川大离散数学习题5

121.设A=(a,b)习题a,bUN.定义R=DDa,b),(c,d)|ad二be,证明Ab軋,bNR=(证：自反性：由A的定义，abbaa,b)A上的等价关系,(c,d)|ad=bca,bN关系1212a,b,a,bR 对称性设a,bdR，则adbc即cbdac,d,a,bR 传递性设%，b1WdR，则a1d1b、c1cddc addbcdbdcadbc1121121121212 a,b,dR11222.定义复数集合的子集合C二a+bii2=-l,a、b.R,a0,在C上定1义关系S为：(a+bi)S(c+di)ac0。证明：S是C上的一个等价关1系，并给出S的等价类的几何说明。证明：因为(a+bi)S(c+di)ac0(a,bR,a.),c.)r:a3,a20(a+bi)S(a+bi)s:(a+bi)S(c+di)ac0ca0(c+di)S(a+bi)t:(a+bi)S(c+di)(c+di)S(u+vi)ac0u0au0(a+bi)S(u+vi)综上，S是C上的一个等价关系。1由于ac0,必须a)，c)且a和c同号,故S只有2个等价类，其一是l=a+bi|a0,另一个是于复平面上右半部和左半部。-1=a+bi|a0，它们分别对应3.集合A二1,2,3,4的一个分划为盲1，2,4，3，求由S导出0的A上的一个等价关系R.解：A2,3,4厚S0设A2,3疋A12R，1，2翼，!M2fh?(2flh4. 试确定在4个元素的集合上可以定义出的等价关系数目解：每个集合的划分就可以确定一个等价关系口集合有多少个划分就可以确定多少个等价关系4321CCCC15种。44445. 设R和R是非空集合A上的两个等价关系.试确定下列各个关系12是否是A上的等价关系：如果是，加以证明；如果不是，举例说明：R八R；(3)r(R-R)；(4DRR11I21212解： RR不是A上的等价关系12 RR是A上的等价关系12 rHR是A上的等价关系12 ROR不是A上的等价关系6.设R是非空集合A上的一个二元关系,具有对称性和传递性.证明12如果对每一个x.A,存在y.A使xRy,那么，R是A上的等价关系。证明：由题可知，对于每一个x,都存在y使xRy,则非空集合A上所有的元素都存在关系（x,y），又因为R具有对称性，则对于所有的x，R中也必然存皿y,x)又因为R具有传递性，则对于所有的x,R中也必然存皿x,x),即R具有自反性综上，据等价关系定义，R是A上的等价关系7.设M是全体n阶矩阵的集合n.如果对矩阵A、B.M,n存在可逆矩阵p.M使得A二PBP-1,则记为AdnB（读为A相似于B）.证明：D是M上的n等价关系证明r:设E是单位矩阵，则.A,A二EAE1.AAs:AB.A=PBP-1.P-1AP=B.B=P-1A(P-1)-1.BAt:AB.BC.A=PBP-1.B=QCQ-1.A=P(QCQ-1)P-1.A=(PQ)C(PQ)-1.AC所以是Mn上的等价关系.8.设A是由54的正因子构成的集合，丨表示整除.作出偏序集0000002a,.使得是的拓扑排序。Aa,b,c,d2Abc,dcdd,b,c,b,dc,dc,d,b,c,d,b,c,dcdd,b,c,b,d,c,dc,d,b,c,d