微分方程讲课件

yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 引例引例 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . sm20的速度行驶, 制动时获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分, 可得2122 . 0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202 . 02说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(所讲内容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .)()(dd21yfxfxy可分离变量方程可分离变量方程)()(ddxQyxPxy一阶线性微分方程标准形式若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .称为齐次方程齐次方程 ;),(yxfy ),(yyfy 可降阶的二阶微分方程),(0为常数qpyqypy 二阶常系数齐次线性微分方程)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程常见的微分方程类型用Matlab求解微分方程用Matlab符号工具箱中的函数dsolve,可求解微分方程，其调用格式如下： R=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)R=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)说明：求微分方程或微分方程组eq1,eq2,满足初始条件cond1,cond2,关于自变量v的解。默认的自变量为t例1 求微分方程xeyyy565 的通解。Dsolve(5*D2y-6*Dy+5*y=exp(x),x)*54cos(*)*53exp(*)*54sin(*)*53exp(*)exp(*4121xxcxxcxans例2 求微分方程组xdtdyydtdx ,的解。) ,(,xDyyDxdsolveyxx = cos(t)*C1+sin(t)*C2 y = -sin(t)*C1+cos(t)*C2 例3 有一弹性系数c=8N/m的弹簧，上挂有质量为2kg的物体，一外力f(t)=16cos4tN作用在物体上，假定物体原来在平衡位置，有向上的初速度2m/s，如果阻力忽略不计，求物体的运动规律s(t).解解 第一步第一步 建立微分方程建立微分方程： 有力学知识，得物体的运动方程为)(284cos1622mFastdtsd即 tsdtsd4cos8422初始条件为2, 000ttss第二步第二步 求解：求解： s=dsolve(D2y+4*y=8*cos(4*t),y(0)=0,Dy(0)=-2) s = (sin(2*t)+1/3*sin(6*t)*sin(2*t)+(1/3*cos(6*t)-cos(2*t)*cos(2*t)-sin(2*t)+2/3*cos(2*t) 第三步第三步 化简化简：上述结果较复杂，可用：上述结果较复杂，可用simplesimple函数化简函数化简 simple(s)ans = -2/3*cos(4*t)-sin(2*t)+2/3*cos(2*t)故所求物体的运动规律为故所求物体的运动规律为ttts4cos322sin2cos32Q&谢谢谢谢！