清华大学概率论与数理统计复习学习教案

会计学1清华大学概率论与数理统计清华大学概率论与数理统计(sh l tn j)复习复习第一页，共65页。111111011, ,( )( ), ,()( ),()( ),Xxf xxxE Xxf x dxxdxXx 解解：（ ）当当时时， 的的概概率率密密度度函函数数为为： 1 . .XX 解解得得 的的矩矩估估计计量量为为第1页/共65页第二页，共65页。1121211 20,(, ),(, )()()()()()(), ,nniinixinLf xx xx L LL L（ ）似似然然函函数数为为：其其它它 111,ln ()ln()ln,ln ()ln()lnniiixLnx 当当时时 对对数数似似然然函函数数为为10ln ()ln ()lnlnniidLnxd 令令 1 lnlnniinX 解解得得 的的极极大大似似然然估估计计量量为为第2页/共65页第三页，共65页。2323121322021 20, ,( )( ), ,(, ),(, )( )()( )()()(), ,nnniiniXxf xxxxinLf xx xx L LL L（ ）当当时时， 的的概概率率密密度度函函数数为为：似似然然函函数数为为：其其它它 12,( ),( ) min,min,inxLXXX K K当当时时越越大大，越越大大，所所以以 的的极极大大似似然然估估计计量量为为 第3页/共65页第四页，共65页。21200012 22008, ,( ),( ), ,nXxxf xXXX L L三三、( (本本题题1414分分) )设设随随机机变变量量 的的概概率率密密度度为为：，其其中中未未知知参参数数其其考考题题（级级他他是是来来自自 的的样样本本，求求（ ） 的的矩矩估估计计；（ ） 的的极极大大 2 2似似4 4学学时时）然然估估计计。第4页/共65页第五页，共65页。 2201122132332()( )()( )()() xE Xxf x dxdxE XAXX 解解： ，令令，得得为为参参数数的的矩矩估估计计量量。 22111222201 2(, ),(, , )(, ),(, , )( )( ) max,.max,.nnniiiiniinxL xxxinLXXX L LL L似似然然函函数数为为: :，而而是是 的的单单调调减减少少函函数数，所所以以 的的极极大大似似然然估估计计量量为为第5页/共65页第六页，共65页。13 2000P80 , , (),(),nXXXX L L考考题题（级级 48 48学学时时）三三、( (本本题题1010分分) )设设总总体体在在上上服服从从均均匀匀分分布布，其其中中未未知知，()()为为来来自自总总体体 的的样样本本，求求 的的矩矩估估计计量量。（见见教教材材 127-128127-128的的例例6.2)6.2)212004 2008()(), ,( ),( ), ,xnXexf xxxX L L考考题题（级级 48 48七七、(10(10分分) )设设某某种种元元件件的的使使用用寿寿命命 的的概概率率密密度度为为，其其中中为为未未知知参参数数其其他他又又设设是是 的的一一组组样样本本观观察察值值，求求参参数数 的的极极大大学学时时）似似然然估估计计。第6页/共65页第七页，共65页。12121221 201 2020()()(, ),(, , )(, ),(, , )(, ),(, , )(, ),(, , )(, )(, )lnln, ,( ),( ) min,.min,.niixniiiiinnL xexinL xxinL xdLnLdxxxLxxx L LL LL LL L解解：似似然然函函数数为为: :当当；其其他他。当当时时，；取取对对数数并并求求导导得得：= =所所以以 单单调调增增加加。因因此此当当 取取的的最最小小值值时时，取取最最大大值值。所所以以 的的极极大大似似然然估估计计为为第7页/共65页第八页，共65页。215 20072000, ,( ),( ), ,nXxxf xXX L L六六、( (本本题题1010分分) )设设随随机机变变量量 的的概概率率密密度度为为，其其中中未未知知参参数数其其他他是是样样本本，求求 的的矩矩估估考考计计题题（级级 32 32学学和和最最大大似似时时）然然估估计计。2008（此此题题和和级级的的第第三三大大题题一一样样的的.).)第8页/共65页第九页，共65页。1101112006 2007, ,( , ),( , ), ,nnXXXXxf xxNxx L LL L七七、( (本本题题8 8分分) )设设为为总总体体 的的样样本本，的的密密度度函函数数为为：；其其考考题题中中未未知知参参数数其其他他（级级 64 64学学时时 作作业业P153P153设设为为样样本本值值中中小小于于1 1的的个个数数，求求 的的极极大大似似 四四）然然估估计计。第9页/共65页第十页，共65页。11101(, )(, )()(, )(, )()ln ( )ln()ln()ln ( )ln()ln()lnln , , nNn NiiiL xf xLNnNdLNnNNdnNn 解解：似似然然函函数数为为: :令令= =解解得得：所所以以 的的极极大大似似然然估估计计为为第10页/共65页第十一页，共65页。117 2006110112,( ,),( ,),.,.,nXxf xxxXXX L L三三、( (本本题题1414分分) )设设总总体体 的的概概率率密密度度为为：其其中中考考题题（级级 未未知知参参数数为为来来自自 的的简简单单随随机机样样本本，求求（ ） 的的3232学学时时矩矩估估计计量量； （ ） 的的最最大大似似然然）估估计计量量。第11页/共65页第十二页，共65页。 1111.11()( ;)()( ;), , E Xxf xdxxdxxXXX 解解： ，由由于于令令，解解得得参参数数 的的矩矩估估计计量量 1112211 20(,)(,)(,)(,),(, , ),(, , )()(), ,niiininL xf xxinx xx L LL L似似然然函函数数为为: :其其他他第12页/共65页第十三页，共65页。111111 2010(, , )(),(, , )(),ln ()ln()ln,ln ()ln()ln,lnlnlnlnln,ln,lnln . .lnlniniininiiiniixinLLnxdLndLnxddXnX L L当当时时，取取对对数数得得两两边边对对 求求导导，得得= =令令可可得得 故故 的的最最大大似似然然估估计计量量为为 第13页/共65页第十四页，共65页。128 2005X10110,(),(),( )( ), ,nXXXxxf x L L三三、( (本本题题8 8分分) )设设为为总总体体的的样样本本，的的密密度度函函考考题题（级级数数为为：其其他他求求 224 224学学时时参参数数 的的极极大大）似似然然估估计计。129 2005X,nXXX L L三三、( (本本题题8 8分分) )设设为为服服从从泊泊松松分分布布( )( )的的总总体体 的的一一个个样样本本，求求考考题题（级级 256 256学学时时的的极极大大似似然然）估估计计量量。第14页/共65页第十五页，共65页。1210 200410101(),(),( )( ), ,nXxxf xXXXXn L L三三、( (本本题题8 8分分) )设设总总体体 的的概概率率密密度度为为：其其它它其其中中是是未未知知参参数数，为为总总体体的的一一个个容容量量为为 简简单单随随机机样样本本，求求参参考考题题数数 的的极极（级级 3 3大大似似然然2 2学学时时）估估计计量量。2005这这个个题题目目和和级级 224 224学学时时的的类类似似。第15页/共65页第十六页，共65页。20012100 4520 037N( ,),5%10 5%;20 04%1 2009.%,.%,.%,.%,. . .xsHH 四四、( (本本题题分分) )测测定定某某种种溶溶液液中中的的水水分分，它它的的个个测测定定值值给给出出样样本本均均值值为为：样样本本均均方方差差为为：设设测测定定值值总总体体服服从从正正态态分分布布试试在在显显著著水水平平下下，分分别别检检验验假假设设（ ）：（ ）：考考题题（级级 24 24。学学时时） 二、有关区间二、有关区间(q jin)(q jin)估计及假设检验方面的估计及假设检验方面的题型题型第16页/共65页第十七页，共65页。0110 5%0 5%.HH解解：（ ）检检验验：，：，021()()/ /xHttnsn 的的拒拒绝绝域域为为： 0 02524 10192 26. .()( ).,.()( ).,/ /xttntsn 经经计计算算： 0H故故拒拒绝绝第17页/共65页第十八页，共65页。0120 04%0 04%.HH（ ）检检验验：，：，22200 9752122220 025221192 711919 02. . .()()()( ).()( ).()()()( ).()( ).nsHnnsn 的的拒拒绝绝域域为为或或 2217 70()(). .ns 经经计计算算： 0H没没有有落落在在拒拒绝绝域域中中，故故接接受受第18页/共65页第十九页，共65页。100 50 1.25 0.80 2 02 2000N( ,1924),120 95., ., .lnln()(). .XYXXE X 七七、( (本本题题分分) )假假设设，是是来来自自总总体体的的简简单单随随机机样样本本值值，已已知知（ ）求求 的的数数学学期期望望；（ ）求求 的的置置信信水水平平为为考考题题的的（级级 学学时时）置置信信区区间间；222112221211122()()()()()()( )()()( )YyyyyE XE ee f y dye edyeedye 解解（ ）第19页/共65页第二十页，共65页。22211, ,yzyznn （ ） 的的置置信信区区间间为为：，10 51 250 8204(ln .ln .ln .ln )(ln .ln .ln .ln )y 0 98 0 98(., .)(., .) 故故总总体体均均值值 的的置置信信区区间间为为第20页/共65页第二十一页，共65页。212102222223220 9750 025( ,),210 95210 9592 70919 023 20 830, ,., ,. .( ),()( ),().( ).,( ).).( ).,( ).).XNxxxsXXYD L L四四、( (本本题题1414分分) )设设总总体体且且是是样样本本观观察察值值，样样本本方方差差（ ）求求的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间；（ ）已已知知求求的的置置信信水水平平为为的的置置信信考考题题（级级 24 24学学；时时）区区间间第21页/共65页第二十二页，共65页。2220 0250 97510 9518180 9462 6 666799. .,.,.( )( )( )( ) 解解：（ ）的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为：，即即为为（，）；22232222223222112212220 3000 2 1137( )( ),.,.XXDDDXD （ ）；由由于于是是的的单单调调减减少少函函数数，置置信信区区间间为为，即即为为（，）。第22页/共65页第二十三页，共65页。11021,02211216514 20000 908,(),(),( ),( ),. .niiXXXXUXnhh L L五五、( (本本题题1010分分) )设设总总体体服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布其其中中未未知知，为为取取自自总总体体 的的样样本本，若若已已知知求求（ ） 的的置置信信水水平平为为的的单单侧侧置置信信下下限限；（ ）某某种种元元件件的的寿寿命命（单单位位: : ）服服从从上上述述指指数数分分布布，现现从从中中抽抽得得容容量量为为的的样样本本，得得样样本本均均值值为为试试求求元元件件平平均均寿寿命命的的置置信信水水平平为为考考题题的的（级级 24 24学学时时）单单侧侧置置信信下下限限。第23页/共65页第二十四页，共65页。222121212(),(), ,()()nXPnnXPn Q Q解解：（ ）2222 16501023764 70642 585()(). . .nXn 即即的的单单侧侧置置信信下下限限为为（ ）第24页/共65页第二十五页，共65页。20 0250 02520 975(10,1)1010.81 20 0592 2622919 02392 705 20080. . /),/),./)./)(.,( ).,( ).,(.,( ).,( ).,( ).)( ).)XNmgLmgLt 六六、( (本本题题1414分分) )某某工工厂厂正正常常生生产产时时，排排出出的的污污水水中中动动植植物物油油的的浓浓度度，今今阶阶段段性性抽抽取取个个水水样样，测测得得平平均均浓浓度度为为（标标准准差差为为（考考题题（级级 24 24学学时时, ,作作业业题题，问问该该工工厂厂生生产产是是否否正正常常？）220122201111 ()() HHnS 解解（： ）检检验验假假设设：，：；取取统统计计量量： 第25页/共65页第二十六页，共65页。2220 975122220 0252192 70119 023. . .()( ).()( ).().().nn 拒拒绝绝域域为为：或或，2222020219 1 212 96112 962 700 19 0231().(). .( .,.).( .,.)nsH 经经计计算算：由由于于，故故接接受受，即即可可以以认认为为排排出出的的污污水水中中动动植植物物油油浓浓度度的的方方差差为为。012101010910 ( ) ( )/ /HHXttS （ ）检检验验假假设设；：，：取取统统计计量量：第26页/共65页第二十七页，共65页。0 02592 2622. .( ).( ).tt拒拒绝绝域域为为010 8102 10282 26221 21010 mg L. . /. / /tH Q Q，所所以以接接受受，即即可可以以认认为为排排出出的的污污水水中中动动植植物物油油的的平平均均浓浓度度是是 （）。综综上上，认认为为工工厂厂生生产产正正常常。第27页/共65页第二十八页，共65页。220 025XN(10,)1010.81 20 0592 26 2002286. ./),/),./)./)(.,( ).,(.,( ).,mgLmgLt 六六、( (本本题题1414分分) )某某工工厂厂正正常常生生产产时时，排排出出的的污污水水中中动动植植物物油油的的浓浓度度，未未知知，今今阶阶段段性性抽抽取取个个水水样样，测测得得平平均均浓浓度度为为（标标准准差差为为 （，问问该该工工厂厂考考题题（级级 24 24生生产产学学时时是是否否正正常常业业？, ,作作题题）01101010110 ()()/ /HHXtt nS : :解解： 检检验验假假设设；：，：取取统统计计量量：第28页/共65页第二十九页，共65页。0 02592 2622. .( ).( ).tt拒拒绝绝域域为为010 8102 10282 26221 210. . /. /tH Q Q，所所以以接接受受，可可认认为为工工厂厂生生产产正正常常。第29页/共65页第三十页，共65页。21234015510 07 2526008, ,( ).( ).( )( )X ,X ,X ,XXN(,4 )HH 七七、( (本本题题1010分分) )设设为为取取自自总总体体的的样样本本，对对假假设设检检验验问问题题考考题题（级级 ：，：在在显显著著性性水水平平下下求求拒拒绝绝域域；若若，求求上上述述检检验验所所犯犯的的第第二二类类错错误误的的2424学学时时概概率率）。0 0255511 96244. . . ./ /xxzz解解（： ）拒拒绝绝域域为为 0211 08 8 926.H （ ）由由解解得得接接受受域域为为（，），当当时时，接接受受的的概概率率为为第30页/共65页第三十一页，共65页。8 9261 0861 088 92221 462 461 4612 460 927810 99310 921. . .( .)(.)( .)( .)( .)(.)( .)( .).(.).(.).PX 第31页/共65页第三十二页，共65页。2220 025614 6 15 1 14 9 13 8 15 2 15 310 18 2002252 57061 960 9758. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,( ).( ).( )( )( ).,( .).)( ).,( .).)N(,)t 四四、(15(15分分) )某某厂厂生生产产滚滚珠珠, ,从从某某天天生生产产的的产产品品中中随随机机地地抽抽取取 个个，测测得得直直径径为为，并并知知道道珠珠直直径径服服从从分分布布，已已知知，求求平平均均直直径径的的95%95%的的置置信信区区间间；未未知知，求求平平均均直直径径的的95%95%的的置置信信考考题题（级级 48 48学学时时）区区间间；（已已知知：第32页/共65页第三十三页，共65页。22210 120 0514 5415 09( ).( ).,).,).(.,.)(.,.)XzXznn 解解： 已已知知时时平平均均直直径径的的95%95%的的置置信信区区间间；( (，代代入入数数据据可可得得置置信信区区间间为为：2222SS0 0514 2315 40( )( ),).,).(.,.)(.,.)XzXznn 未未知知的的平平均均直直径径的的95%95%的的置置信信区区间间为为( (，代代入入数数据据可可得得置置信信区区间间为为：第33页/共65页第三十四页，共65页。22220250199 232 85020 8().,().,.020 x=69.3,s =6.12 .XN(67,5 ).0 : :五五、(15(15分分) )一一名名运运动动员员在在一一次次意意外外事事故故中中受受伤伤，经经治治疗疗基基本本痊痊愈愈，为为了了检检查查身身体体恢恢复复情情况况，随随机机地地抽抽取取了了份份近近期期同同一一时时间间的的脉脉搏搏测测量量数数据据（单单位位：次次/ /分分）计计算算得得已已知知他他正正常常时时脉脉搏搏次次数数，根根据据所所得得数数据据是是否否可可以以断断定定运运动动员员的的身身体体已已恢恢复复到到以以前前状状考考题题（级级 48 48学学时时 作作业业题题第第7 7章章自自测测态态？（ =05=05）（已已知知：题题四四改改编编）250 025198 907192 0930. .().().().)().).97t ，第34页/共65页第三十五页，共65页。016767671, , () ()/ /HHXtt nSn 解解：（1 1）对对均均值值的的检检验验： 假假设设：，：在在原原假假设设成成立立时时，有有：0 0250671 68192 093. .().()./ /XttSnH 经经计计算算： 故故接接受受原原假假设设。22012220225251()() HHns （ ）对对于于方方差差的的检检验验假假设设：，：；取取统统计计量量： 第35页/共65页第三十六页，共65页。2220 975122220 02521198.97311932 853. . .()()()()().().nn 拒拒绝绝域域为为：或或（ ），22220201196 1228 52528.58.907 32.853().(). .(,)(,)nsH 经经计计算算：由由于于，故故接接受受，即即可可以以断断定定运运动动员员的的身身体体已已恢恢复复到到以以前前状状态态？第36页/共65页第三十七页，共65页。2200 02517010 2008025. . .XN(,3 ) : :六六、(10(10分分) )某某电电子子元元件件的的寿寿命命，现现要要求求时时犯犯第第一一类类错错误误的的概概率率，且且当当时时，犯犯第第二二类类错错误误的的概概率率 不不考考题题 （级级 48 48学学时时 作作业业题题改改编编超超过过。试试确确定定）样样本本容容量量。0 0250 0250 0250 025332 1 96315 366416.,.,.,()()()(). .n3zzzznn 解解：假假设设样样本本容容量量为为，根根据据确确定定样样本本容容量量的的公公式式知知：代代入入数数据据得得故故样样本本容容量量需需要要。第37页/共65页第三十八页，共65页。01000 0250 025202020X2017172017X20172017201732 1 9615 36643., ,|()()()().HHXHznzHnzXPPznnnzzzznnzznn 另另解解：检检验验假假设设：在在假假设设条条件件下下，接接受受域域为为即即当当不不真真，第38页/共65页第三十九页，共65页。0 005100111 200090 0192 5879. .,.).,.)kgXXt 七七、( (本本题题8 8分分) )某某商商场场为为了了了了解解居居民民对对某某种种商商品品的的需需求求，随随机机抽抽取取户户居居民民进进行行了了调调查查，调调查查结结果果显显示示每每户户每每月月平平均均需需求求量量为为，方方差差为为 ，试试就就每每户户居居民民每每月月对对这这种种商商品品的的平平均均需需求求量量进进行行区区间间估估计计（假假定定服服从从正正态态分分布布）考考题题 （级级 32 32学学时时）.(.(已已知知( (）2222109110 999 266 10 774,(),()(),().( .,.).( .,.)xsSSXtnXtnnn 解解：由由题题意意，知知：未未知知， 的的置置信信区区间间为为经经计计算算得得 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为第39页/共65页第四十页，共65页。20 02520 9750 02160 0170 05152712 2007588156 262. . . .,.,.,.,.).)cmcm 八八、( (本本题题8 8分分) )机机器器正正常常时时加加工工零零件件长长度度服服从从标标准准差差为为的的正正态态分分布布，为为检检验验加加工工精精度度，随随机机抽抽取取件件，测测得得标标准准差差为为零零件件的的平平均均长长度度不不变变，试试检检验验加加工工精精考考题题 （级级 32 32学学度度是是否否有有变变化化？( (已已知知( (）( (）时时）2222012222202200 020 02116 26427 48846 26410 8427 4884.()()(),.(),.,.,.,., ,HHnSnH Q Q解解：依依题题意意，检检验验假假设设：，：；检检验验统统计计量量= =拒拒绝绝域域: :或或接接受受可可以以认认为为加加工工精精度度没没有有显显著著变变化化。第40页/共65页第四十一页，共65页。220 02560 330 95813 206062 30. .( ,.,( ,.,. .).)Nxst 七七、(8(8分分) )某某种种清清漆漆的的干干燥燥时时间间总总体体服服从从正正态态分分布布),),现现抽抽取取9 9个个样样品品，测测得得若若未未知知，求求 的的置置信信度度为为考考题题 （级级 32 32学学时时）的的置置信信区区间间。( (已已知知( ( ）2222100 33110 955 558 6 442,.,.,(),()(),(). .( ., .)( ., .)xsSSXtnXtnnn 解解：由由题题意意，知知：未未知知，的的置置信信区区间间为为: :经经计计算算得得 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为第41页/共65页第四十二页，共65页。0 0251150261673516001 9400662. ., ,%,%(.)(.)z 七七、(8(8分分) )某某产产品品的的指指标标服服从从正正态态分分布布，它它的的均均方方差差今今抽抽取取一一个个容容量量为为的的样样本本，计计算算得得平平均均值值为为问问在在的的显显著著性性水水平平下下，能能否否认认为为这这批批产产品品的的期期望望值值考考题题 （级级 32 32学学已已时时）为为？知知0100 0252200160016001 9616731600150260 05163716001 261 96150261600. . ,.,./ /,.,.,.,.,/ /HHxzzzznxnzH 解解： 检检验验假假设设；：，：拒拒绝绝域域为为： 计计算算得得：故故接接受受，即即认认为为这这批批产产品品的的期期望望值值为为。第42页/共65页第四十三页，共65页。0 99512 640 061002 620 012 105 2005. .,.,. .,.,.z 六六、( (本本题题8 8分分) )某某电电器器零零件件的的平平均均电电阻阻一一直直保保持持在在，均均方方差差保保持持在在，改改变变加加工工工工艺艺后后，测测得得个个零零件件的的平平均均电电阻阻为为，均均方方差差不不变变，问问新新工工艺艺后后此此零零件件的的电电阻阻有有无无显显著著差差异异？考考题题 （级级 224 224学学时时（取取显显）著著性性水水平平）01022 642 642 622 643 332 100 06100 . ././.HHxzzn 解解： 检检验验假假设设；：，：拒拒绝绝域域为为：即即认认为为改改变变工工艺艺后后零零件件电电阻阻有有显显著著差差异异。第43页/共65页第四十四页，共65页。20 0250 0250 050 0548 340 0316 20059542 776433 182442 132832 3534. .%,.%,.%,.%,( ,%.,( ,%.,.,.,.).,.,.).xsXNtttt 八八、( (本本题题8 8分分) )为为确确定定溶溶液液中中的的甲甲醛醛浓浓度度，取取样样 次次，测测得得样样本本均均值值样样本本均均方方差差设设总总体体),),求求 的的的的置置信信区区间间.(.( ）( ( ）( (考考题题 （级级 224 224）学学时时）( (2228 340 0311958 2928 388.%,.%,.%,.%,(),()(),()%( .%, .%)( .%, .%)xsSSXtnXtnnn 解解：由由题题意意，知知：未未知知，的的置置信信区区间间为为: :经经计计算算得得 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为第44页/共65页第四十五页，共65页。2220 950 050 051 32 1 55 1 36 1 40 1 440 1040 71149 48842 13117 20805.(.,(.,( ).,( ).,( ).,)( ).,( ).,( ).,)XN(1.405,0.048 )5t 十十一一、( (本本题题8 8分分) )已已知知维维尼尼纶纶纤纤度度在在正正常常条条件件下下服服从从正正态态分分布布，今今随随机机抽抽取取 根根纤纤维维，测测得得其其纤纤度度分分别别为为：问问：纤纤度度的的总总体体标标准准差差是是否否正正常常？注注：考考题题 （级级 256 256学学时时）2222220122201 4120 089850 0480 0481 .,.,.,.,.()() xsnHHnS 解解： 经经计计算算可可得得而而检检验验假假设设：，：；取取统统计计量量： 第45页/共65页第四十六页，共65页。2220 95122220 052140 711149.488. . .()( ).()( ).()( )()( )nn 拒拒绝绝域域为为：或或，22222020140 89814 010 04814 019 488().(). . .nSH 经经计计算算：由由于于，故故拒拒绝绝，即即认认为为纤纤维维总总体体方方差差不不正正常常。也也即即认认为为纤纤维维总总体体标标准准差差不不正正常常。第46页/共65页第四十七页，共65页。22222X(kg/cm( ,),36=66.5kg/cmS=15kg/cm0 057018 2004kg/cm. .NX 六六、( (本本题题1010分分) )某某种种材材料料的的断断裂裂程程度度) )服服从从正正态态分分布布现现从从中中抽抽取取个个样样本本，得得其其平平均均断断裂裂强强度度，标标准准差差。问问在在显显著著性性水水平平下下，是是否否可可以以认认为为这这种种材材料料的的平平均均断断考考题题 （级级裂裂强强度度为为？并并给给出出 32 32学学时时）检检验验过过程程。 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 ( )( ) ( )( )ptP t ntnp附附表表：分分布布表表: :( )( )ptnpn第47页/共65页第四十八页，共65页。01270707011, ,()()/ /()()HHXtt nSnttn : :解解：检检验验：假假设设：，：在在原原假假设设成成立立时时，有有：拒拒绝绝域域为为：经经计计算算：0 0257066.5701 4352 03011536. .().()./XttSn0270kg/cmH 故故接接受受原原假假设设。即即可可以以认认为为这这种种材材料料的的平平均均断断裂裂强强度度为为第48页/共65页第四十九页，共65页。22120001X( ,),3636=66.5S=119 200350 0516. . ,)(,)(: : , ,NXH 八八、(6(6分分+5+5分分=11)=11)大大批批学学生生参参加加考考试试，设设考考试试成成绩绩未未知知，从从中中抽抽取取名名学学生生，求求得得这这份份成成绩绩的的平平均均值值分分，标标准准差差分分。取取（1 1）求求 的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间( (分分）（2 2）已已知知在在显显著著性性水水平平 下下，这这一一假假设设被被接接受受，试试求求的的范范围围，并并判判定定是是否否就就是是（考考题题 （级级 256 256学学时时） 0.05 0.025 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 ( )( ) ( )( )tP t ntn 附附表表：分分布布表表: : n第49页/共65页第五十页，共65页。22266 515110 9561 42475 71 57523. ,. ,(),()(),(). .(.,.)(.,.)xsSSXtnXtnnn 解解：(1)(1)由由题题意意，知知：未未知知，的的置置信信区区间间为为: :经经计计算算得得 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为00002211( )()( )()/ /()()XHtt nSnttnH ：拒拒绝绝域域为为：，因因为为被被接接受受，所所以以第50页/共65页第五十一页，共65页。02202201111161 4247571 57525()()()()/ /()()()(). ,),)XtntnSnSSXtnXtnnn 解解：解解得得就就是是( (第51页/共65页第五十二页，共65页。211010211021120 511 200010422 859( , .)( , .),;,;().().iiiiX NXXPXPXX K K三三、( (本本题题分分) )从从正正态态总总体体中中抽抽取取容容量量为为的的样样本本，（ ）已已知知求求概概率率（ ） 未未知知，求求考考题题（级级 24 24率率学学时时）概概。三、其他（包括三、其他（包括(boku)(boku)估计量优良准则及求概率等方估计量优良准则及求概率等方面的题型）面的题型）第52页/共65页第五十三页，共65页。21010222221110 50 10 511100 50 5( )(.( )(.(. .()()()().iiiiiiXXNNXX 解解： 由由，),),得得， ) )所所以以20 10102116 040 10. . ,. ,.iiPX 又又（注注：可可用用数数据据在在试试卷卷前前面面）所所以以10102222211144160 50 5,.iiiiPXPXP 故故第53页/共65页第五十四页，共65页。1010222221111290 5( )()( )( )()( ). .iiiiXXX : :因因20 25102111 42 850 25. . ,. ,().().iiPXX 又又（注注：可可用用数数据据在在试试卷卷前前面面）故故1010222211212 852 850 50 511 4. .().()().(). . iiiiPXXPXXP 所所以以第54页/共65页第五十五页，共65页。22121222122212212 2009201124(,)(,)(,)(,), , (), (),(),()NNn nSSa b abZaSbSa bD Z 六六、( (本本题题分分) )设设分分别别从从总总体体和和中中抽抽取取容容量量为为的的两两独独立立样样本本，其其样样本本方方差差分分别别为为（ ）证证明明对对于于任任意意常常数数都都是是的的无无考考题题（级级 学学时时偏偏估估计计；（ ）确确定定常常数数，使使方方差差）达达到到最最小小。第55页/共65页第五十六页，共65页。222212121( )()()()()( )()()()()E ZE aSbSaE SbE S证证明明 22222212122()()()()()()()()D ZD aSbSa D Sb D S（ ）24242212112222121111()()()()()()()()nnabDSDSnn22()()ab 242444221212222211111()()abaannnn4442112121212221122()()()()nannnnnn 1212121122,(),()nnabD Znnnn于于是是，当当时时，达达到到最最小小。第56页/共65页第五十七页，共65页。21212211163 200,1119)1( ,( ,() .,() ., () ()nniinininnXNxxxxxsxxxnxxnt nns L L八八、( (本本题题 分分) )设设总总体体服服从从正正态态分分布布抽抽取取样样本本计计样样本本均均值值样样本本方方差差如如果果再再取取一一个个样样本本证证明明：统统计计量量 考考 题题（级级）第57页/共65页第五十八页，共65页。221), ),( ,( ,( ,( ,nnxNxNn 解解 因因2110), ( ,( ,nnnxxNn 所所以以从从而而10 1), 1( ,( ,nnxxnNn 2221 1()()(),(),nnsn 又又因因21211 1111()():/ ():/ () () ()nnnnnxxnsntnnxxnt nns 则则由由 分分布布定定义义可可知知：第58页/共65页第五十九页，共65页。2008X11120 05(. )(. )( .)( .),.,.,m nFn mFXmnP XP X 八八、( (本本题题8 8分分) )设设随随机机变变量量 服服从从自自由由度度为为的的 分分布布，（ ）证证明明：随随机机变变考考量量服服从从自自由由度度为为的的 分分布布；（ ）题题4 4（级级 24 24学学时时且且求求）若若的的值值。第59页/共65页第六十页，共65页。221(, )(, )/ /(),( )(),( )/ / /( ,)( ,)/ /XF m nUmXUm VnVnVnUVF n mXUm 证证明明：（1 1）因因为为，由由分分布布的的定定义义可可令令，其其中中与与相相互互独独立立，所所以以121( , )( , )mnXn nFXP XPX （ ）当当时时， 与与服服从从自自由由度度为为的的 分分布布， 故故有有，从从而而1111110 050 95.P XPPXXP X 第60页/共65页第六十一页，共65页。1212221X XXX11X1207120,()()nniiniiXnSXXn L L九九、( (本本题题7 7分分) )设设是是来来自自总总体体 的的样样本本，证证明明（ ）样样本本均均值值是是总总体体均均值值 的的无无偏偏估估计计考考题题5 5；（ ）样样本本方方差差是是总总体体方方差差（级级 32 32学学时时）的的无无偏偏估估计计。1111111XX()()(nnniiiiiEEXE Xnnn 证证明明（ ）)=)=)=)=所所以以 是是总总体体均均值值 的的无无偏偏估估计计；第61页/共65页第六十二页，共65页。222112212212222222112111211111S()() )() )()() )() )()()()()()() ()() ()()nniiiiniiiniiE SEXXEXXnnEXX XXnE XnE Xnnnnn （ ） 所所以以是是总总体体方方差差的的无无偏偏估估计计。第62页/共65页第六十三页，共65页。21222222X0),X XXX220031( ,( , (),(),nNE :L:L七七、(10(10分分) )设设总总体体为为 的的简简单单随随考考题题6 6（级级 256 256学学机机样样本本。（ ）求求的的极极大大似似然然估估计计量量；（ ）求求并并回回答答是是否否是是的的时时）无无偏偏估估计计量量。22222211211222221X21122( )( )()()() ()()()() ()nniiiixnxxnnf xeLee 解解： 的的分分布布密密度度似似然然函函数数为为：第63页/共65页第六十四页，共65页。2222112111222221222 222222111222110()() ()()()() ()()()() (),(),nniiiinnnixxninniiixnLeeLxXnn 令令得得故故222112222221120. ()()()() ()()() () nniiiEEXEXnnE XD XE X （ ）)=)=)= =所所以以是是的的无无偏偏估估计计量量第64页/共65页第六十五页，共65页。