角的概念的推广

4.1 角的概念的推广教学目标1.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；2.能在0和360范围内，找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合；3.能树立运动变化的观点，深刻理解推广后的角的概念；4.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律提示生活中的空间形式和数量关系教学建议1关于角的概念的推广的知识结构本小节内容从角不大于周角的非负角开始扩充到任意角，使角有正角、负角、零角之分。在平面直角坐标系内建立适当的直角坐标系后，根据角的终边在哪一象限，把角划分为四个象限和特殊角等若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。再由特殊到一般进行归纳总结. 2关于角的概念的推广的重点、难点分析本节的重点是任意角的概念和象限角的概念；难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来可以通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的建立直角平面坐标系的前提是：角的顶点和坐标原点重合，角的始边与 轴的正半轴重合在这个前提下角的终边落在第几象限就称为第几象限的角，若终边落在坐标轴上，称为坐标轴上的角为了加深对任意角概念的理解，应正确区分锐角、 的角、小于 的角凡与角 终边相同的角均可以写作 这一条件不可少，它表明了与 终边相同的角都相差 的整数倍，或者在形成角的过程中，每当射线绕原点转一圈时，就会出现一个与 终边相同的角，经常使 在 之间，求终边相同的角，可用此角去除以 ，使余数在 之间3关于角的概念的推广的教法建议（1）建议通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的也就是用运动的观点来讲述角的概念的推广实际意义（2）正角与负角的规定是出于习惯，就和正数、负数规定一样。建议讲正角和负角的教学时对比正数、负数进行教学（3）角的概念推广后，建议引导学生辨别“锐角”、“ 的角”、“小于 的角”、“第一象限角”这些容易混淆的概念（4）建立平面直角坐标系后，建议在教学过程中要注意正确区分 轴正半轴上的角与 轴上的角， 轴正半轴与 轴上的角，防止学生发生混淆（5）建议在教学过程中要认真对待本节的符号、词语，注意它们的正确使用，给学生树立一个榜样教学设计示例（一）角的概念的推广教学目标1理解引入大于 角和负角的意义2理解并掌握正、负、零角的定义3掌握终边相同角的表示法4理解象限角的概念、意义及其表示方法重点难点1理解并掌握正、负、零角的定义2掌握终边相同角的表示法教学用具直尺、投影仪教学过程1设置情境设置实例（1）用扳手拧螺母（课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）说明旋转第二周、第三周，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法2探索研究（1）正角、负角、零角概念一条射线由原来位置 ，绕着它的端点 ，按逆时针方向旋转转到 形成的角规定为正角，如图中角 ；把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角，如图中的 ；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角，与初中所学角概念一样， 、 ，点 分别叫该角的始边、终边、角顶点如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在 轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为轴上角我们作出 ， 及 三个角，易知，它们的终边相同。还可以看出， ， 的终边也是与 角终边重合的，而且可以理解，与 角终边相同的角，连同 在内，可以构成一个集合，记作 一般地，我们把所有与角 终边相同的角，连同角 在内的一切角，记成 ， 或写成集合 形式（2）例题分析【例1】在 间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1） ；（2） ；（3） 解：（1） 与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；（2） 与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；（3） 所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角 总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值练习：（学生板演，可用投影给题）（1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_（2）集合 中，各角的终边都在（ ）A 轴正半轴上，B 轴正半轴上，C 轴或 轴上，D 轴正半轴或 轴正半轴上解答：（1） （2）C【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 ，并把 中适合不等式 的元素 写出来：（1） ；（2） ；（3） 解：（1） 中适合 的元素是 （2） 满足条件的元素是 （3） 中适合元素是 说明：与角 终边相同的角，连同 在内可记为 ， 这里（1） ；（2） 是任意角；（3） 与 之间是“”连接，如 应看做 ；（4）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差 的整数倍；（5）检查两角 ， 终边是否相同，只要看 是否为整数练习：（学生口答：用投影给出题）（1）请用集合表示下列各角 间的角 第一象限角锐角小于 角（2）分别写出：终边落在 轴负半轴上的角的集合；终边落在 轴上的角的集合；终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；终边落在四象限角平分线上的角的集合解答（1） ； ； ； （2） ； ； ； 说明：第一象限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 【例3】用集合表示：（1）第三象限角的集合（2）终边落在 轴右侧的角的集合解：（1）在 中，第三象限角范围为 ，而与每个 角终边相同的角可记为 ， ，故该范围中每个角适合 ， ，故第三象限角集合为 （2）在 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠3练习反馈（1）与 的终边相同且绝对值最小的角是_（2）若角 与角 的终边重合，则 与 的关系是_，若角 与角 的终边在一条直线上，则 与 的关系是_（3）若 是第四象限角，则 是（ ）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案：（1） ；（2） ， ， ；（3）C4总结提炼判断一个角 是第几象限角，只要把 改写成 ， ，那么 在第几象限， 就是第几象限角，若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为： ， 这种模式（ ），然后只要考查 的相关问题即可另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法课时作业1在 到 范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角（1） （2）（3） （4） 2写出终边在 轴上的角的集合（用 的角表示）3写出与 终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 的元素 写出来4时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为_，时针所转过的角的度数为_5写出终边在直线 上的角的集合，并给出集合中介于 和 之间的角6角 是 中的一个角，若角 与 角有相同始边，且又有相同终边，则角 参考答案：1（1） （2） （3） （4） 2 3 ， 或 4 ， 5 ， 或 6 教学设计示例（二）角的概念的推广教学目标1讨论等分角所在象限问题2会表示给定区域内的角的集合重点难点1讨论等分角所在象限问题2会表示给定区域内的角的集合教学用具投影仪教学过程1教学情境我们都知道， 是锐角， 角的一半 也是锐角，那么第一象限角： ， 的一半 是否仍在第一象限呢？2探索研究（1）在上述问题中，令 ， ，则 为了确认 的终边所在位置，关键是“看”， 是否为 的整数倍。为此可对 的奇、偶性展开讨论若 ， ，则 ，进而可知 与 角终边相同且在象限若 ， ，则 ，易知 与 角终边相同，都在象限综上可知， 在或象限，且它的两个终边互为反向延长线。（2）若已知：角 满足 ， 、 为常数， ，则 所在位置如何确定？事实上，此问题可以仿照上述问题一样处理 ， 为了确定 所在区间，需要确定“边界” ， ， 的位置，为此又需要“看” 是否为 的整数倍，故讨论如下若 ， ，则 ， 如图，它表示单位圆中的扇形区域若 ， ，则 此时， 在单位圆中的区域中综上知， 在对顶扇形、之中（3）例题分析【例1】若 是第二象限角时，则 ， ， 分别是第几象限的角？解：（1） 是第二象限的角 则 ，故 是第三或第四象限的角，或角的终边在 轴的负半轴上（2） ，当 时， 是第一象限的角，当 时， ， 是第三象限的角， 是第一或第三象限的角（3） ，当 时， ， 是第一象限的角，当 时 ， 是第二象限的角；当 时， ， 是第四象限的角；综上所述 是第一或第二或第四象限的角，如图所示：3演练习反馈1设 ， ， 则相等的角集合为_2如图，终边落在阴影处（包括边界）的角集合为（ ）A B C D 参考答案：1 ， 2D4总结提炼（1）欲问角 在哪个象限，只需把 改写成 ，其中 ，如讨论形如 所表示的角所在象限，可按 ， ， 对整数 进行分类，目的是“凑”出表达： （2）对表达式 ， ， 、 为常数，它的图示为单位圆中的对顶扇形课时作业1若 的终边在第一、三象限的角平分线上，则 的终边在_2下列各题中，正确的是（ ）A终边和始边都相同的两个角一定相等B 是第二象限的角C若 ，则 是第一象限角D相等的两个角终边一定相同3与 终边相同的角可写成（ ）A B C D 4已知角 的终边与 轴的正半轴所夹的角为 ，且终边落在第二象限，又 ，求 5已知 求 ， 参考答案：1在 轴正半轴上（注： 轴正半轴上角都是 吗？）2选D3选C 取2时 4 ， 5 典型例题例1 设 ， ， ， ，那么有（ ）A B C （ ）D 分析：解答本题时，先应明确所给集合中角的具体含义，再逐一对照每一个选项，明辨真伪解：第一象限的角不一定小于 （如 ），故A错；小于 的角不一定在第一象限（如 ），故B错； 的角 ，但 的角 ，故C错；又 ，因此D对，应选D说明：角的概念推广后，遇到角的问题，应根据角的范围及相关角的概念进行具体分析如本题中的“锐角”与“小于 的角”就是两个含义不尽相同的概念例2 在 间，求出与下列各角终边相同的角，并判定它们分别是哪一个象限的角（1） ；（2） 分析：求解本题，其关键在于正确得到 中的 值，即用给出的角去除以 所得到的整数部分解：（1）因为 ，所以 即为欲求的角，它在第三象限，从而 也是第三象限的角（2）因为 ，所以 即为所求的角，它是第三象限的角，故 也是第三象限的角说明：在 内求终边与给定的角的终边相同的角时，若题中给定的角是负角，在应用式子 表示时， 比正常除法所得整数应小一个单位，才能使余数在 内，故这里的 只能取2，而不能1，若取1，则 ，这种形式对解本题并无作用，因为 不在 之间例3 （1）如图，终边落在 位置时的角的集合是_；线边落在 位置，且在 内的角的集合是_；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是_（2）已知 ，求 与 分析：本题可借助数形结合的思想方法求解解：（1）由图形直观可得：终边落在 位置时角的集合是 ；终边落在 位置，且在 内的角的集合是 ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（2）分别在直角坐标平面上画出表示集合 、 的示意图（ 为横线部分， 为竖线部分）（如图）再由图形直观得出： 说明：求角值的集合的交集或并集时，借助数形结合是最简便的方法例4 已知 是第二象限的角，试求（1） 角所在的象限；（2） 角所在的象限分析：对于本题，如若不进行较深入地推演，则很容易得到一个较明显而又错误的结论，即认为 角在第一象限； 角在第四象限，而事实上是不尽然的解：（1）因为 是第二象限的角，所以 ，从而有 由上知，当 为偶数时， 角是第一象限的角；当 为奇数时， 角是第三象限的角综上可知， 角是第一或第三象限的角（2）由（1）可知， 角的范围是 故 角是第三象限，或第四象限，或是 轴负半轴上的角说明：依照（1）中的方法，可得到以下规律：当 分别是第一、二、三、四象限时， 则可能顺次是第一或三、一或三、二或四、二或四象限的角仿此，还可进一步考虑 的情形，有兴趣的读者不妨一试；另外，应注意，在（2）中，不可把 角答成是第三象限或第四象限的角，因为终边在 轴负半轴上的角 （ ）也是它的一个解，而此角不属于任何象限探究活动经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？参考答案：5小时25分钟折合成325分钟60分钟对应360，所以325分钟对应 ，因为顺时针旋转，所以分针转19505小时25分钟折合成 小时，1小时对应 所以 小时对应 ，所以顺时针转162.5习题精选一填空题1与 终边相同的角的集合是_，它们是第_象限的角，其中最小的正角是_，最大负角是_2已知 的终边在 轴上的上方，那么 是第_象限的角3已知角 的终边落在第一、四象限及 轴正半轴，则角 的集合为_；终边在坐标轴上的角的集合为_4若角 与 的终边关于 轴对称，则 与 的关系是_；若角 与 的终边互相垂直，则 与 的关系是_5给出下列命题： 和 的角的终边方向相反； 和 的角的终边相同；第一象限的角和锐角终边相同； 与 的终边相同；设 ， ，则 其中所有正确命题的序号是_二选择题6下列命题中，正确的是（ ）A始边和终边都相同的两个角一定相等B 是第二象限的角C若 ，则 是第一象限角D相等的两个角终边一定相同7与 角终边相同的角可写成（ ）（ ）A B C D 8经过3小时35分钟，时针与分针转过的度数之差是（ ）A B C D 9若两角 、 的终边关于原点对称，那么（ ）A B C D 10设 ，且 的终边与 轴非负半轴重合，则这样的角最多有（ ）A二个 B三个 C四个 D五个三解答题11求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） ；（2） 12求 ，使 与 角的终边相同，且 13如图所示，写出图中阴影部分（包括边界）的角的集合，并指出 是否是该集合中的角14已知角 是第三象限的角，试判断 、 所在的象限15若角 的终边经过点 ，试写出角 的集合，并求出集合中绝对值最小的角16写出终边在函数 的图象上的角的集合 ，并指出其中在 内的角参考答案：一填空题1 ，三， ， 2一、三3 ， 4 ， 5、二选择题6D 7C 8C 9D 10D三解答题11（1） ，其中 的最小正角为 ，最大负角为 ；（2） ，其中 的最小正角为 ，最大负角为 12由 ，知符合条件的角为 ， ， ， ， 13阴影部分角的集合为 ， 是该集合中的角因为 14 在第二、四象限； 在第一、三、四象限15所求集合为 ，集合中绝对值最小的角为 16 ， ， ， ， 提示：先由 可知所求角在 的值为 或 ，由此即可写出集合 4.2 弧度制教学目标1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；4.在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；5.通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的.教学建议一、关于弧度制的知识结构二、关于弧度制的重点、难点分析重点是理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算；难点是弧度制的概念与角度的关系。（1）要弄清1弧度的意义。弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关。其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单： （2）两种制度的转换。利用它们的意义在弧度制下圆周角为 rad，而角度制下圆周角为 ，所以 rad ，进而得到 rad rad.1rad 三、关于弧度制的教法建议（1）建议教学用实例来讲述1弧度的含义，这样便于学生概念的理解；（2）建议在教学时，通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法是否具有优越性；（3）关于弧度与角度二者的换算，教学时应抓住：弧度 弧度这个关键，来引导学生；（4）教学应注意强调在同一式中，所采用的单位必须一致；（5）通过例3的教学，应让学生知道，无论是利用角度制还是弧度制，都能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式，但利用弧度制来推导要简单中些教学设计示例（一）弧度制教学目标：1明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义2熟练掌握角度制与弧度制的换算教学重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化教学难点：弧度制定义的理解教学用具：投影仪教学过程1设置情境在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位2探索研究（1）复习角度制我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角， 的角是如何定义的？规定把周角的 作为1度的角我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度弧度制，它是如何定义呢？（2）弧度制定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧 的长等于半径 ， 所对的圆心角 就是1弧度的角，弧度制的单位符号是 ，读作弧度图1 的弧度数 的弧度数 提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？因为半圆的弧长 ，其圆心角的弧度数是 ，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是 在 到 的角的弧度数 必然适合不等式 ，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长 ，则这个圆心角的弧度数是 ，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角 的弧度数的绝对值 ，其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？ 如图2，设 为 的角，圆弧 和 的长分别为 和 ，点 和 到点 的距离（即圆半径）分别为 和 ，由初中学过的弧长公式可得： ， ，于是 上式表明，以角 为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由 的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关因 ，可以得到 ，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式 要简单（3）角度制与弧度制的换算用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是 ，而在角度制里它是 ，因此 ，两边除以2得 等式两边同除180得 同理，把弧度换成角度 【例1】把 化成弧度解： 【例2】把 化成度解： 同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键下面请大家写出一些特殊角的弧度数角度 弧度 按从左至右顺序其答案是：0、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“ ”通常省略不写，而只写相应的弧度数例如：角 就表示 是 的角， 就表示 的角的余弦，即 （4）角度制与弧度制的比较引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧）的大小；不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值【例3】计算：（1） ；（2） 解：（1） （2） 练习（用投影仪）1把下列各角化成 的形式：（1） ；（2） ；（3） 2求右图3中公路弯道处弧 的长 （精确到 ，图中长度单位： ） 参考答案：1（1） （2） （3） 2 答：弯道处 的长约为 3练习反馈（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数（2）已知扇形的周长为 ，面积为 ，求扇形的中心角的弧度数（3）下列终边相同的是（）A 与 B 与 C 与 D 与 参考答案：（1） 、 、 ；（2）2（3）B4总结提炼（1） 弧度；（2）“角化弧”时，将 乘以 ；“弧化角”时，将 乘以 （3）弧长公式： 扇形面积公式： （其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径）课时作业1角集合 与 之间的关系为（ ）AB C D不确定2若角 和 的终边互为反向延长线，则有（ ）A B C D 3中心角为 的扇形，它的弧长为 ，则该扇形所在圆的半径为_4若 ，且 与 的角的终边垂直，则 5已知直径为 的滑轮上有一条长为 的弦， 是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后点 转过的弧长等于多少？6已知一个扇形周长为 ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积参考答案：1C 2D 36； 4 或 ； 5 ； 6中心角 时， 教学设计示例（二）弧度制教学目标1理解角集与实数集 的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化2能灵活应用弧长公式、扇形面积公式解决问题教学重点：能熟练地进行角度制与弧度制的互化教学难点：能灵活应用弧长公式、扇形面积公式解决问题教学用具：投影仪教学过程：1设置情境像角的概念推广一样，我们已经把 中角，利用“乘以 ”这一法则映射到实数集 上，那么， 以外的角能否化为弧度制？如果能，如何转化呢？乘数因子是否仍为“ ”，本节课就来讨论这个问题2探索研究（1）正、负角的弧度定义 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角 的弧度数的绝对值 ， 为以角 作为圆心角的所对的弧的长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制（2）角集合与实数集 之间的一一对应用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数集 之间建立这样的一一对应关系（如图1所示）每一个角都有惟一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角（角的弧度数等于这个实数）与它对应于是，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数，它的自变量的意义可以有多种解释，从而使三角函数的应用更加广泛，在数学与科学研究中所以普遍采用弧度制，这是原因之一（3）有关公式弧长 （4）例题分析【例1】下列站个角中哪几个是第二象限角？（1） （2） （3） （4）9（5）4（6） 解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 从而可知（2）（4）（5）所给的角在象限点评：用弧度制表示终边相同的角的方法 把一角化为 形式，其中 从而可判断角所在象限在同一问题求解过程中，两种单位不能混用，如 写法不妥【例2】（1）把 化为 ， ， 的形式是（ ）A B C D （2）在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ）A所对弧长相等B所对的弦长相等C所对弧长等于各自半径D所对的弧长为 解： 选D（2）由弧度制定义，知半径为 的圆上，1弧度的弧长应等于半径 ，故选 【例3】填空（1）在 内找出与 终边相同的角_（2）圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是_（3）在扇形 中， ，弧长为1，则此扇形内切圆的面积_解：（1）与 终边相同角，设为 令 所求角为： （2）设圆半径为 ，则内接正三角形边长为 ，当弧长 时，其所对圆心角 （3）如图2，设扇形半径为 ，内切圆半径为 ，则由 3练习反馈（1） _弧度； _弧度；10弧度_度（2）与 终边相同的角是_，它们是第_象限角，其中最小正角为_，最大负角为_参考答案：（1） ； ； （2） ；它们是第三象限角；最小正角为 ，最大负角为 4总结提炼（1） （度） ； 这里， 为任一角度制角， 为任一实数（弧度）（2）有了弧度制，实现了角度集与实数集合之间的一一对应，对应法则是正比例函数 （ 为角度集合中元素， 为实数集中元素）（3）弧度制的引入，使得有关公式表达式简单，运算为常规的十进制（4）任一角 的弧度的绝对值为 ，也就是说，对于任意角的度量，其弧度要把符号和绝对值分开求课时作业1若 ， ， ，则 的终边位置关系是（ ）A重合B关于原点对称C关于 轴对称D关于 轴对称2如果弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）ABCD 3地球赤道的半径是6370，所以赤道上 的弧长是_（精确到0.01）4一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2，一列火车用每小时30的速度通过，10秒间转过几度？5半径为 的扇形，其周长为 ，则扇形中所含弓形的面积是多少？6角 和角 的和是1弧度，差为 ，则 和 的弧度数分别是多少？参考答案：1C； 2C； 31.85； 4因为圆弧半径为 ， ， 走过弧长为 ，由公式 ；5 ；6 ， 板书设计弧度制（二）1正、负、零角的弧度制意义2角度集合与实数集间一一对应3例1例2例3练习反馈小结典型例题例1 将下列各角化成 ，且 的形式，并指出它们是第几象限角：（1） ；（2） 分析 先把 化成 的形式，再用弧度制表示解（1） ， 与 角的终边相同，又 是第一象限角， 是第一象限角（2） ， 与 角的终边相同又 是第三象限角， 是第三象限角说明 用弧度制表示终边相同角 时， 是 的偶数倍，而不是整数倍同时， 为弧度，不能写成 的形式例2 若弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）A B C D 分析 由扇形的面积公式 知，要求扇形的面积，只需求出扇形的半径 即可解 如图，过点 作 于 ，延长 ，交 于 ，则 ，且 在 中， 扇形的面积 故选C例3 集合 ， ，则有（ ）AB C D 分析 对集合 中的整数 依次取0，1，2，3，得角 ， ， ， ， ， ， 角的终边相同故选 例4如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界） 解（1）按逆时针方向，在区间 上与角 终边相同的角为 ，故所求集合为： （2）图中第三象限部分可看成是由第一象限的阴影部分绕原点旋转 弧度而成的，故所求集合可表示为： 说明 当两区域的边界互为反向延长线时，只用一个式“ ”就可以表示（3）所求集合为： 例5 已知两角的和为1弧度，且两角的差为 ，求这两个角各是多少弧度分析 设两角的弧度数分别是 、 ，通过列方程组，就可以求出 、 ，但要注意单位的统一解 设两角的弧度数分别是 、 ，因为 ，则依题意，得 ，解之得 即所求两角的弧度数分别为 ， 扩展资料纸扇能否按照黄金比例设计？在炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是最环好的方法扇在美观设计上，可考虑用料、图案和形状若从数学角度看，我们能否利用黄金比例（0.618）去设计一把富美感的的白纸扇？在设计纸扇张开角（ ）时，可考虑从一圆形（半径为 ）分割出来的扇形的面积（ ）与剩余面积（ ）的比值若假设这比值等于黄金比例，便可以找出 若 ， 以弧度表示 则 （精确至最接近的 ） 除了找市面上的纸扇去量度其张开的角度外，我们更可自制不同形状的纸扇，去测试一下 接近 的设计是否最美探究活动旋转的风车一个大风车的半径为8m，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2m（如图所示），求风车翼片的一个端点离地面距离 （米）与时间 （分钟）之间的函数关系（用弧度制求解） 解：首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为 轴，最低点作为坐标原点，如图建立直角坐标系那么，风车上翼片端点所在位置 可由函数 、 来刻画，而且 所以，只需要考虑 的表示达又设 的初始位置在最低点即 在 中， ， 而 ，所以 ， ， 习题精选一、选择题1 的值是（ ）A B C D 2一条弦长等于半径的 ，则此弦所对圆心角（ ）A等于 弧度B等于 弧度C等于 弧度D以上都不对3把 化为 的形式是（ ）A B C D 4扇形的周期是16，圆心角是2弧度，则扇形面积是（ ）A B C16D32二、填空题1 度； 弧度2半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆周角的弧度数为_，度数为_33弧度的角的终边在第_象限，7弧度的角的终边在第_象限4扇形的圆心角为 ，半径为 ，则弧长为_5若 的圆心角所对的弧长为 ，则此圆的半径为_三、解答题1在半径为 的圆中，扇形的周长等于半圆的长，那么扇形的圆心角是多少度？扇形的面积是多少？2在直径为 的滑轮上有一条弦，其长为 ，且 为弦的中点，滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过 后， 点转过的弧长是多少？进阶演练3扇形 的面积为 ，它的周长为 ，求扇形圆心角的弧度数及弦长 4一扇形周长是 ，扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？参考答案：一、选择题1B 2D 3D 4C二、填空题136， 2 ， 3二、一4 5 三、解答题1 ， 2 3 ， 4圆心角为2弧度时， 最大值为 4.3 任意角的三角函数教学目标 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（2）了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号；（3）掌握公式一，会运用它们把求任意角的正弦、余弦、正切函数值分别转化为求0到360的这三种三角函数值；（4）通过树立映射的观点，建立正确理解三角函数是以实数为自变量的函数的能力；（5）体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑教学建议一、知识结构先通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切函数，并利用与单位圆有关的线段，将这些函数值分别用它们的几何形式表示出来；然后定义了任意角的正切、正割、余割函数接着着重研究正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号；并根据三角函数的定义，得出“终边相同的角的同一三角函数的值相等”的结论及把此结论表示成第一组诱导公式（公式一）二、重点、难点分析重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义及在各象限内的符号和定义域，诱导公式一；难点是用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值（1）定义中的六个比值 等，与点 在终边上的位置无关，只与角的大小有关；它们都可以看作以角为自变量，以比值为函数值的函数，分别称为正弦函数，余弦函数等（2）三角函数在各象限内的符号，是根据三角函数的定义，终边上的点坐标符号来确定的，十分重要，在今后的学习中经常用到（3）定义域也是根据三角函数的定义，要求其有意义，即分母不为0而得到角的取值范围（4）诱导公式（一）也是利用任意三角函数的定义，结合终边相同的角定义得出，即终边相同的角的同名三角函数值相等： （5）三角函数线是表示一个角三角函数值的几何方法，它们的大小即长度等于 的三角函数值的符号特别注意的是它们均有方向，即起点和终点，记法：当两个端点都在 轴上时，以原点为起点（余弦线），当两个端点有一个在轴上时，以轴上的点为起点（正弦线、余弦线），特别是正弦线和正切线在后面三角函数的图象中，用来作出正弦曲线和正切曲线，所必须清楚其意义三、关于任意角的三角函数的教法建议（1）由三角函数的定义可知，若已知角 终边上一点，便可求出其各三角函数值，或通过三角函数定义，可知其二求其一三角函数的符号与角所在象限有关，采用上图来记忆 （2）必须讲清并强调 这六个比值的大小都与点 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数（3）教学中应注意，语言要准确严密首先“六种函数统称为三角函数”这句话，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数（4）教学中，应当引导学生深刻认识三角函数符号的含义如， 这个符号，它表示 ，即角 的正弦，不能把 看成 与 的乘积，犹如 不能看成 与 的乘积一样，离开了自变量 ，符号 就没有意义了同时也应注意，每个函数记号的第一个字母“ ”或“ ”或“ ”都不能大写，不能让学生养成写“ ”、“ ”等习惯教学设计示例（一）任意角的三角函数教学目标：1通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值2掌握已知角 终边上一点坐标，求四个三角函数值（即给角求值问题）教学重点：任意角的三角函数的定义教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示教学用具：直尺、圆规、投影仪教学步骤： 1设置情境角的范围已经推广，那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题2探索研究（1）复习回忆锐角三角函数我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值，定义了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角 是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示（2）任意角的三角函数定义如图1，设 是任意角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为 ，则 定义：比值 叫做 的正弦，记作 ，即 比值 叫做 的余弦，记作 ，即 图1比值 叫做 的正切，记作 ，即 同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件提问：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢？利用三角形相似的知识，可以得出对于角 ，这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关，只与角 的大小有关请同学们观察当 时， 的终边在 轴上，此时终边上任一点 的横坐标 都等于0，所以 无意义，除此之外，对于确定的角 ，上面三个比值都是惟一确定的把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义比值 叫做 的余切，记作 ，则 比值 叫做 的正割，记作 ，则 比值 叫做 的余割，记作 ，则 可以看出：当 时， 的终边在 轴上，这时 的纵坐标 都等于0，所以 与 的值不存在，当 时， 的值不存在，除此之外，对于确定的角 ，比值 ， ， 分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数（3）三角函数是以实数为自变量的函数对于确定的角 ，如图2所示， ， ， 分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数 即：实数角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）（4）三角函数的一种几何表示利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3图3设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角 的终边（当 为第一、四象限时）或其反向延长线（当 为第二、三象限时）相交于 ，当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 ， 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段由正弦、余弦、正切函数的定义有：这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线当角 的终边在 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角 的终边在 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在（5）例题讲评【例1】已知角 的终边经过 ，求 的六个三角函数值（如图4）解： 提问：若将 改为 ，如何求 的六个三角函数值呢？（分 ， 两种情形讨论）【例2】求下列各角的六个三角函数值（1） ；（2） ；（3） 解：（1）当 时， ， ， ， 不存在， ， 不存在（2）当 时， ， ， 不存在 不存在 （3）当 时， ， 不存在 不存在【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线（1） ；（2） 解： ， 的正弦线，余弦线，正切线分别为 【例4】求证：当 为锐角时， 证明：如右图，作单位圆，当 时作出正弦线 和正切线 ，连 利用三角函数线还可以得出如下结论 的充要条件是 为第一象限角 的充要条件是 为第三象限角练习（学生板演，利用投影仪）（1）角 的终边在直线 上，求 的六个三角函数值（2）角 的终边经过点 ，求 ， ， ， 的值（3）说明 的理由 解答：（1）先确定终边位置如 在第一象限，在其上任取一点 ， ，则 ， 如 在第三象限，在终边上任取一点 ，则 ， （2）若 ，不妨令 ，则 在第二角限 （3）在 终边上任取一点 ，因为 与 终边相同，故 也为角 终边上一点，所以 成立说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径用定义求角 的三角函数值，是基本方法之一当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值3反馈训练（1）若角 终边上有一点 ，则下列函数值不存在的是（ ）A B C D （2）函数 的定义域是（ ）AB C D （3）若 ， 都有意义，则 （4）若角 的终边过点 ，且 ，则 参考答案：（1）D；（2）B；（3） 或8，说明点 在半径为 的圆上；（4）64本课小结