ,则双曲线 22D.展1, F2,tlx1- -= Ljc 一基= 1，优入上式中，有加时=.W M一 = 4/斤以照,+2Jm2- =jmm =4 ,by -x解方程组 a，得 p（ a_, ab）, c c.|PFi|=|PQ|=b, |PO|=a, |OFi|=|OF2|=|OQ|=c, |QF2|=2a,tan / QOF2一 ,cos/ QOF 2a222由余弦定理，得 cos/ QOF2 一c , 4a 12c2a2 a2 一，c c即 e2-e- 2=0,解得e= 2,或e= - 1 （舍）故选C.类型三将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】（2020荆州模拟）已知对任意平面向量uuruurAb x, y ,把ab绕其起点沿逆时针方向旋转角得到曰uuu向量 AP xcos ysin ,xsinycos ,叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点p .设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转程是（）一后得到点的轨迹是曲线4x2 y2 2 ,则原来曲线C的方22 一A. xy 1 B. xy 1 C. y x 222D. y x 1【解析】设平面内曲线 C上的点P x, y ,则其绕原点沿逆时针方向旋转一后得到点4P,2x2，丁点P在曲线x2 y22上,_22整理得xy 1 .故选A.【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点.主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查.求轨迹方程常用的方-的三法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等.本题主要是考查几何法中角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点P的轨迹方程.【举一反三】221. (2020武汉市实验学校高考模拟)以椭圆 y- 1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C95焦点分别是Fi,F2,已知点M的坐标为(2,1),双曲线C上的点P(xo, yo) (xo0, y00),uuv uuuvPF1 MF1-uuv-Puuuv uuuv F2E MF1 -uuuvF2F1,贝U S PMF1 S PMF2B. 4C. 1D. 1【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M是叶产2的内切圆的圆心，利用三角形面积计算公式计算即可.22椭圆二L95，其顶点坐标为(3,0)3,0),焦点坐标为(2,0)、 ( 2,0),，双曲线方程为2y51,Fi( 3,0), F2(3,0)uuuv uuuv PF1 MF1 uuuvPF1uuuuv uuuv F2F1 MF1 -uuuvF2F1uuuv uur uuuv,可得 MF1在PF1与F2F1方向上的投影相等,F1A |eb,MFiAMFiB, tanMAMF1A F1Atan PF1A251 -1252tan MF1A72 _71 tanMF1A5一 -，直线PFi的方程为y 一 (x 3) .即：5x 12y 15 0, 125_把它与双曲线联立可得 P(3,5 ,PF2 x轴，又tan MF2O 1,2所以 MF2O 45，即M是45干52的内切圆的圆心,Svpmfi Svpmf2 ；( PF1IIPF2)1 1 4 2.故选 A.2.直角坐标系 如7中，已知两点耻2, !),*明 S)，点。满足屁口水甫十就江，其中心HER,且.则点。的轨迹方程为()D.一3尸十0一37=5【答案】A【解析】由况=就+而正且入+早1,得标二无谓十！一处代=X4港一丽十裾, ，而一加二症，即前二尢式，则C、A、B三点共线.设C (x, y),则C在AB所在的直线上,-A (2, 1)、 B (4, 5), AB所在直线方程为 匕=T ,整理得：y二2犀一工 X 3 富一4故P的轨迹方程为：y = 2一着 故选：A.类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题22【例4】（2020兰州高考模拟（理）设Fi, F2分别是椭圆C:： 工 a b1（a b 0）的左、右焦点，直线UULTl过Fi交椭圆C于A , B两点，交y轴于C点，若满足FC3 uu1rAFi 且CF1F2230,则椭圆的离心率为（A夸B- Y【答案】A【解析】【分析】根据椭圆中线段关系，表示出求得a与c的关系，进而求得离心率.C.D.AF1 4y, FiF2 2c, AF2 2a生叵9 .由余弦定理即可 9922【详解】因为Fi是椭圆C : xy匕1（aa2 b2b 0）的左焦点，直线l过Fi交y轴于C点所以Fic,0因为 CFi F2 30,所以CFi2 3c3uuiv又因为FC3 uuivAFi2所以AFi在三角形AFiF2中，AFi运 JEF2 2c, AF2 94 3c2a -,根据余弦定理可得92 I 22cos AFiF2，代人得AFi2 AF22|AFi|FiF24 辰c 2 -473c2c2a 99,化简得a J3co 4.3c c2 2c9所以离心率为e 土立,所以选aa 3【举一反三】1 . （2020锦州一模）如图，椭圆的中心坐标原点，焦点在 x轴上，A,A2,Bi,B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长 B1F2与AB2交于点P,若B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（【答案】CUUJLW【解析】如图所示，B1PB2为A2B2与LUUUVLULU/AB?a,b , F24c, b , Q 向LULU/F2B1的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为，a,b,c,ULULV ULUIV24的夹角为钝角时，A2B2 F2B 0, ac b 0,又2a acc20a2 得 1 e e2 0 ,即 e2 e 1 0 ,解集,222b a c?又Q0 e0 e今，故选C.222 .已知点F是双曲线xy 1（a 0,b 0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的a b直线与双曲线交于 A, B两点，若 ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.1,B.1,2 C.1,1 72D.2,【答案】D【解析】如图艮据双曲线的那讨生可仙若山斯是钝用三角形，显然二43为钝他因此口回之口由于愈过左焦点且垂直于工轴J所以J f F 3 f , 矶口，则取二Y G 7 k J )I )(b2 二=L4： ,所以瓦4EB=r-4r0 J化简整理得：口(口 +4会所以I 口/Hc?-ac 0 ,两边同时除以门一得屯工0,解得a2类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题22【例6】如图，椭圆C : x2 y- 1 a 2 ,圆O : x2a 4y2a2 4,椭圆C的左右焦点分别为FF2,过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M ,N两点，若PFi PF26 ,则PM PN的值为【答案】6【解析】试题分析；由已知|知斗|即|=（尽_|。叶（火+尸|）=史_|。叶=健+ 4一|0司口用二|而f =：（质+愿二（丽二丽:21两11圈|cosZ711=所。时| 一时+时2防匡反”） X 1斗= （2a）1-2户司|朋卜;（孤?=/一2、所以忸M1松1 =（； +4）-（-2） = 6.故答案为6 .【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘.本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答.【举一反三】1. （2019上海市闵行区七宝中学高三）已知占16是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量?在满足（3a +君（“_钓=。,均能使任一切式也成立，则人的最小值是 .【解析】因为In 5是平面内两个互相垂直的单位向量,所以可设=口时与=（。/）上二口,回,3金4- F=住十3,yj,4 c =（一北 4 一加，又（3百4 5） .（4匕- 5） = ,a 如+ 3） +孤斗一方=0,2 25+()=彳它表示的圆心在解j 一次）,半径为1的圆,-臼表示圆上的点到 国0H;的距离,圆心M到点仪0工：的距离为d二逐要使c-b 即亘成立,即*的最小值是,故答案为强化训练、选择题【解析】,uuv 由OAuuv OB0,1x,的直线与圆1 B.A xby1 B4相交于A、B两点,C.X2,y20,11 k2uuv /日OP得x，yX1X2,Viy2x2 2kx 32kX2uuv uuv OA OB的直线为kx 1代入21 k2kxuuvOP ,则点P的轨迹方程是2D. X2k2， y1 k22_92 ,所以x21k22. （2020烟台市届高三高考一模）已知岂、居分别为双曲线=一三=1的左、右焦点，M为双曲线右支上一 D点且满足Mf；,M匕=0,若直线M后与双曲线的另一个交点为 贸,则dAf耳N的面积为（）B. 122C. 24D. 242【解析】设|融玛|二歌.耳、其分别为双曲线IMbl *的左、右焦点,(mn)3 = rrr -in2 - 21mli,即 2m = 40一16:24,解得 m = 6, n= 2,设博尊| =t,则g =即+/=4 + ,在 RtANMF.中可得4 += (t + 2)工丹 介 ,解得t =6,，4血月汛的面积=3界用“M&I =|X8X6 = 24.故选：C.0,b 0的左右焦点，若双曲线上存在uur uuur点P满足PFi PF2a2 ,则双曲线离心率的取值范围为（A.旧B,应 +C. 1,+)D., 1 U 1,223. （2020河南高考模拟（理）Fi, F2是双曲线 勺 4 1a a b【答案】B【解析】【分析】由题，PF1 m, PF2 n, F1PF2，先由双曲线的定义 m n 2a,再利用余弦定理cosm2 n2 4c2ULV ULLVm一n一0,由题意 PFi PF22mna2可得m4c2 2a2 ,最后再用c,n c a可得c、a的不等关系,可得离心率由题，取点 P为右支上的点，设PFi m,PF2n,F1PF2根据双曲线的定义知：m n 2a在三角形FiPF中，由余弦定理可得:cos22m n2mn4c2又因为ULLV UULUT2PFi PF2a可得mncos即m222_ 2n2 4c2 2a2又因为c,n c所以(c a)2(c a)2224c 2a2a2即 e2 2 e4. (2020山东高考模拟(理)已知直线l过抛物线c： y23x的焦点F ,交C于A, B两点，交C的ULUV uuvAF FP，则 AB (B. 4C. 6D. 8【分析】先求出抛物线的焦点及准线，由向量关系可得F是AP的中点，再利用三角形中位线求出点A到准线的距离，从而求出 A的坐标，进而确定直线 AF的方程，再联立直线与抛物线方程求出两交点横坐标之和，代入焦点弦|AB|为 x2 p求值.233【详解】如下图所不：不妨设 A在第一象限，由抛物线 C : y2 3x可得F(-,0)，准线DP:x 44ULUV UUV因为AFv第，所以F是AP的中点则AD2CF r 93.所以可得A(-4,则kAF邪,所以直线AP的方程为:J3(x 3)4联立方程疯x 4）整理得: 3x9016X22 yB止3,一 4 .选 B.21的焦点他交:于应悭点，交F的准线于点Q.【解析】结合题意，绘制图形，可知I回一;结合回 if,可知设冈,所以习解得冈卧故|q|设F的坐标为 时, 则A的坐标为力ik ,IWill fall BH. Ml IT工 K rwl,代入抛物线方程，得到 凶，解得百$故选B.抛物线方程，得到 因,解得回故选B.226.已知双曲线C： 、1（a 0,b 0）的左、右焦点分别为Fi、F2 ,过点Fi作圆：x2 y2 a2 b2的切线l ,切点为l与双曲线C的一个交点N满足NFiNF22a ,设O为坐标原点，若uuv uuuvQNOFiuuuv2OM ，则双曲线C的渐近线方程为（A-ynx2b. yC.,6x2D.y 6xuuv uuv【解析】Q ON PF1uuuv 2OMuuuz 故ONuuuvOMuuuvOMuuuvPFiuuuv 即MNuuuuvFM ,故点M为线段Fi N的中点,连接OM，则OM为NF1F2的中位线,且OM亘,OM 2FiN，故 NF22 OMF2N FiN,Q NFi股定理可得,NF1NF2 2a ,故点N在双曲线C的右支上,NFi则在RtNF1F2中，由勾NF2故双曲线C的渐近线方程为 yFiF2,6x27.（2020柳州市高考模拟）已知双曲线足回A .B.2即3a，故选C.22a22c ,解得-a.而il故国, a 2的左、右焦点为 正 双曲线上的点加恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（C.D.解析】: 国是瓦闻的边回人的中线，|因二1-冈 一” I，冈当且仅当|回婚4三点共线时等号成立.又区，国一二又回看. | H故离心率的取值范围为|回j.故选C .8. （2020葫芦岛市高三联考）已知 佳国别是双曲线 目的左、右焦点，过点 国的直线交双曲线 圈的右支于 事点，且|囚卜过双曲线阳的右顶点作平行于双曲线 电的一条渐近线的直线（,若直线心线段同p点m且回三三十则双曲线配的离心率向（）a上 b国 c R d.1【答案】C【解析】因为I因-所以 叵j已三三子 画工三号.,所以因为I冈 i咔 所以 正线段 目的中点.又直线 型双曲线网的右顶点且平行于双曲线 年的一条渐近线，化简可得因 -二,所以|回 所以|国*结合|因研得口 f本题选择C选项.9. （2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线 眩|国 T 圆Q： |回刁,过因焦点口的直线从上至下依次交 Q 口j点口 及 隹，口:若瓦三三土 曲坐标原点，则I区 111（）A. -2B. 1C. 4D-回【答案】B【解析】由题可设 A|习其中 a0,d 0, b0)的离心率为2, Fi, F2分别是双曲a b线的左、右焦点，点M (-a, 0), N (0, b),点P为线段 MN上的动点，当uur uurnPF1 PF2取得最小值和最大一 S2值时，APF1F2的面积分别为S1, S2,则丁 =() AA. 273B. 4C, 473D. 8【答案】B【解析】buuuv uuuv【分析】根据离心率求得日的值，由此求得线段 MN所在直线方程，设出 P点的坐标，代入 PF1PF2，利auuuv uuuuv用二次函数求最值的方法求得PF1 PF2取得最小值和最大值时对应的P点的纵坐标，根据面积公式求得面积的比值.【详解】由于双曲线的离心率为&jib2，故bBa,aa所以直线MN的方程为y J3 x a ,设 P t,而 J3ata,0 ,焦点坐标为 Fic,0 ,F2 c,0 ,uuuv将P, Fi, F2坐标代入PF1uuuvPF2并化简得4 t2313 2-a a，443由于t a,0 ,故当ta时取得最小值,4此时 yP 333 a73a a;44_S2,3a 4当t 0时取得最大值，此时 yp J3a .故W 73 4 .所以选B. a411. (2020四川石室中学高考模拟)已知动直线l与圆x2 y2 4相交于A，B两点，且满足 AB 2,uuv 5 UWuuuv uuuv点C为直线l上一点，且满足 CB 5CA,若M为线段AB的中点，O为坐标原点，则 0c 0M的值为()【解析】动直线l与圆O : x2 y2A. 3B. 273C. 2D. -34相交于A, B两点，且满足 AB 2,则VOAB为等边三角形，于是可设动直线l为y 用义2,根据题意可得B2,0 , A 1,V3 , M是线段AB的中点,33M 一，设 C x, y , 2 22 x, yx,13uuv 5 uuv.CB 5CA,2135 33uuuv uuuv OC OM1 5.33,可3 .32,-T15 一，-3,故选A.2 2已知区财的椭圆12.（2020桂林高三质检）上三个不同的点，中坐标原点，若回则回和面积为（）A君 .B.【解析】,与椭圆方程联立可得|国 一I | HM回国|Ml囚回一代入得回二国一a，故选C.二、填空题13. （2020上海市金山区高三）正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,动点P满足若【解析】，其中m、n R,则最大值是所以则 A ( 1, 1), B (1, -1), D ( 1,1), P(a(2, 0),出 (0, 2),IZJ E其几何意义为过点 E (- 3司 -2号与点P (sin cos 3的直线的斜率,设直线方程为y+2回 手(X+3回点P的轨迹方程为X2+y2=1,由直线与圆的位置关系有:解得:,即点P向圆C引两条切线囚加最大值是1,回回华，所以2)2 (y 1)2 1,点P为直线x 2y 9 0上一动点，过PA,PB,其中A,B为切点，则 黑？楮的取值范围为r uuu uuu uuu uuur222【解析】PA?PB = PA PB cos =(PC 1)(1 2sin -) (PC21)(12 PC)PC2223PC2因为圆心到直线的距离d 依，所以 PC 55, pc2 5, PC22PC2125PC2 5时取最，一 一 12小值。所以填 515. （2020北京高考模拟（理）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知点O(00)(4 0), N (4,0), P(0,-2), Q(0, 2),uuuH （4, 2）.线段OM上的动点A满足OAuuuinOM01;线段HN上的动点uuirB满足hbuuirHN 直线PA与直线QB交于点L ,设直线PA的斜率记为直线QB的斜率记为k?k的值为;当入变化时，动点L 一定在（填圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.殍【解析】1,双曲线4【分析】根据向量关系得到的坐标，再根据斜率公式可得kkP (xy）,根据斜率公式可得P点轨迹方程.uuu uuuu【详解】OA OM01；，A （-4 入，0）,又P (0-2) kuurHBuuirHN - B(42-2 X) k2 2(2)4 0kk设L (x2-,k 0y 2 x 0,kky2 42xy2 41- %-,即x2421.16、一 1,故答案为，双曲线.422316. （2020江苏高考模拟）已知点 Q 0,5，若P、R分别是eO:x y 4和直线y %x上的动点，则uuir uurQP QR的最小值为 .uuu uuu【分析】设出点 P的坐标和点R的坐标，分别表示出其向量QP,QR,利用坐标求其模长，可得表示为圆与直线上一点距离的问题，再利用点到直线的距离求得其最小值223因为P、R分力1Jte eO：x y 4和直线y X上的动点,所以设点 P(2cos ,sin )，点 R(m,3m) 4 uuruuu3m所以 QP (2cos ,2sin 5),QR (m, 3m 5) 4uuu uuu 所以QP QR(2cos2_m) (2sin3m4210)2表示的是圆22x y 4上一点与直线y3“-x 10直线上一点距离的最小值, 4圆x2y2 4是圆心为（0,0）半径为2的圆直线一般式：3x 4y 40 0曰 ,士140|最小值为