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昌平区20202020学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 试 卷（理 科） （满分150分，考试时间120分钟） 2020.1考生须知：1 本试卷共6页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分。2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。 第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集，集合, , 则(A) (B) (C) (D) (2) “”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件(3) 给定函数，其中在区间上单调递增的函数的序号是开始 输出结束 否是 （A） （B） （C） （D） w(4) 执行如图所示的程序框图，输出的值是(A) (B) (C) (D)(5) 若实数满足则的最小值是(A) (B) (C) (D) (6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(A) (B) (C) (D) (7) 连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则为锐角的概率是(A) (B) (C) (D) （8）已知函数在点处的切线与的图象有三个公共点，则的取值范围是（A） （B）（C） （D）第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知是第二象限的角，则的值为_ .(10) 如图，在复平面内，复数对应的向量为，则复数=_ .(11) 已知等差数列的前项和为，若，则_ ， _.（12）曲线所围成的图形的面积等于_ .(13) 在中，,则_ . (14) 将含有个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合,其中，若中的元素满足条件：，则称为“完并集合”.若为“完并集合”，则的一个可能值为 .（写出一个即可） 对于“完并集合”，在所有符合条件的集合中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数.（）求函数的最小正周期；（）当时，求函数的取值范围.(16)(本小题满分13分)为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按的比例对名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2.表1：男生“身高”频数分布表身高频数25141342表2：女生“身高”频数分布表身高频数1712631（）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图；（）估计该校学生“身高”在之间的概率；（）从样本中“身高”在的男生中任选人，求至少有人“身高”在之间的概率.(17)(本小题满分14分)在四棱锥中，平面，,.()求证：；()求与平面所成角的正弦值；()线段上是否存在点,使平面？说明理由.(18)(本小题满分13分)在平面直角坐标系中，已知点,圆的圆心在直线上，并且与直线相切于点.()求圆的方程；()若动点满足，求点的轨迹方程；（）在()的条件下，是否存在实数，使得的取值范围是，说明理由.(19)(本小题满分13分)已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间. (20)(本小题满分14分)设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：，.()若等比数列为阶“期待数列”,求公比； ()若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式；()记阶“期待数列”的前项和为.(1)求证: ；(2)若存在，使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 昌平区20202020学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2020.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题 号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答 案ABBCCABD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9） （10） （11） ； （12） （13）； （14）（）（写出一个即可） ；（第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)解：（）因为 ，所以函数的最小正周期. 7分（）因为 所以.所以.所以. 所以函数的取值范围为. 13分(16)(本小题满分13分)解：()因为样本中男生人数是,由抽样比例是可得高一的男生人数是.男生的频率分布直方图如图所示. 4分()设为事件“该校学生“身高”在之间”.由表1和表2知,样本中“身高”在中人数是，样本的容量是,所以样本中学生“身高”在之间的频率是. 由估计学生“身高”在之间的概率是. 8分() 设为事件“从样本中“身高”在的男生中任选人，至少有人“身高”在之间”.样本中“身高”在之间的有人,设其编号是；样本中“身高”在间的男生有人,设其编号为.从中任取人的结果总数是. 共种.至少有人“身高”在间的有种,因此,所求概率是. 13分【用排列组合公式计算可酌情给分】 (17)(本小题满分14分)证明：()在四棱锥中，因为平面，平面, 所以. 因为， 所以. 因为, 所以平面.因为平面,所以. 4分() 如图，以为原点建立空间直角坐标系. 不妨设，则.则. 所以，. 设平面的法向量. 所以 .即. 令，则. 所以 所以所以与平面所成角的正弦值为. 9分()（法一）当为线段的中点时,平面.如图：分别取的中点,连结. 所以,且. 因为且， 所以且. 所以四边形是平行四边形. 所以. 因为， 所以三角形是等腰三角形. 所以. 因为平面， 所以. 因为, 所以平面. 所以平面. 即在线段上存在点,使平面. （法二）设在线段上存在点,当时，平面. 设，则.所以.即.所以.所以.由()可知平面的法向量.若平面，则.即.解得.所以当，即为中点时，平面. 14分(18)(本小题满分13分)解：（）设所求圆的圆心坐标为，半径为. 因为 圆心在直线上， 所以 ，即圆心. 因为 圆与直线相切于点，（法一） 所以 圆心到直线的距离. 即 .整理得：. 解得：.（法二） 所以垂直于直线.所以，即.所以 .所以 所求圆的方程为. 4分（）设.因为 ，所以.整理得 .即点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆.8分（）存在实数，使得的取值范围是.（1）当圆与圆外离时，依题意可得：即 由解得.由解得. 所以.（2）当圆内含于圆时，依题意可得：即由，解得.此时，与矛盾.综上所述，存在实数，使得的取值范围是. 13分(19)(本小题满分13分)解：（）当时，. 因为， 所以. 因为， 所以函数在点处的切线方程为. 6分 （）（1）当时，. 因为，当时，.所以函数的单调减区间为，无单调增区间.（2）当时, 的定义域为. 当时，, 所以函数的单调减区间为，无单调增区间.（3）当时，. 当时， 若，则， 若，则，所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为. 当时，为常数函数，无单调区间. 当时，若，则， 若，则，所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为.综上所述，当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时， 当时，函数的单调减区间为，函数的单调增区间为； 当时，为常数函数，无单调区间； 当时，函数的单调减区间为，函数的单调增区间为 13分(20)(本小题满分14分)解: () 若，则 由得，由得或. 若，由得, ，得，不可能. 综上所述. 4分()设等差数列的公差为. 因为，所以.所以.因为，所以由得.由题中的、得, ，两式相减得, 即. 又,得.所以. 9分() 记中非负项和为,负项和为.则, 得.（1） 因为，所以.（2） 若存在，使，由前面的证明过程知： ，且. 记数列的前项和为.则由(1)知, .所以因为， 所以.所以,.又, 则.所以.所以与不能同时成立.所以对于有穷数列,若存在，使，则数列不能为阶“期待数列”. 14分【各题若有其它解法，请酌情给分】
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