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word专题二：立体几何题型与方法文科一、 考点回顾1平面1平面的根本性质：掌握三个公理与推论，会说明共点、共线、共面问题。2证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点依据：由点在线上，线在面 ，推出点在面， 这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。3证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。4证共面问题一般用落入法或重合法。5经过不在同一条直线上的三点确定一个面.2. 空间直线.1空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面。2异面直线判定定理：过平面外一点与平面一点的直线和平面不经过该点的直线是异面直线.不在任何一个平面的两条直线3平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向一样，那么这两个角相等 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角或直角相等.5两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交共面垂直和异面垂直.是异面直线，如此过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面. l1或l2在这个做出的平面不能叫l1与l2平行的平面3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.1空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面.2直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.“线线平行，线面平行3直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.“线面平行，线线平行4直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. l 假如，得三垂线定理，得不出. 因为，但不垂直OA.l 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.“线线垂直，线面垂直直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.5a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短.注：垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面的射影是一条直线.b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面的射影在这个角的平分线上。4. 平面平行与平面垂直.1空间两个平面的位置关系：相交、平行.2平面平行判定定理：如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.“线面平行，面面平行推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面间的任一直线平行于另一平面.3两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.“面面平行，线线平行4两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，如此两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.“线面垂直，面面垂直5两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，如此它们交线垂直于第三平面.5. 锥、棱柱.1棱柱性质棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. 直棱柱不能保证底面是钜形可如图直棱柱定义棱柱有一条侧棱和底面垂直.2棱锥性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等它叫做正棱锥的斜高.正棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的射影也组成一个直角三角形.3球：a.球的截面是一个圆面.球的外表积公式：.球的体积公式：.b.纬度、经度：纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.附：圆柱体积：为半径，为高圆锥体积：为半径，为高锥形体积：为底面积，为高 1切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，得.注：球切于四面体：。外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.6. 空间向量.1a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.2空间向量根本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，如此对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使 (这里隐含x+y+z1).注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是BCD的重心，如此向量用即证.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足，如此四点P、A、B、C是共面3空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴对应为横坐标，y轴是纵轴对应为纵轴，z轴是竖轴对应为竖坐标.令=(a1,a2,a3),，如此， 。(用到常用的向量模与向量之间的转化：)空间两个向量的夹角公式a，b。空间两点的距离公式：.知识网络二、 经典例题剖析考点一 空间向量与其运算例题1. 三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？分析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对，使或对空间任一点，有。解：由题意：，即，所以，点与共面点评：在用共面向量定理与其推论的充要条件进展向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将条件进展转化运算例题2. 如图，矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，求证：平面分析：要证明平面，只要证明向量可以用平面的两个不共线的向量和线性表示证明：如图，因为在上，且，所以同理，又，所以又与不共线，根据共面向量定理，可知，共面由于不在平面，所以平面点评：空间任意的两向量都是共面的考点二 证明空间线面平行与垂直例题3.如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点，I求证：ACBC1；II求证：AC 1/平面CDB1；分析：1证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；2证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.解法一：I直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，ACBC，且BC1在平面ABC的射影为BC，ACBC1；II设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点， DE/AC1，ABCA1B1C1Exyz DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1/平面CDB1；解法二：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如此C0,0，0，A3,0，0，C10,0，4，B0,4，0，B10,4，4，D，2,013,0，0，0，4,0，0，ACBC1.2设CB1与C1B的交战为E，如此E0,2，2.，0,2，3,0，4，DEAC1.点评：转化转化平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关定义与判定定理和性质定理例题4.市东城区2007年综合练习如图，在棱长为2的正方体的中点，P为BB1的中点. I求证：； II求证； III求异面直线所成角的大小.分析：本小题考查直线与平面垂直，二面角等根底知识，考查空间想象能力和推理论证能力.解法一：I连结BC1由正方体的性质得BC1是BD1在平面BCC1B1的射影，所以(II)又， III延长由于正方体的棱长为2，即异面直线所成角的大小为arccos.解法二：I如图建立空间直角坐标系.如此B2，2，0，C0，2，0B12，2，2，D10，0，2.3分 II，. III，即异面直线所成角的大小为arccso点评：证明线面垂直只需证此直线与平面两条相交直线垂直即可.这些从此题证法中都能十清楚显地表现出来考点三 求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算的有机统一.解题时注意各种角的围：异面直线所成角的围是090，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的围是090，其解法是作垂线、找射影；二面角0180，其方法是：定义法；三垂线定理与其逆定理；垂面法 另也可借助空间向量求这三种角的大小.例题5. 省市2007届高三年级第三次质量检测在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=1，AD=DC=. 1求直线A1C与D1C1所成角的正切值； 2在线段A1C上有一点Q，且C1Q=C1A1，求平面QDC与平面A1DC所成锐二面角的大小.分析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，向量法办解法一：I为异面直线AC与D1C所成的角连AD，在RtADC中，CD=，AD=2， II过Q作EF在平面AC使EF/AB，连B1C、CF、DF，面EFCD即平面QDC；面A1B1CD即平面A1DC即为二面角A1DCQ的平面角.，即所求二面角大小为30解法二：I同解法一I II建立空间直角坐标系，即平面QDC与平面A1DC所成锐二面角为点评：此题主要考查异面直线所成的角、线面角与二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.例题6.省三中2008届高三第三次月考如图，正三棱柱的所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点 1求证：； 2求二面角的大小用反三角函数表示； 3求点到平面的距离。分析：此题涉与立体几何线面关系的有关知识, 此题实质上求解角度和距离,在求此类问题中，要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比拟好的方法.解答：1证明：建立如下列图， 即AEA1D， AEBD AE面A1BD2设面DA1B的法向量为由取设面AA1B的法向量为 由图可知二面角DBA1A为锐角，它的大小为arcos3，平面A1BD的法向量取如此B1到平面A1BD的距离d=点评：立体几何的容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点容,此题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比拟简单,此外用向量也是一种比拟好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比拟好写出来.考点四 探索性问题例题7. (2007文)A如图，在三棱锥中，是的中点，且，I求证：平面平面；II试确定角的值，使得直线与平面所成的角为解法1：，是等腰三角形，又是的中点，又底面于是平面又平面，平面平面 过点在平面作于，如此由知平面连接，于是就是直线与平面所成的角依题意，所以在中，；在中，故当时，直线与平面所成的角为解法2：以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如下列图的空间直角坐标系，如此，于是，从而，即同理，即又，平面又平面平面平面ADBCVxyz设平面的一个法向量为，如此由得可取，又，于是，即，故交时，直线与平面所成的角为解法3：以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如下列图的空间直角坐标系，如此，于是，从而，即同理，即又，平面又平面，平面平面设平面的一个法向量为，如此由，得ADBCVxy可取，又，于是，即故交时，即直线与平面所成角为考点五 折叠、展开问题例题82006年高考正方形、分别是、的中点,将沿折起,如下列图,记二面角的大小为(I) 证明平面;(II)假如为正三角形,试判断点在平面的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值分析:充分发挥空间想像能力，抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.解析: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB/FD,且EB=FD,四边形EBFD为平行四边形BF/ED.,平面(II)如右图,点A在平面BCDE的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GDACD为正三角形,AC=AD.CG=GD.G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,如此,所以为二面角A-DE-C的平面角 即.设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形,. 在RtADE中,.,点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。考点六球体与多面体的组合问题例题9设棱锥MABCD的底面是正方形，且MAMD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.分析：关键是找出球心所在的三角形，求出切圆半径.解：ABAD，ABMA，AB平面MAD，由此，面MAD面AC.记E是AD的中点，从而MEAD.ME平面AC，MEEF.设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨设O平面MEF，于是O是MEF的心.设球O的半径为r，如此r设ADEFa,SAMD1.ME.MF,r-1。当且仅当a，即a时，等号成立.当ADME时，满足条件的球最大半径为-1.点评：涉与球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心与多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形切圆半径与面积和周长间的关系；多面体切球半径与体积和外表积间的关系。三、 方法总结1位置关系：1两条异面直线相互垂直 证明方法：证明两条异面直线所成角为90；证明两条异面直线的方向量相互垂直。2直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3直线和平面垂直证明方法：证明直线和平面两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面不共线的两个向量都垂直；证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。4平面和平面相互垂直证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为90；证明一个平面的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。2求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。1两条异面直线的距离求法：利用公式其中A、B分别为两条异面直线上的一点，为这两条异面直线的法向量2点到平面的距离求法：“一找二证三求，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法，利用公式其中A为点，B为这个平面的任意一点，这个平面的法向量3求角1两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得围是，向量所成的角围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。2直线和平面所成的角求法：“一找二证三求，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角，那么所要求的角为或。3平面与平面所成的角求法：“一找二证三求，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。通过射影面积来求在其中一个平面找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos，注意到我们要求的角为或；向量法，先求两个平面的法向量所成的角为，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或。 我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比拟容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题根本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！4解题注意点1我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。2我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求，解题的过程中一定要出现这样一句话，“是我们所要求的角、“线段AB的长度就是我们所要求的距离等等。让人看起来一目了然。3用向量来求两条异面直线所成角时，假如求出cosx，如此这两条异面直线所成的角为arccos|x|4在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要或，假如求出的角为锐角，就用，假如求出的钝角，就用。5求平面与平面所成角的时，假如用第、种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。四、 强化训练（一） 选择题1空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面A可能有3个，也可能有2个 B可能有4个，也可能有3个C可能有3个，也可能有1个 D可能有4个，也可能有1个2如下命题中正确的个数是 三角形是平面图形四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形矩形一定是平面图形A1个B2个 C3个 D4个3设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，如此如下四个命题 假如假如 其中正确的命题的个数是 A0个B1个C2个D3个4如下列图，正四棱锥SABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，如此异面直线BE与SC所成角的大小为 A90B60C45D305设有如下三个命题：甲：相交直线、m都在平面，并且都不在平面；乙：直线、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲成立时，A乙是丙的充分而不必要条件B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件6假如a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是，l与a、l与b所成的角都是，如此的取值围是 ABCD7在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，如此点A1到截面AB1D1的距离是( )ABCD8在直二面角l中，直线a,直线b,a、b与l斜交，如此( )Aa不和b垂直，但可能abBa可能和b垂直，也可能abCa不和b垂直，a也不和b平行Da不和b平行，但可能ab9在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，如此直线OP与直线AM所成的角是( )ABCDA1CBAB1C1D1DO10如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，如此O到平面ABC1D1的距离为BA、B、C、D、11ABC的顶点B在平面a，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是30和45,假如AB=3,BC= ,AC=5,如此AC与a所成的角为(A)60 (B)45 (C)30 (D)1512矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，如此四面体ABCD的外接球的体积为 ABCD二填空题13设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“XZ且YZXY为真命题的是_(填序号)X、Y、Z是直线；X、Y是直线，Z是平面；Z是直线，X、Y是平面；X、Y、Z是平面.14AOB90,过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60，如此以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_15正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,如此这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_16空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，如此P与Q的最短距离为_（一） 解答题17. ，从平面外一点引向量，PABCDD1A1B1C111441第18题图1求证：四点共面；2平面平面18. 如图，是正四棱锥,是正方体，其中求证：；求平面与平面所成的锐二面角的大小；求到平面的距离19. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点 1求证：平面PAD； 2当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， 直线平面PCD？20省市2007年高三第三次教学质量检测，在如下列图的几何体ABCED中，EC面ABC，DB面ABC，CE=CA=CB=2DB，ACB=90，M为AD的中点。 1证明：EMAB； 2求直线BM和平面ADE所成角的大小。21.省市20062007学年度高三年级第一次摸底考试如图，四面体CABD，CB = CD，AB = AD， BAD = 90.E、F分别是BC、AC的中点. 求证：ACBD； 如何在AC上找一点M，使BF平面MED？并说明理由； 假如CA = CB，求证：点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点.22.省市2008届高三第二次调研正方体，E为棱的中点() 求证：；() 求证：平面；求三棱锥的体积强化训练题答案1【答案】D解析： 分类，第一类，四点共面，如此有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，如此任何三点都确定一个平面，共有4个。.2【答案】B解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比拟特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，如此确定了一个平面。3【答案】B解析：注意中b可能在上；中a可能在上；中b/，或均有，故只有一个正确命题4【答案】B解析： 平移SC到，运用余弦定理可算得5【答案】C解析：当甲成立，即“相交直线、m都在平面，并且都不在平面时，假如“、m中至少有一条与平面相交，如此“平面与平面相交成立；假如“平面与平面相交，如此“、m中至少有一条与平面相交也成立6【答案】D解析： 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值。7【答案】C 解析设A1C1B1D1=O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1过A1作A1HAO1于H，如此易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在RtA1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1A1A=hAO1,可得A1H=。8【答案】C 解析如图，在l上任取一点P，过P分别在、作aa,bb,在a上任取一点A，过A作ACl，垂足为C，如此AC,过C作CBb交b于B，连AB，由三垂线定理知ABb，APB为直角三角形,故APB为锐角9【答案】D 解析(特殊位置法将P点取为A1，作OEAD于E，连结A1E，如此A1E为OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM与OP成90角答案D10【答案】B 解析：取B1C1的中点M，连B1C交BC1于，取C1的中点N，连MN，如此MN又在正方体ABCD-A1B1C1D1中OM平行于平面ABC1D1.如此O到平面ABC1D1距离转化为M到平面ABC1D1的距离，即MN=，应当选B11【答案】ABCEDFC 解析：如图，AE平面于E,CD平面于D,EFAC,EF交CD于F,如此ABE=300,CBD=450,由此得CD=4,AE=1.5,EF=2.5,而EF=AC=5 FED=300,即AC与平面所成的角为300,选(C)12【答案】C 解析：连接矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如此AOBOCODO，如此O为四面体ABCD的外接球的圆心，因此四面体ABCD的外接球的半径为，体积为.选C.13【答案】 解析是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，是真命题，是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例14【答案】解析在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，如此AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB=答案15【答案】60 解析设一个侧面面积为S1，底面面积为S，如此这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为,如此cos=,=60答案6016【答案】a 解析以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,PQAB,同理可得PQCD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtAPQ中，PQ=a.答案a17解：1四边形是平行四边形，共面；2，又，所以，平面平面18解：() 连结AC , 交BD于点O , 连结PO , 如此PO面ABCD , 又, , , AOBD , AOPO , AO面PBD , 过点O作OMPD于点M，连结AM , 如此AMPD , AMO就是二面角A-PD-O的平面角, 又, AO=,PO= , ,即二面角的大小为 ()用体积法求解：即有 解得，即到平面PAD的距离为19证：1取CD中点G，连结EG、FGE、F分别是AB、PC的中点，EG/AD，FG/PD，平面EFG/平面PAD， EF/平面PAD2当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF平面PCD.证明：G为CD中点，如此EGCD，PA底面ABCDAD是PD在平面ABCD的射影。 CD平面ABCD，且CDAD，故CDPD 又FGPDFGCD，故EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角，即EGF=45，从而得ADP=45，AD=AP.由RtDPAERtDCBE，得PE=CE.又F是PC的中点，EFPC.由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，CDEF，即EFCD，故EF平面PCD 20解法一： 1如图，以C为原点，CA、CB、CE所在的射线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.不妨设BD=1，如此E0，0，2，A2，0，0，D0，2，1，B0，2，0由M是AD的中点，得M2设面ADE的法向量n=x，y，z由又直线BM和平面ADE所成角为。解法二：1如图，过M作MNAB，由DB面ABC2分M是AD中点，N是AB中点，CA=CB，AB由三垂线定理，得EMAB2设CB和ED延长线交于F，不妨设BD=1易求设B到面AEF的距离为h，由设直线BM和平面ADE所成角为。21解：取BD的中点O，连接AO，CO，在BCD中，BC = DC，COBD，同理AOBD 而AOCO = O，BD平面AOC， 又平面AOC，ACBD. 取FC的中点M，连接EM，DM，E是BC的中点，BFEM，平面MED，BF平面MED，FC的中点M即为所求. ABD是等腰直角三角形，BAD = 90，AO = BO= DO；CA = CB = CD，CO是公共边，COACOBCOD；COA=90，即COAO，又COBD，AOBD = O，CO平面ABD即点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点 。22解析：主要考察立体几何中的位置关系、体积 ()证明：连结，如此/， 是正方形，面，又，面 面， 证明：作的中点F，连结是的中点，四边形是平行四边形，是的中点，又，四边形是平行四边形，/，平面面 又平面，面 3 四创新试题如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1. I求证：A1C/平面AB1D； II求二面角BAB1D的大小； III求点c到平面AB1D的距离.2,4,6创新试题解析答案1解法一I证明：连接A1B，设A1BAB1 = E，连接DE.ABCA1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，四边形A1ABB1是正方形，E是A1B的中点，又D是BC的中点，DEA1C. DE平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D. II解：在面ABC作DFAB于点F，在面A1ABB1作FGAB1于点G，连接DG.平面A1ABB1平面ABC， DF平面A1ABB1，FG是DG在平面A1ABB1上的射影， FGAB1， DGAB1FGD是二面角BAB1D的平面角 设A1A = AB = 1，在正ABC中，DF=在ABE中，在RtDFG中，所以，二面角BAB1D的大小为 III解：平面B1BCC1平面ABC，且ADBC，AD平面B1BCC1，又AD平面AB1D，平面B1BCC1平面AB1D.在平面B1BCC1作CHB1D交B1D的延长线于点H，如此CH的长度就是点C到平面AB1D的距离. 由CDHB1DB，得即点C到平面AB1D的距离是解法二：建立空间直角坐标系Dxyz，如图， I证明：连接A1B，设A1BAB1 = E，连接DE.设A1A = AB = 1，如此， II解：， ，设是平面AB1D的法向量，如此，故；同理，可求得平面AB1B的法向量是设二面角BAB1D的大小为，二面角BAB1D的大小为 III解由II得平面AB1D的法向量为，取其单位法向量点C到平面AB1D的距离五、 复习建议1位置关系的判断，根据概念、性质和定理进展判断，认定是正确的，要能证明；认定上不正确的，只需举反例.注意作图辅助说明.2证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.3空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算的有机统一.解题时注意各种角的围.异面直线所成角的围是090，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的围是090，其解法是作垂线、找射影；二面角0180，其方法是：定义法；三垂线定理与其逆定理；垂面法 另也可借助空间向量求这三种角的大小.4与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据根本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用5平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折或展开前后两个图形，分清哪些元素的位置或数量关系改变了，哪些没有改变.28 / 28
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