量子力学复习题

量子力学复习题(2013)一、填空题1. 在空间发现粒子的概率密度为_；概率流密度为_。2. 波尔的量子化条件为 。3. 坐标和动量的测不准关系是_。4. 德布罗意关系为 。5. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为_。6. 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。7. 为泡利算符， ， ， 。8. 波函数的统计解释为 。9. 隧道效应是指_。10. 波函数的标准化条件为 。11. 为氢原子波函数，的取值范围为 。12. 表示力学量的算符应满足的两个性质是 。13. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 _。14. 厄米算符的本征函数具有 ，其本征值为 ，不同本征值对应的本征函数 。15. ， ， 。16. 在表象中，的矩阵表示为 ，的本征值为 ，对应的本征矢为 。17. 若两力学量有共同本征函数完全集，则 。18. 自旋角动量与自旋磁矩的关系为 。19. 在定态的条件下，守恒的力学量是 。20. 原子电偶极跃迁的选择定则为 。21. 设体系处在态，在该态下测量有确定值，则表示该力学量的算符与态矢量的关系为 。22. 轨道磁矩与轨道角动量的关系为 ，自旋磁矩与自旋角动量的关系为 。23. 费米子所组成的全同离子体系的波函数具有 ，玻色子所组成的全同离子体系的波函数具有 。24. 在表象中，的矩阵表示为 ，的本征值为 ，对应的本征矢为 。25. 自旋的本征值为 ，在表象中，的矩阵表示为 ，对应的本征矢为 。二、计算题1 （10分）设粒子处在一维无限深方势阱中,粒子的波函数为,A为归一化常数.(1)求A; (2) 粒子在何处出现的概率最大。2 已知时，氢原子的波函数为，其中满足归一化条件。试完成：（1）写出任意时刻的波函数；（2）求能量、轨道角动量和、自旋的可能取值和相应的几率以及平均值；（3）计算时刻自旋分量的平均值。3 设在表象中，其中a，b都是实数，用微扰论求能量至二级修正。4 （10分）设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，求：（1）系数的值；（2）的可能测值；（3）测得到的概率。5 自旋为的体系，在时处于本征值为的的本征态，将其置于的磁场中，求时刻，测量取的几率。6 （10分）设在表象中，的矩阵表示为，其中，试用微扰论求系统的能量（精确到二级能量修正）。7 设氢原子处在能量本征态，求氢原子角动量各分量平均值、和。8 （10分）电子的归一化自旋-轨道波函数为，与自旋相关的力学量。在态下求：（1）对自旋求平均值的结果；（2）对坐标和自旋同时求平均值的结果。9 在正交基矢和展开的态空间中，某力学量，求在态中测量A的可能值、几率和平均值。10 粒子的波函数为，求其几率流密度。11 利用氢原子的能级公式，求电子偶素（e+-e-束缚体系）的能谱。12 设量子体系的Hamilton量为，频率是实数。（1）求体系能量的本征值和本征函数；（2）如果时体系处于状态，求时体系所处状态；（3）若时体系处于基态，当一个小的与t有关的微扰在时加上后，求时体系跃迁到激发态的几率。13 教材中布置了的习题。三、问答题1. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？2. 经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？3. 简述力学量与力学量算符的关系是什么？4. 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？5. 简述波尔的原子理论，为什么说波尔的原子理论是半经典半量子的？6. 简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？7. 能量本征态的叠加态还是能量本征态吗？为什么？8. 量子力学不同表象间的变换是什么变换？在不同表象中不变的量是哪些？9. 什么是定态？定态有什么性质？四、证明题1. 若算符A、B有共同的本征函数完备集，则A、B对易。2. 对于力学量A与B，写出二者在任何量子态下涨落所满足的关系，并推导之。3. 写出力学量A的平均值随时间的演化方程，并作简略推导。4. 在定态下，证明任意不显含时间t的力学量A取值几率分布不随时间改变。5. Pauli算符各个分量的反对易关系。6. 在共同表象下，在角动量量子数的子空间中，、和的矩阵表示分别为、和，证明角动量平方。7. 由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符，试证明（1）是厄米算符；（2）；（3）的本征值为0和1。