向量法在中学数学解题中的应用

向量法在中学数学解题中的应用李莉莉向量的有关知识1.1平面向量向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形；实数与向量乘积的几何意义共线；定比分点基本图形起点相同的三个向量终点共线等(1)向量的三种线性运算及运算的三种形式.向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法记则 实数与向量的乘积记，则两个向量的数量积记，则运算律向量加法：，；实数与向量的积：，；两个向量的数量积：，(2)两个向量平行的充要条件符号语言：若，且，则；坐标语言：设，则(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：；坐标语言：设，则(4)线段定比分点公式如图，设,则定比分点向量式：；定比分点坐标式：设，则(5)平移公式：如果点按向量平移至，则，分别称，为旧、新坐标，为平移法则1.2空间向量(1)共线向量共线向量定理：对空间任意两个向量，存在实数使.(2)共面向量称平行于同一平面的向量为共面向量. 共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面存在两个实数使(3)空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组, 使(4)两个向量的数量积空间两个非零向量的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同. ，当时，称向量 与互相垂直，记作(5)空间向量的坐标运算空间向量的各种运算的坐标表示与平面向量类似，这里不再详述 2向量法在中学数学解题中的应用2.1在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域)利用向量的模的不等式, ,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题例1求函数的最大值分析：观察其结构特征，由联想到向量的数量积的坐标表示令，则，且故，当且仅当与同向，即时取等号，从而问题得到解决(2)证明条件等式和不等式条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明若利用向量来证明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷例2设，其中求证:=分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令 ，则易知与的夹角为0或，所以，问题得证(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁例3求实数使得它们同时满足方程：和分析：将两方程相加并配方得，由此联想到向量模，令，则，又因为，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当=时等式成立，问题解决(4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决例4已知复平面内正方形的两对角顶点和所对应的复数分别为和，求另外两顶点和所对应的复数分析：先求，为此得求因，而是依逆时针方向旋转，同时将的模缩为倍，因此先求而，故对应的复数是，于是对应的复数是又，所以可求同理可求，问题解决(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5设，且，试讨论的范围分析：由联想到向量的模，令，则，.由得，解得，由对称性便可得的范围2.2在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件(1)求值例6已知，求锐角的值分析：由已知得，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令，则，由得，所以，即，代入已知等式便可求得的值(2)证明恒等式例7求证：分析：由等式右边联想到向量的数量积，令，则，且易知与的夹角为，则，又，则问题得证2.3在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题例8试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，分别为三边上的中线，若要证明能作成一个三角形，只须证明证明：设=, =, =,则，而，,所以于是，即以为边可构成一个三角形2.4向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9已知一个圆的直径两端点为，求此圆方程.解：设为圆上异于的点，由圆周角定理得，若是与点或重合的点，则=或=，故都有=0成立，从而，此即为所求圆方程 例10求过圆上的点的切线方程解：如图,设是所求切线上的任意一点，则，,因为，所以=，即，此即为所求切线的方程(即使是重合时，仍有=，因为此时=)2.5在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.zABCDA1B1C1D1yxEF例11如图，在正方体中，分别是棱的中点，求和面所成的角 解：如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则坐标为： ， 设是平面的法向量，得，令，得，设为和面所成的角，则为所求综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题