小二乘准则课件

小二乘准则 31 参数估计与测量平差 一、数理统计问题数理统计问题 总体（母体X：研究的随机变量可能取值的全体。 样本x：从母体中随机取出的几个个体构成一个样本。 子样容量（大小）：构成子样的个体数目。 抽样：获得子样的过程。 统计量：由子样构成的函数，不含未知数。第三章第三章 最小二乘准则最小二乘准则小二乘准则 1、常用统计量： 2、常用数理统计方法 （1）参数估计 （2）统计假设检验 （3）回归分析 （4）方差分析2122121)(11)(11xxnSxxnSxnxniiniinii子样无偏方差：子样方差：子样均值：无限推断母体构成统计量有限获得子样限个抽样数理统计问题：通过有nnxxxn,21小二乘准则 3、对抽样的要求 a、代表性：要求子样的各个分量xi与母体同分布。即 b、独立性：要求xi互独立。 二、参数估计问题二、参数估计问题 参数估计包括： a、点估计（定值估计） b、区间估计 XDxDXExEii小二乘准则3-2 估计值的最优性质估计值的最优性质 点估计的几种方法： 矩法、最大似然法、最小二乘法、中位数法、截尾法 用不同的方法对同样的母体参数进行估计，就会产生不同的估值。 最优估值标准： （1）无偏 性 （2）一致性 （3）有效性小二乘准则 最优估计应具有性质最优估计应具有性质： 估计量 能在参数真值 附近摆动，随着子样容量的增大，摆幅越来越小，n为 时， 依概率收敛于 。 一、无偏性一、无偏性 的无偏估计。是则称的估值，若满足：是参数真值设E 的无偏估计？否是母体方差是估计？子样方差是否是母体均值的无偏问：22xDsx小二乘准则 结论结论 数理统计中 平差中 性质2122121)(11)(11xxnsxxnsxnxniiniinii 122nVVsnVVsnLx 2222sEsEaxE无偏有偏无偏小二乘准则二、一致性二、一致性 n无限增大时估计量依概率收敛于 。为子样容量。为概率，或或，有即对任意小的正数nPPPPnnn1lim0lim1lim小二乘准则 补充：严格一致性严格一致性 满足严格一致性的估值一定满足一致性。 例：证明子样均值是母体期望的一致性估值。 的严格一致性估计。为则称满足：若估值0limlim2EEDEnn小二乘准则 三、有效性三、有效性 有效。较则认为估值若的无偏估计均为及定义：设212121DD 均无偏，不唯一如：中axEaxEaxEi 的方差最小，最有效。可见或而：中xxDnxDxDi22222小二乘准则 最小方差性：最小方差性： 插入：6-2 测量平差参数的统计性质测量平差参数的统计性质 一、 致性。是最优估值。即满足有效性又满足一小方差），则该估计量（最，使若有一无偏估计量2minD具有无偏性参数估值x xxE 求证：最优估值。性，又满足有效性，是即满足一致，则估值具有最小方差若能证具有有效性二、参数估值xDxxxx 小二乘准则 三、 矩阵迹的性质：矩阵迹的性质：20202020）（）（即证：的无偏估计是单位权方差tnPVVEET 均为方阵及为常数均为方阵及TTTTTABBAABtrBAtrkAtrkkAtrBAABBAtrABtrBtrAtrBAtrAtrAtr54321小二乘准则3-3最小二乘准则最小二乘准则 一、最小二乘法 设有误差方程： 在满足约束： 下， 对参数进行估计。 二、最大似然法lxAVmin2222112nniivvvv2,iiiLENL设观测值：小二乘准则 有 似然函数：设为子样联合分布的密度函数 221222121122111nnnnnLLnnDLELELELLL PVVDLELDLELDGTLLnLLTLLn2exp2121exp21202121212小二乘准则 最大似然法基本思想：最大似然法基本思想： 最大似然法最大似然法：必须知道母体的分布 最小二乘法最小二乘法：可不知母体的分布 当观测值服从正态分布时，二者等价。为最或然值。，即此时最接近其真值达到最大时，参数估值数最大，所以，当似然函误差联合出现的概率由偶然误差特性知，小xxxG minminminmax11PVVVDVLELDLELGTLLTLLT或即要求小二乘准则 例：不一定是无偏的。并。所以，最大似然估值可近似看成很大时，当不是无偏的，只有估值，而期望及方差的最大似然分别是母体与子样方差从结果看，子样均值解得：的估值。、最大似然法求参数试用抽得独立子样已知222222222121,ssnssxaxsxnxaaxxxaNXiin