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浏阳一中、醴陵一中2020年下学期高二年级联考数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设数列an的前n项和Sn=n3，则a4的值为（）A. 15 B. 37 C. 27 D. 64【答案】B【解析】【分析】利用，求得数列的通项公式，从而求得.【详解】当时，故.故选B.【点睛】本小题主要考查已知数列的前项和公式求数列的通项公式.对于已知数列的前项和公式的表达式，求数列的通项公式的题目，往往有两个方向可以考虑，其中一个主要的方向是利用.另一个方向是如果题目给定的表达式中含有的话，可以考虑将转化为，先求得数列的表达式，再来求的表达式.2.椭圆的焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，若，则（）A. 3 B. 5 C. 7 D. 9【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义，由此可求得的值.【详解】根据椭圆的方程可知，根据椭圆的定义，由此可求，故选C.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程.解答时要主要椭圆的焦点是在轴上.属于基础题.3.等差数列an满足，则其前10项之和为()A. 9 B. 15 C. 15 D. 15【答案】D【解析】由已知(a4a7)29，所以a4a73，从而a1a103.所以S101015.故选D.4.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得.参照附表，得到的正确结论是（）A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.【详解】由于计算得，根据独立性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B.【点睛】本小题主要考查联表，考查独立性检验的知识，根据独立性检验的知识可直接得出结论，属于基础题.5.函数在区间上的最小值是（）A. -9 B. -16 C. -12 D. 9【答案】B【解析】【分析】利用导数求得函数在上的单调区间、极值，比较区间端点的函数值和极值，由此求得最小值.【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，故最小值为.所以选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最小值.首先利用函数的导数求得函数的单调区间，利用单调区间得到函数的极值点，然后计算函数在区间端点的函数值，以及函数在极值点的函数值，比较这几个函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.本小题属于基础题.6.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A. 10 B. 8 C. 6 D. 4【答案】B【解析】设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意，x1+x2=6，|AB|=6+2=8，选择B7.如果数列的前n项和为，则这个数列的通项公式是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，两式相减即可得，可证明数列为等比数列，从而写出通项公式.【详解】由anSnSn1(an3)(an13)(n2)，得，又a16，所以an是以a16，q3的等比数列，所以an23n.【点睛】本题主要考查了根据递推关系求数列的通项公式，属于中档题.8.已知实数，满足：，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC内部，其中；直线过点C取最小值，过点B取最大值，所以，选C.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.已知，下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，反之不成立，因此是的必要不充分条件考点：充分条件与必要条件点评：若命题成立，则是的充分条件，是的必要条件10.若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，由于在区间上单调递减，则有在上恒成立，即，也即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，故选C考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性.11.若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用点差法，用中点和斜率列方程，解方程求得的值.【详解】设代入椭圆方程得，两式相减得，依题意可知，即.故选B.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长的中点有关的问题的解决策略，即点差法.点差法用在与直线和圆锥曲线相交得到的弦的中点有关的问题，其基本步骤是：首先将点代入圆锥曲线的方程，作差后化为一边是中点，一边是斜率的形式，再代入已知条件求得所需要的结果.12.在正项等比数列中，存在两项，使得且则的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用基本元的思想，将题目所给已知条件转化为的形式，化简得出的关系式，将这个关系式乘以，再利用换元法求得最小值.【详解】由于数列是等比数列，依题意有，解得.故.令，为正整数.由于在上递减，在上递增 ，而，故的最小值为.所以.所以选A.【点睛】本小题主要考查利用等比数列的通项公式，以及等比数列基本量的计算，还考查了最小值的求法.属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数 (e为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】对函数求导得到导数f(x)ex2，图像在点(0，1)处的切线斜率ke023，故得到切线方程为.【详解】函数f(x)ex2x，导数f(x)ex2，f(x)的图像在点(0，1)处的切线斜率ke023，图像在点(0，1)处的切线方程为y3x1.故答案为：.【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.14.已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=_【答案】【解析】【分析】将点坐标代入之先后得到为等差数列，求出其前项和，利用裂项求和法求得数列前项和.【详解】将点坐标代入直线方程得，故数列是首项为，公差为的等差数列，故通项公式为，前项和.故 .【点睛】本小题主要考查点和直线的位置关系，考查等差数列的定义以及等差数列的判断，考查等差数列的通项公式以及前项和公式，考查裂项求和法等知识，属于中档题.点在曲线上，那么点的坐标满足曲线方程.若一个数列满足，为常数，则这个数列是等差数列，为公差.15.若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将分成奇数和偶数两种情况分类讨论，利用数列的单调性，求得的取值范围.【详解】当为偶数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.当为奇数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.综上所述，.【点睛】本小题考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.16.椭圆C：的左右焦点分别为,焦距为2c. 若直线与椭圆C的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于_【答案】【解析】【分析】根据直线的方程可知直线的倾斜角为，且过椭圆的左焦点.根据可得三角形为直角三角形，根据三边的关系可求得离心率.【详解】由于直线方程为，故直线的倾斜角为，且过椭圆的左焦点.根据可得三角形为直角三角形，且.故三边的比值为.根据椭圆的定义，椭圆的离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程过定点，以及椭圆离心率的求法，属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：这类问题首先求得命题为真时的的范围，再根据含有逻辑连接词的命题的真假判断命题的真假，从而得的范围试题解析：由得，即，由得，即（1）命题为真，；（2）由题意命题一真一假，因此有或，所以或考点：复合命题的真假18.已知函数，若其导函数的x的取值范围为（1，3）.（1）判断f(x)的单调性（2）若函数f(x)的极小值为4，求f(x)的解析式与极大值【答案】（1）减区间，增区间；（2），极大值为.【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导函数大于零的解集为，可求得函数的减区间.（2）由（1）知函数的极值点，由此列方程组，解方程组求得的值，同时求得极大值.【详解】解：（）由题意知 因此在单调递减,单调递增单调递减.（2）由（1）可得处取得极小值4，在x=3处取得极大值。 ,解得.则【点睛】本小题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的解析式，还考查了函数与方程的数学思想方法，属于中档题.19.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：（1）求关于的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出关于的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程，其中）【答案】（1）；（2）；（3）千亿元.【解析】【分析】（1）利用题目所给数据和回归直线方程计算公式，直接求得回归直线方程.（2）将代入（1）求得的方程，化简后可得关于的回归直线方程.（3）令代入（2）求得的回归直线方程，可求得预测值.【详解】解：（1），所以.（2），代入得到：，即，（3）当时，所以预测到年年底，该地储蓄存款额可达千亿元【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测.要注意回归直线方程公式是，而不是.20.已知等比数列的公比q1，且是的等差中项数列满足，数列的前n项和为.（1）求q的值;（2）求数列bn的通项公式【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质以及等比数列的通项公式，列方程，解方程求得的值.（2）由（1）求得的表达式，然后利用累加法以及错位相减法求得的通项公式.【详解】解.（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（2）设，数列前n项和为.由解得.由（1）可知，所以，故， .设 所以，因此，又，所以.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，还考查了累加法求数列的通项公式，以及错位相减求和法.21.已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆经过点,且的面积为.（1）求椭圆的标准方程;（2）设斜率为的直线与以原点为圆心,半径为的圆交于两点,与椭圆交于两点,且,当取得最小值时,求直线的方程并求此时的值.【答案】（1）；（2）最小值，直线的方程为.【解析】试题分析：（1）由三角形的面积，即可求得c=2,将点代入椭圆方程，由椭圆的性质a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）直线的方程为，则原点到直线的距离，由弦长公式可得将代入椭圆方程，得，得可得可得所求结论.试题解析：（1）由的面积可得，即，又椭圆过点，由解得，故椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，由弦长公式可得将代入椭圆方程，得，由判别式，解得由直线和圆相交的条件可得，即，也即，综上可得的取值范围是设，则，由弦长公式，得由，得，则当时，取得最小值，此时直线的方程为点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用22.已知函数，其中（1）求的单调区间（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）对函数求导后，对分成两类，讨论函数的单调区间.（2）将题目所给恒成立的不等式分离常数，构造函数后利用导数求得函数的最小值，由此求得的取值范围，再求得的最大值.【详解】解：（1）当时， 在单调递增当时，在单调递增，单调递减（2）解：恒成立的不等式为： 设即由（1）可得：在单调递减 若则 即在上单调递增 若即则 即在上单调递减，而当时，在单调递减，在上单调递增 单调递减综上所述：的最大值为【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，综合性很强，属于难题.
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