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2.2 初等因子和矩阵的相似初等因子和矩阵的相似一、初等因子一、初等因子设设 矩阵矩阵 的不变因子为的不变因子为在复数域内将它们分解成在复数域内将它们分解成一次因式一次因式的幂的乘积：的幂的乘积：( )A12( ),( ),( )rddd 11112221221211221212() ()()()()()()()()ssrsrreeeseeeseeersdaaadaaadaaa其中其中 是互异的复数，是互异的复数， 是非负整数。因是非负整数。因为为 ，所以满足如下关系，所以满足如下关系1,saaije112111222212000rrssrseeeeeeeee定义定义2.2.12.2.1 在上式中，所有在上式中，所有指数大于零指数大于零的因子的因子称为称为 矩阵矩阵 的的初等因子初等因子。（注意注意：重复的因子也考虑在内）：重复的因子也考虑在内）( )A() ,0,1, ,1,ijejijaeir js) 1,.,2 , 1( )()(1riddii例例 如果如果 矩阵矩阵 的不变因子为的不变因子为( )A 1222323341(1)(1) (1)(1) (1) (2)dddd 则则 的初等因子为的初等因子为( )A2, ,1, 2323(1) ,(1) ,(1) ,(1) ,(2)例例 如果如果 矩阵矩阵 的秩为的秩为4 4，其初等因，其初等因子为子为( )A5 62233, ,1,(1) ,(1) ,() i 3() i , ,求求 的的Smith标准形标准形。( )A解：首先求出解：首先求出 的不变因子的不变因子( )A 233342321(1) () ()(1)(1)1diiddd 从而从而 的的Smith标准形为标准形为思考：思考：已知初等因子，如何求不变因子？已知初等因子，如何求不变因子？( )A223231000000(1 )0000( )00(1 )000000(1 )(1 )00000000A 练习练习：（1）设设 为一个为一个5阶的阶的 矩阵，其秩为矩阵，其秩为3，初等因子为初等因子为 试求试求 的不变因子和的不变因子和Smith标准形。标准形。（2）设设 为一个为一个5阶的阶的 矩阵，其秩为矩阵，其秩为4，初等因子为初等因子为 试求试求 的不变因子和的不变因子和Smith标准形。标准形。( )A( )B( )A( )B322) 1( , 1, 1, 1,322) 1( , 1, 1, 1,定理定理2.2.1 阶阶 矩阵矩阵 与与 等价等价的充的充要条件是它们有要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子相同的秩且有相同的初等因子。定理定理2.2.2 设设 矩阵矩阵为准对角形矩阵，则为准对角形矩阵，则 与与 的初等因的初等因子的全体是子的全体是 的全部初等因子。的全部初等因子。此定理也可推广成如下形式：此定理也可推广成如下形式：( )( )( )BAC( )B( )C( )An( )A( )B定理定理 2.2.3 若若 矩阵矩阵则则 各个初等因子的全体各个初等因子的全体就是就是 的全部初等因子。的全部初等因子。12( )( )( )( )tAAAA12( ),( ),( )tAAA( )A例例 1 求求 矩阵矩阵的初等因子，不变因子与标准形。的初等因子，不变因子与标准形。解：解：记记22000000( )00(1)10022A21223( ),( ),(1)1( )22AAA那么那么对于对于 ，其初等因子为，其初等因子为 由上面的定理可知由上面的定理可知 的初等因子为的初等因子为因为因为 的秩为的秩为4，故，故 的不变因子为的不变因子为123( )00( )0( )000( )AAAA3( )A,1,1 ( )A, , ,1,1,1 ( )A( )A 4321(1)(1),(1),1dddd 因此因此 的的Smith标准形为标准形为( )A1000000( )00(1)0000(1)(1)A 例例 2 求下面求下面 矩阵行列式因子，不变因子与矩阵行列式因子，不变因子与Smith标准形标准形1000100015432练习：练习：求下列求下列 矩阵的不变因子，行列式因子和矩阵的不变因子，行列式因子和Smith标准形标准形1210010( )00001nnaaAaa二、数字矩阵的相似与二、数字矩阵的相似与 矩阵的等价矩阵的等价定理定理2.2.5： 设设 是两个是两个 阶的数字矩阵，阶的数字矩阵，那么那么 与与 相似相似的的充分必要条件充分必要条件为它们的特为它们的特征矩阵征矩阵 与与等价等价。定义定义： 对于数字矩阵对于数字矩阵 ，我们称，我们称 的的不变因子为不变因子为 的的不变因子不变因子，称，称 的初等的初等因子为因子为 的的初等因子初等因子。 ,A BnABIAIBAIAAIAA例例 求求JordanJordan块矩阵的初等因子块矩阵的初等因子100000001000aaaa练习练习 求下列矩阵的初等因子求下列矩阵的初等因子201034011 对于任何一个数字矩阵对于任何一个数字矩阵 所以所以 ，于是可得下面两，于是可得下面两个定理个定理定理定理2.2.6： 两个同阶的方阵两个同阶的方阵 相似相似的的充分充分必要必要条件是它们有条件是它们有相同的初等因子相同的初等因子。定理定理2.2.7：两个同阶的方阵：两个同阶的方阵 相似相似的的充分充分必要必要条件是它们有条件是它们有相同的不变因子相同的不变因子。例例 设设 ，证明：，证明：,A B,A B,0AIA()rankIAn0（1） 阶矩阵阶矩阵与与11aaAanaaBa相似；相似；（2） 阶矩阵阶矩阵与与n11aaAa不相似。不相似。 11aaBa
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