三角函数题型总结教师版

.高三数学三角函数题型大全一、求值化简型1、公式运用例1已知tan=3,求：的值。2已知tan+sin=m,tan-sin=n ,求证：.1解：2证明：两式相加,得 两式相减,得所以 举一反三2004.XX理本小题满分12分1、已知的值.解：由得又于是2、20XX西城二模如图,在直角坐标系中,角的顶点是原点,始边与轴正半轴重合,终边交单位圆于点,且将角的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点记若,求；分别过作轴的垂线,垂足依次为记的面积为,的面积为若,求角的值解：由三角函数定义,得 ,2分 因为 , 所以 3分 所以 5分解：依题意得 , 所以 , 7分9分 依题意得 , 整理得 11分因为 , 所以 ,所以 , 即 13分2、三角形中求值例20XX高考北京卷理在ABC中,a=3,b=2,B=2A.求cosA的值; 求c的值.答案解:因为a=3,b=2,B=2A. 所以在ABC中,由正弦定理得.所以.故.由知,所以.又因为B=2A,所以.所以.在ABC中,.所以.举一反三20XX普通高等学校招生统一考试大纲版数学理WORD版含答案已校对设的内角的对边分别为,.求若,求.答案三角不等式20XX高考XX卷理已知函数.若是第一象限角,且.求的值;求使成立的x的取值集合.答案解: .二、图像和性质型1、求范围型例2008北京卷15已知函数的最小正周期为求的值；求函数在区间上的取值范围解：因为函数的最小正周期为,且,所以,解得由得因为,所以,所以,因此,即的取值范围为二次函数型例2008XX卷17求函数的最大值与最小值。解：由于函数在中的最大值为最小值为故当时取得最大值,当时取得最小值2、求单调区间例2014XX卷 已知函数fsin.求f的单调递增区间；若是第二象限角,fcoscos2,求cossin的值解：因为函数ysinx的单调递增区间为,kZ,由2k3x2k,kZ,得x,kZ.所以,函数f的单调递增区间为,kZ.由已知,得sincos,所以sincoscossin,即sincos2当sincos0时,由是第二象限角,得2k,kZ,此时,cossin.当sincos0时,2.由是第二象限角,得cossin0,此时cossin.综上所述,cossin或.3、和图像结合例2008XX卷16本小题满分13分已知函数,的最大值是1,其图像经过点1求的解析式；2已知,且,求的值解析1依题意有,则,将点代入得,而,故；2依题意有,而,。举一反三12008天津卷17本小题满分12分已知函数的最小值正周期是求的值；求函数的最大值,并且求使取得最大值的的集合解：由题设,函数的最小正周期是,可得,所以由知,当,即时,取得最大值1,所以函数的最大值是,此时的集合为22008XX卷17已知函数求函数的最小正周期和图象的对称轴方程求函数在区间上的值域解：1由函数图象的对称轴方程为 2因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以 当时,取最大值 1又 ,当时,取最小值所以 函数 在区间上的值域为32008XX卷17已知函数f为偶函数,且函数yf图象的两相邻对称轴间的距离为求f的值；将函数yf的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数yg的图象,求g的单调递减区间.解：f2sin因为f为偶函数,所以对xR,f=f恒成立,因此sin-sin.即-sincos+cossin=sincos+cossin,整理得sincos=0.因为0,且xR,所以cos-0.又因为0,故-.所以f2sin=2cos.由题意得故f=2cos2x.因为将f的图象向右平移个个单位后,得到的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象. 当2k2 k+ , 即4kx4k+ 时,g单调递减. 因此g的单调递减区间为4、2008XX卷16.已知函数将函数化简成,的形式；求函数的值域.解：由得在上为减函数,在上为增函数,又当,即故g的值域为5、2008XX卷17本小题满分12分已知函数求函数的最小正周期及最值；令,判断函数的奇偶性,并说明理由解：的最小正周期当时,取得最小值；当时,取得最大值2由知又函数是偶函数三、解三角形型1、求基本元素例2008全国二17在中, 求的值；设的面积,求的长. 解：由,得,由,得所以5分由得,由知,故,8分又,故,所以10分举一反三2008XX卷17在中,角所对应的边分别为,求及解：由得,又由得 即,由正弦定理得2、求范围均值定理型例2008全国一17设的内角所对的边长分别为,且求的值；求的最大值解析：在中,由正弦定理及可得即,则；由得当且仅当时,等号成立,故当时,的最大值为.举一反三2014XX卷 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a,b,c成等差数列,证明：sinAsinC2sin；若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值16解：a,b,c成等差数列,ac2b.由正弦定理得sinAsinC2sinB.sinBsinsin,sinAsinC2sina,b,c成等比数列,b2ac.由余弦定理得cosB,当且仅当ac时等号成立,cosB的最小值为.二次函数型20XX高考XX卷理在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+cosB=0.求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围。答案解:由已知得即有因为,所以,又,所以,又,所以. 由余弦定理,有. 因为,有. 又,于是有,即有. 转化求范围例设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sinAab,a1.求角A的大小；求ABC的周长的取值范围正弦定理的高级运用,将边及对角正弦值转化解：由sinAab,结合余弦定理可得2abcosCsinAab,即2cosCsinAsinC2sin,化简得sinC0.因为sinC0,所以cosA.又A,所以A.因为A,a1,所以由正弦定理可得bsinB,csinC,所以ABC的周长labc1sinBsinC111sin.因为B,所以B,则sin,故labc1sin.例在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosCcosA求角A的大小；求cos2sin2的取值范围纯粹三角形内角之间的转化,比上题简单一步解：由正弦定理可得,sinAcosC2sinBcosAsinCcosA,从而可得sin2sinBcosA,即sinB2sinBcosA,又B是三角形的内角,所以sinB0,于是cosA.又A为三角形的内角,因此A.cos2sin2sinBcosC1sinBcos1sinBcoscosBsinsinB1sinBcosB1sin1,由A可知,B,所以B,从而sin,因此sin1,故cos2sin2的取值范围为.例还是转化问题,在单位圆上坐标与三角函数的转化-如何选变量的问题已知A是单位圆上任意一点,将射线OA绕O点逆时针旋转30得到OB,交单位圆于点B,则xAyB的最大值为A.B.C1D. 小结 在单位圆中定义的三角函数,当角的顶点在坐标原点、角的始边在x轴正半轴上时,角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值如果不是在单位圆中定义的三角函数,则只需将角的终边上点的纵坐标除以该点到坐标原点的距离,即得该角的正弦值解设从x轴正方向逆时针旋转到射线OA所形成的角为,根据三角函数定义得xAcos ,yBsin,所以xAyBcos sinsin cos sin,故其最大值为1.求面积例2008XX卷17在中,内角对边的边长分别是,已知,若的面积等于,求；若,求的面积解：由余弦定理及已知条件得,又因为的面积等于,所以,得4分联立方程组解得,6分由题意得,即,8分当时,当时,得,由正弦定理得,联立方程组解得,所以的面积12分例如图K221所示,在ABC中,sin,AB2,点D在线段AC上,且AD2DC,BD.求BC的长；求DBC的面积图K221图形的转化解：因为sin,所以cosABC12.在ABC中,设BCa,AC3b,则由余弦定理可得9b2a24a.在ABD和DBC中,由余弦定理可得cosADB,cosBDC.因为cosADBcosBDC,所以有,所以3b2a26.由可得a3,b1,即BC3.由得,sinABC,所以ABC的面积为232,所以DBC的面积为.四、与向量结合型例2008XX卷17本小题满分12分已知向量m=,n=,mn1,且A为锐角.求角A的大小；求函数的值域.解：由题意得由A为锐角得由知所以因为xR,所以,因此,当时,f有最大值.当sinx=-1时,f有最小值-3,所以所求函数f的值域是.举一反三1、20XX高考XX卷理已知向量, 设函数. 求f 的最小正周期. 求f 在上的最大值和最小值. 答案解: =.最小正周期.所以最小正周期为. .所以,f 在上的最大值和最小值分别为.2、平面直角坐标系有点,求向量和的夹角的余弦用表示的函数求的最值.解：且即；3、20XX普通高等学校招生全国统一招生考试XX卷数学已校对纯WORD版含附加题本小题满分14分.已知,.若,求证:;设,若,求的值.答案解: 即,又, 即两边分别平方再相加得: ABC4、在中,.求的值；设动点在以为圆心,为半径的劣弧上运动,求的最小值.解：由已知. 2分ACxyPB4分5分建立如图所示的直角坐标系,则,因为,根据三角函数定义, 7分点在以为圆心,为半径的劣弧上运动,可设,其中. 8分. 10分因为,所以,当时,取得最小值,所以的最小值为. 12分五、综合运用例2014XX卷 已知函数f,g3cosx4ln.证明：存在唯一x0,使f0；存在唯一x1,使g0,且对中的x0,有x0x1.证明：当x时,f2xcosx0,函数f在上为减函数又f0,f20,所以存在唯一x0,使f0.记函数h4ln,x.令tx,则当x时,t.记uh4ln,则u.由得,当t时,u0,当t时,u0.故在上u是增函数,又u0,从而可知当t0,x0时,u0,所以u在0,x0上无零点在上u为减函数,由u0,u4ln20,知存在唯一t1,使u0,故存在唯一的t1,使u0.因此存在唯一的x1t1,使hhu0.因为当x时,1sinx0,故gh与h有相同的零点,所以存在唯一的x1,使g0.因为x1t1,t1x0,所以x0x1.例2014XX卷 已知函数f,g3cosx4ln.证明：存在唯一x0,使f0；存在唯一x1,使g0,且对中的x0,有x0x1.证明：当x时,f2xcosx0,函数f在上为减函数又f0,f20,所以存在唯一x0,使f0.记函数h4ln,x.令tx,则当x时,t.记uh4ln,则u.由得,当t时,u0,当t时,u0.故在上u是增函数,又u0,从而可知当t0,x0时,u0,所以u在0,x0上无零点在上u为减函数,由u0,u4ln20,知存在唯一t1,使u0,故存在唯一的t1,使u0.因此存在唯一的x1t1,使hhu0.因为当x时,1sinx0,故gh与h有相同的零点,所以存在唯一的x1,使g0.因为x1t1,t1x0,所以x0x1.例20XX普通高等学校招生统一考试XX数学理试题纯WORD版已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍,在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.求函数与的解析式;是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.来源:学,科,网求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.答案解:由函数的周期为,得又曲线的一个对称中心为,故,得,所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数当时,所以问题转化为方程在内是否有解设,则因为,所以,在内单调递增又,且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,即存在唯一的满足题意依题意,令当,即时,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,现研究时方程解的情况令,则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况,令,得或当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,所以综上,当,时,函数在内恰有个零点.